Διαδοχικοί ακέραιοι 2

#1

: Διαδοχικοί ακέραιοι 2.png (16.83 KiB) Προβλήθηκε 896 φορές

Τα μήκη των πλευρών c, b, a

τριγώνου

είναι διαδοχικοί ακέραιοι. Οι κύκλοι (B, c),

τέμνονται σε

ένα σημείο

διαφορετικό του

Αν η

επανατέμνει τον κύκλο (C)

στο

και οι

τριχοτομούν τη

γωνία $E\widehat CD,$ να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου ABC.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 03, 2022 10:01 am
Διαδοχικοί ακέραιοι 2.png
Τα μήκη των πλευρών τριγώνου είναι διαδοχικοί ακέραιοι. Οι κύκλοι τέμνονται σε

ένα σημείο διαφορετικό του Αν η επανατέμνει τον κύκλο στο και οι τριχοτομούν τη

γωνία $E\widehat CD,$ να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου

Ας δούμε και την ασκησούλα «τμηματίδιο»

Αυτό

Είναι $x = \dfrac{{{b^2} - b}}{{b + 1}}\,\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά το τετράπλευρο ATCE

είναι εγγράψιμο και έτσι , x = DT = TA = AE

.
.

: διαδοχικοί ακέραιοι 2.png (43.04 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

.
Επειδή η

διχοτόμος του $\vartriangle CEB$ θα ισχύει: $C{A^2} = CE \cdot CB - AE \cdot AB$ . Δηλαδή

${b^2} = ba - cx \Rightarrow {b^2} = b\left( {b + 1} \right) - \left( {b - 1} \right)\dfrac{{{b^2} - 1}}{{b + 1}}$ απ’ όπου απλά έχω: b = 3

και άρα :

$\boxed{BC = 4,CA = 3,AB = 2}$

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 03, 2022 10:01 am
Διαδοχικοί ακέραιοι 2.png
Τα μήκη των πλευρών τριγώνου είναι διαδοχικοί ακέραιοι. Οι κύκλοι τέμνονται σε

ένα σημείο διαφορετικό του Αν η επανατέμνει τον κύκλο στο και οι τριχοτομούν τη

γωνία $E\widehat CD,$ να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου

Για τις γωνίες είναι $\hat{ECA}=\hat{ACB}=\hat{BCT}=\omega ,\hat{ABC}=\hat{CBD}=\phi$

και προφανώς $\hat{CAE}=\hat{AEC}=90-\dfrac{\omega }{2}=\hat{HAB}=\hat{BHA},$

Συνεπώς $\omega +\phi =90-\dfrac{\omega }{2},$ Ειναι AB=c,AC=b=c+1,BC=c+2,c

ακέραιος

Είναι CH=BC,AH=a-b

και τα τρίγωνα AHB,HBC

είναι όμοια

Αρα $\dfrac{a-b}{c}=\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow c^{2}-c-2=0\Rightarrow c=2,b=3,a=4$

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 03, 2022 10:01 am
Διαδοχικοί ακέραιοι 2.png
Τα μήκη των πλευρών τριγώνου είναι διαδοχικοί ακέραιοι. Οι κύκλοι τέμνονται σε

ένα σημείο διαφορετικό του Αν η επανατέμνει τον κύκλο στο και οι τριχοτομούν τη

γωνία $E\widehat CD,$ να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου

Ας είναι $c = b - 1\,\,,\,\,b\,\,,\,\,\,b + 1\,\,$ με

ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του

και

Από τη δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο $\displaystyle \left( {C,b} \right)$ έχω : $c\left( {c + u} \right) = {a^2} - {b^2} \Rightarrow \boxed{u = \frac{{b\left( {4 - b} \right)}}{{b - 1}}}$ και αφού η

εσωτερική διχοτόμος του $\vartriangle CEB$

: διαδοχικοί ακέραιοι 2_new.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

• θα ισχύει : $C{A^2} = CE \cdot CB - AE \cdot AB$ οπότε και λόγω της $\left( 1 \right)$ έχω:

${b^2} = b\left( {b + 1} \right) - u\left( {b - 1} \right) \Rightarrow {b^2} = {b^2} + b - b\left( {4 - b} \right) \Rightarrow b = 3$ . Δηλαδή $c = 2,\,\,\,b = 3,\,\,\,a = 4$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 03, 2022 10:01 am
Διαδοχικοί ακέραιοι 2.png
Τα μήκη των πλευρών τριγώνου είναι διαδοχικοί ακέραιοι. Οι κύκλοι τέμνονται σε

ένα σημείο διαφορετικό του Αν η επανατέμνει τον κύκλο στο και οι τριχοτομούν τη

γωνία $E\widehat CD,$ να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου

Είναι,

και $1.(a+b)=c.BE\Rightarrow BE= \dfrac{a+b}{c} \Rightarrow AE= \dfrac{a+b-c^2}{c}$

Από θ.διχοτόμου έχουμε

$\dfrac{EA}{AB}= \dfrac{EC}{CB} \Rightarrow \dfrac{ \dfrac{a+b-c^2}{c} }{c}= \dfrac{b} {a} \Rightarrow a(a+b)=c^2(a+b) \Rightarrow c^2=c+2 \Rightarrow c^2-c-2=0$

Άρα c=2

και

: διαδοχικοί ακέραιοι 2.png (23.8 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

Διαδοχικοί ακέραιοι 2

Διαδοχικοί ακέραιοι 2

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι 2

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι 2

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι 2

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι 2

Μέλη σε σύνδεση