Κορυφαίος τόπος

KARKAR · #1

: Κορυφαίος τόπος.png (15.26 KiB) Προβλήθηκε 763 φορές

Μεταβλητή ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων , τέμνει τις ευθείες y=1

και

στα σημεία A , B

.

Σχεδιάζουμε το "ημιτετράγωνο" ABC

. Ζητάμε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής

( καρτεσιανή εξίσωση ) .

Λύστε το ίδιο θέμα , αντικαθιστώντας τις , με τις .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 26, 2022 8:12 am
Κορυφαίος τόπος.pngΜεταβλητή ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων , τέμνει τις ευθείες και στα σημεία .

Σχεδιάζουμε το "ημιτετράγωνο" . Ζητάμε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής ( καρτεσιανή εξίσωση ) .

Λύστε το ίδιο θέμα , αντικαθιστώντας τις , με τις .

Aν η μεταβλητή ευθεία είναι η y=mx

με

, τότε $A(a,ma),\,B(b,mb)$ . Aν C(p,q)

τότε η συνθήκη $CA\perp AB$ δίνει $\dfrac {q-ma}{p-a}\cdot m=-1$ και η CA=AB

δίνει

.

Λύνοντας ως προς $p,\,q$ θα βρούμε $(p,\,q)=(m(a-b)+a,\, ma-a+b)$ ή $(p,\,q)=(m(b-a)+a,\, ma+a+b)$ .

Και τα δύο οδηγούν σε ευθεία για τον τόπο των ζευγών $(p,\,q)$ . Π.χ. το πρώτο (διώχνοντας το

) δίνει

(ελπίζω να έκανα τις πράξεις σωστά). Όμοια το δεύτερο που προκύπτει από την συμμετρική θέση του

ως προς την μεταβλητή ευθεία.

#3

Ας το δούμε κι αλλιώς. Προφανώς AC=AB=3OA

Θεωρώ το σημείο C'(-3,1)

που είναι η θέση του

, όταν το

πάρει την θέση A'(0,1)

Τα ορθογώνια τρίγωνα OAC, OA'C'

είναι όμοια, άρα οι γωνίες των κορυφών τους C,C'

είναι ίσες και το OACC'

είναι εγγράψιμο, οπότε η CC'

είναι κάθετη στην OC'.

Έτσι, το

κινείται στην σταθερή ευθεία που είναι κάθετη στο

της

. Η ευθεία αυτή είναι ο ζητούμενος τόπος αφού, αντιστρόφως, σε κάθε σημείο της

, διάφορο του C',

ο κύκλος

προσδιορίζει το σημείο

της

κ.λπ.

Κορυφαίος τόπος

Κορυφαίος τόπος

Re: Κορυφαίος τόπος

Re: Κορυφαίος τόπος

Μέλη σε σύνδεση