Σχεδόν διχοτόμηση

KARKAR · #1

: Σχεδόν διχοτόμηση.png (16.8 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

Η κορυφή

του τριγώνου ABC

, είναι τυχόν σημείο του

ου τεταρτημορίου , ενώ οι άλλες δύο είναι

τα σημεία B(5,0)

και

. Ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων και το βαρύκεντρο

του τριγώνου , τέμνει την πλευρά

στο

και την

στο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(AST)}{(TSBC)}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 30, 2022 6:13 am
Σχεδόν διχοτόμηση.pngΗ κορυφή του τριγώνου , είναι τυχόν σημείο του ου τεταρτημορίου , ενώ οι άλλες δύο είναι

τα σημεία και . Ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων και το βαρύκεντρο

του τριγώνου , τέμνει την πλευρά στο και την στο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(AST)}{(TSBC)}$

Άρση απόκρυψης και λύση

Μέχρι την εύρεση των λόγων $\dfrac{AS}{SB}=3 , \dfrac{AT}{TC}= \dfrac{3}{2}$ οι σκέψεις μου ταυτίζονται με του Νίκου

Από τους παραπάνω λόγους παίρνουμε $AS= \dfrac{3c}{4} , AT= \dfrac{3b}{5}$ και

$\dfrac{(ABC)}{(AST)}= \dfrac{bc}{ \dfrac{3c}{4} . \dfrac{3b}{5} }= \dfrac{20}{9} \Rightarrow (ATS)=\dfrac{9}{20}(ABC)$

Άρα $(STCB)= \dfrac{11}{20}(ABC))$ και $\dfrac{(AST)}{(STCB)}= \dfrac{9}{11}$

: σχεδόν διχοτόμιση.png (8.73 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 30, 2022 6:13 am
Σχεδόν διχοτόμηση.pngΗ κορυφή του τριγώνου , είναι τυχόν σημείο του ου τεταρτημορίου , ενώ οι άλλες δύο είναι

τα σημεία και . Ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων και το βαρύκεντρο

του τριγώνου , τέμνει την πλευρά στο και την στο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(AST)}{(TSBC)}$

: Σχεδόν διχοτόμηση_a.png (12.33 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

Έστω

το μέσο της πλευράς

. Με Θ. Μενελάου στο $\vartriangle AMC$ και διατέμνουσα την $\overline {OGT}$ έχω:

$\dfrac{{AG}}{{GM}} \cdot \dfrac{{MO}}{{OC}} \cdot \dfrac{{CT}}{{TA}} = 1 \Rightarrow 2 \cdot \dfrac{{5 + \dfrac{5}{2}}}{{10}} \cdot \dfrac{{CT}}{{TA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{10 + 5}}{{10}} \cdot \dfrac{{CT}}{{TA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{AT}}{{TC}} = \dfrac{3}{2}\,\,\left( 1 \right)$ .

Με όμοιο τρόπο στο $\vartriangle ABM$ και διατέμνουσα $\overline {OSG}$ προκύπτει : $\dfrac{{AS}}{{SB}} = 3\,\,\left( 2 \right)$

Τώρα μετασχηματίζω το τετράπλευρο BCTS

σε ισοδύναμο τρίγωνο .

: Σχεδόν διχοτόμηση_b.png (16.59 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την ευθεία

στο

οπότε : $\left( {BCTS} \right) = \left( {TSB} \right) + \left( {TBC} \right) = \left( {TSB} \right) + \left( {TBF} \right) = \left( {TSF} \right)$ .

Έτσι ο λόγος που θέλω είναι, $\lambda = \dfrac{{AS}}{{SF}}\,\,\left( 3 \right)$ . Ας είναι $BF = m,\,\,AS = 3k\,\,,k > 0 \Rightarrow SB = k\,\,$ .

Επειδή $\dfrac{{AB}}{{BF}} = \dfrac{{AT}}{{TC}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{{4k}}{m} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow m = \dfrac{{8k}}{3}\,\,\left( 4 \right)$ . Τώρα λόγω της $\,\left( {\,4\,} \right)$ έχω:

$\boxed{\lambda = \dfrac{{AS}}{{SF}} = \dfrac{{3k}}{{k + \dfrac{{8k}}{3}}} = \dfrac{9}{{11}}}$ .

Υπάρχει και λύση με αναλυτική γεωμετρία ( περισότερες κάπως πράξεις αλλά όχι δύσκολες)

Σχεδόν διχοτόμηση

Σχεδόν διχοτόμηση

Re: Σχεδόν διχοτόμηση

Re: Σχεδόν διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση