Ελάχιστο άθροισμα

#1

Αν $\displaystyle{a , x , y}$ θετικοί ακέραιοι με $\displaystyle{(a , y)=1}$ και αν $\displaystyle{ax = 5y + 125a}$ , να βρείτε για ποιες τιμές των $\displaystyle{x , y}$ το άθροισμα $\displaystyle{x+y}$ γίνεται

ελάχιστο.

#2

Έστω

πρώτος ώστε p|a

. Τότε

, άρα

. Όμως

, συνεπώς $p \nmid y$ και άρα p|5

. Συμπεραίνουμε ότι a = p^k

για κάποιο μη αρνητικό ακέραιο

.

Αν $k \geqslant 2$ , τότε έχουμε $\displaystyle y = \frac{ax-125a}{5} = 5^{k-1}-25a$ το οποίο είναι πολλαπλάσιο του

, άτοπο. Άρα a=1

ή

.

Αν

, τότε

και η ελάχιστη τιμή του x+y

λαμβάνεται όταν y=1

και είναι ίση με 131

.

Αν

, τότε

και η ελάχιστη τιμή του x+y

λαμβάνεται όταν y=1

και

και είναι ίση με 127 < 131

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Θα ήταν πιο εύκολο να ξεκινήσουμε ως εξής
Το

διαιρεί το

.
Επειδή

θα διαιρεί το

.
Αρα είναι

η

#4

Ναι βέβαια. Με είχε ενημερώσει και ο Νίκος Τσιάρας αλλά αμέλησα να το βελτιώσω.

Ελάχιστο άθροισμα

Ελάχιστο άθροισμα

Re: Ελάχιστο άθροισμα

Re: Ελάχιστο άθροισμα

Re: Ελάχιστο άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση