Ορθογωνιακά προβλήματα

KARKAR · #1

: Ορθογωνιακά προβλήματα.png (12.54 KiB) Προβλήθηκε 971 φορές

Στο $8\times 6$ ορθογώνιο ABCD

, "εγγράφουμε" το ορθογώνιο τρίγωνο $CST , ( S\in AD , T \in AB)$ .

α) Για ποια θέση του

είναι :

;

β) Για ποια θέση του

ελαχιστοποιείται η υποτείνουσα

;

Henri van Aubel · #2

Καλησπέρα!!! Μία προσέγγιση.
Από την ομοιότητα $\textup{AST}\sim \textup{DCS}:\frac{\textup{AT}}{\textup{DS}}=\frac{\textup{AS}}{\textup{\textup{8}}}=\frac{\textup{x}}{\textup{y}}=\frac{\textup{\textup{6-y}}}{8}\Leftrightarrow \textup{8x=y(6-y)(1)}.$
Όμως $\textup{2[(ATS)+(DCS)+(BTC)]=x(6-y)+8y+6(8-x)=-xy+8y+48=62}\Leftrightarrow \textup{-xy+8y=14(2).}$
Άρα συνδυάζοντας έχουμε $\textup{-}\frac{\textup{y(6-y)}}{8}\textup{y+8y=14}\Leftrightarrow \textup{y}^{3}-\textup{6}\textup{y}^{2}+\textup{64y-112=0.}$
Άντε λύστε την , δεν έχω όρεξη τώρα να κάνω Horner.

Henri van Aubel · #3

Άντε να την λύσω την εξίσωση για να τελειώνουμε. Βγαίνει $\textup{(y-2)}(\textup{y}^{2}-\textup{4y+56})=\textup{0}$ και θα δεχτούμε $\textup{y=2,}$ γιατί το τριώνυμο $\textup{y}^{2}-\textup{4y+56}$ δεν έχει ρίζα. Τέλος με το πρώτο ερώτημα.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 19, 2022 1:17 pm
Ορθογωνιακά προβλήματα.pngΣτο $8\times 6$ ορθογώνιο , "εγγράφουμε" το ορθογώνιο τρίγωνο $CST , ( S\in AD , T \in AB)$ .

α) Για ποια θέση του είναι : ;

β) Για ποια θέση του ελαχιστοποιείται η υποτείνουσα ;

: Ορθογωνιακά προβλήματα.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

Για το 2ο ερώτημα

Αν

το σταθερό μέσο του

και το

μέσο της υποτείνουσας

, επειδή $MN \leqslant MS = \dfrac{1}{2}CT$ αρκεί το

να συμπέσει με το

.

Αν και δεν ζητείται:

: Ορθογωνιακά προβλήματα_2.png (12.63 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

Εφ’ όσον το

είναι η διάμεσος του τραπεζίου ATCD

και $AT = x = \dfrac{3}{8} \cdot 3$ θα είναι :

$\boxed{C{T_{\min }} = 2SM = 2d = \left( {8 + x} \right) = 8 + \frac{9}{8} = \frac{{73}}{8} = 9,125}$

#5

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 19, 2022 8:24 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 19, 2022 1:17 pm
Ορθογωνιακά προβλήματα.pngΣτο $8\times 6$ ορθογώνιο , "εγγράφουμε" το ορθογώνιο τρίγωνο $CST , ( S\in AD , T \in AB)$ .

α) Για ποια θέση του είναι : ;

β) Για ποια θέση του ελαχιστοποιείται η υποτείνουσα ;
Ορθογωνιακά προβλήματα.png
Για το 2ο ερώτημα

Αν το σταθερό μέσο του και το μέσο της υποτείνουσας , επειδή $MN \leqslant MS = \dfrac{1}{2}CT$ αρκεί το να συμπέσει με το .

Έξυπνο και απλό

#6

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 20, 2022 8:21 am

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 19, 2022 8:24 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 19, 2022 1:17 pm
Ορθογωνιακά προβλήματα.pngΣτο $8\times 6$ ορθογώνιο , "εγγράφουμε" το ορθογώνιο τρίγωνο $CST , ( S\in AD , T \in AB)$ .

α) Για ποια θέση του είναι : ;

β) Για ποια θέση του ελαχιστοποιείται η υποτείνουσα ;
Ορθογωνιακά προβλήματα.png
Για το 2ο ερώτημα

Αν το σταθερό μέσο του και το μέσο της υποτείνουσας , επειδή $MN \leqslant MS = \dfrac{1}{2}CT$ αρκεί το να συμπέσει με το .

Έξυπνο και απλό

Ευχαριστώ από καρδιάς Γιώργο .

Δεν έκανα όμως και τίποτα σπουδαίο .

Έβαλα τον «αυτόματο πιλότο» να μου βρει ( με την καλύτερη δυνατή προσέγγιση) την απάντηση .

Μετά προσπάθησα να εξηγήσω αυτό που έβλεπα , με απλή λογική .

Βεβαίως η εποπτεία από μόνη της δεν αποτελεί μαθηματική απάντηση .

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 19, 2022 1:17 pm
Ορθογωνιακά προβλήματα.pngΣτο $8\times 6$ ορθογώνιο , "εγγράφουμε" το ορθογώνιο τρίγωνο $CST , ( S\in AD , T \in AB)$ .

β) Για ποια θέση του ελαχιστοποιείται η υποτείνουσα ;

Μία υπολογιστική για το β) ερώτημα με τους συμβολισμούς του σχήματος.

: Ορθογωνιακά προβλήματα.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων AST, DCS

έχω:

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{{S{T^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{S{C^2}}}{{{y^2}}} = \frac{{S{T^2} + S{C^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} = \frac{{T{C^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} \Rightarrow$ $\boxed{T{C^2} = \frac{{({x^2} + {y^2})({y^2} + 64)}}{{{x^2} + {y^2}}}}$ (1)

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{{(6 - y)}^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{64}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{y^2} - 12y + 100}} \Rightarrow$ $\boxed{{x^2} + {y^2} = \frac{{{y^2}({y^2} - 12y + 100)}}{{64}}}$ (2)

Από

και

είναι $\boxed{T{C^2} = \frac{1}{{64}}({y^2} + 64)({y^2} - 12y + 100)}$ όπου με τη βοήθεια

παραγώγων βρίσκω $\boxed{T{C_{\min }} = \frac{{73}}{8}}$ όταν $\boxed{y=3}$

Ορθογωνιακά προβλήματα

Ορθογωνιακά προβλήματα

Re: Ορθογωνιακά προβλήματα

Re: Ορθογωνιακά προβλήματα

Re: Ορθογωνιακά προβλήματα

Re: Ορθογωνιακά προβλήματα

Re: Ορθογωνιακά προβλήματα

Re: Ορθογωνιακά προβλήματα

Μέλη σε σύνδεση