Δύσκολη μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Δύσκολη μεγιστοποίηση.png (14.72 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Με άκρο το σταθερό σημείο

κύκλου

σχεδιάζουμε την μεταβλητή χορδή

, της οποίας

το σημείο

είναι τέτοιο , ώστε : AT=2TB

. Η κάθετη στην χορδή στο σημείο

, τέμνει

το μείζον τόξο $\overset{\frown}{AB}$ , στο σημείο

. Αναζητήστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου BTS

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 10, 2022 2:14 pm
Δύσκολη μεγιστοποίηση.pngΜε άκρο το σταθερό σημείο κύκλου σχεδιάζουμε την μεταβλητή χορδή , της οποίας

το σημείο είναι τέτοιο , ώστε : . Η κάθετη στην χορδή στο σημείο , τέμνει

το μείζον τόξο $\overset{\frown}{AB}$ , στο σημείο . Αναζητήστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Παρακάτω ( μετά την ανάρτηση του Γιώργου) έχω ανεβάση σωστή λύση

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 10, 2022 2:14 pm
Δύσκολη μεγιστοποίηση.pngΜε άκρο το σταθερό σημείο κύκλου σχεδιάζουμε την μεταβλητή χορδή , της οποίας

το σημείο είναι τέτοιο , ώστε : . Η κάθετη στην χορδή στο σημείο , τέμνει

το μείζον τόξο $\overset{\frown}{AB}$ , στο σημείο . Αναζητήστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Θέτω

Είναι $\boxed{(BTS) = \frac{{xy}}{2}}$ και το BPSC

είναι ισοσκελές τραπέζιο.

: Δύσκολη μεγιστοποίηση.png (18.4 KiB) Προβλήθηκε 602 φορές

$\displaystyle P{T^2} = P{B^2} - {x^2} = S{C^2} - {x^2} = 4{r^2} - A{S^2} - {x^2} = 4{r^2} - (4{x^2} + {y^2}) - {x^2} = 4{r^2} - 5{x^2} - {y^2}$

$\displaystyle yPT = 2{x^2} \Leftrightarrow {y^2}\left( {4{r^2} - 5{x^2} - {y^2}} \right) = 4{x^4} \Leftrightarrow {y^4} - (4{r^2} - 5{x^2}){y^2} + 4{x^4} = 0,$ απ' όπου παίρνω

$\displaystyle y = \sqrt {\frac{{4{r^2} - 5{x^2} + \sqrt {16{r^4} - 40{r^2}{x^2} + 9{x^4}} }}{2}}$ και $\displaystyle (BTS) = \frac{x}{2}\sqrt {\frac{{4{r^2} - 5{x^2} + \sqrt {16{r^4} - 40{r^2}{x^2} + 9{x^4}} }}{2}}$

Με παραγώγους τώρα βρίσκω, $\boxed{(BTS)_{\max } = \frac{{{r^2}}}{{18}}\sqrt {146\sqrt {73} - 1190}}$ για $\boxed{ x = \frac{r}{3}\sqrt {20 - 2\sqrt {73} }}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 10, 2022 2:14 pm
Δύσκολη μεγιστοποίηση.pngΜε άκρο το σταθερό σημείο κύκλου σχεδιάζουμε την μεταβλητή χορδή , της οποίας

το σημείο είναι τέτοιο , ώστε : . Η κάθετη στην χορδή στο σημείο , τέμνει

το μείζον τόξο $\overset{\frown}{AB}$ , στο σημείο . Αναζητήστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Έστω

το άλλο σημείο τομής της

με τον κύκλο , ON = x

το απόστημα προς τη χορδή

και

η τομή της διαμέτρου

με την

.

Θα είναι $AT = 4x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB = 2x$ . Από το Π. Θ. στο $\vartriangle NPO$ έχω : $PN = NS = \sqrt {{r^2} - {x^2}} \,\,\left( 1 \right)$ .

Επίσης ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} TG = \sqrt {A{G^2} - A{T^2}} = \frac{4}{3}\sqrt {{r^2} - 9{x^2}} \hfill \\ NG = \frac{1}{4}TG = \frac{1}{3}\sqrt {{r^2} - 9{x^2}} \hfill \\ TS = TG + NS - NG = \sqrt {{r^2} - {x^2}} + \sqrt {{r^2} - 9{x^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Δύσκολη μεγιστοποίηση_μετρικά.png (18.89 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

Έτσι το εμβαδόν που θέλω δίδεται από τη συνάρτηση ,

$f(x) = x\left( {\sqrt {{r^2} - {x^2}} + \sqrt {{r^2} - 9{x^2}} } \right)$ που με τη βοήθεια των παραγώγων παρουσιάζει μέγιστο για $\boxed{{x_0} = r\sqrt {\frac{5}{9} - \frac{{\sqrt {73} }}{{18}}} }$ κ. λ. π.

Δύσκολη μεγιστοποίηση

Δύσκολη μεγιστοποίηση

Re: Δύσκολη μεγιστοποίηση

Re: Δύσκολη μεγιστοποίηση

Re: Δύσκολη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση