Τέχνασμα εκ συστήματος

KARKAR · #1

Να λυθεί το σύστημα :

x+y=4

Είναι άσκηση Άλγεβρας , άρα απαιτείται αναλυτική παρουσίαση της λύσης .

#2

Το σύστημα ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{2x+2y=8}$
$\displaystyle{16x^4 +16y^4 =706}$

και άρα:

$\displaystyle{2x+2y=8}$
$\displaystyle{(2x)^4 +(2y)^4 =706}$

Θέτουμε $\displaystyle{2x = a , 2y = b}$ και έχουμε να λύσουμε το σύστημα:

$\displaystyle{a+b = 8}$
$\displaystyle{a^4 +b^4 =706}$

Από $\displaystyle{a+b=8}$ παίρνουμε $\displaystyle{a^2 +b^2 +2ab = 64\Rightarrow a^2 +b^2 =64 -2ab\Rightarrow a^4 +b^4 +2a^2 b^2+b^4 =64^2 -4.64ab +4a^2 b^2}$

Άρα $\displaystyle{706 -2a^2 b^2 +4.64 ab -64^2 =0 \Rightarrow (ab)^2 -128 (ab) +1695 =0}$

Η διακρίνουσα είναι $\displaystyle{D = 4 . 2401 =4.49^2 =(98)^2}$ και οι ρίζες είναι $\displaystyle{113}$ και $\displaystyle{15}$

Έχουμε λοιπόν:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:

$\displaystyle{a+b =8}$
$\displaystyle{ab = 113}$

Τα $\displaystyle{a , b}$ είναι ρίζες της εξίσωσης: $\displaystyle{k^2 - 8k + 113 =0}$ , η οποία όμως έχει διακρίνουσα αρνητική και άρα είναι αδύνατη στο $\displaystyle{R}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:

$\displaystyle{a+b =8}$
$\displaystyle{ab = 15}$

Τα $\displaystyle{a , b}$ είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{k^2 -8k +15 = 0}$ , η οποία έχει διακρίνουσα $\displaystyle{4}$ και ρίζες $\displaystyle{5}$ και $\displaystyle{3}$

Άρα

$\displaystyle{a=5}$ και $\displaystyle{b=3}$ , ή $\displaystyle{a=3}$ και $\displaystyle{b=5}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{2x = 5 , 2y = 3}$ ή $\displaystyle{2x =3 , 2y = 5}$ και τελικά :

$\displaystyle{x = \frac{5}{2} , y = \frac{3}{2}}$ ή

$\displaystyle{x=\frac{3}{2} , y = \frac{5}{2}}$

(οι οποίες επαληθεύουν το αρχικό μας σύστημα)

#3

Καλημέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά. Νομίζω ότι τέτοια συστήματα κάπως έτσι τα αντιμετωπίζαμε ως μαθητές, κάποτε...

$\displaystyle x + y = 4 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 16 - 2xy\,\,\,\left( 1 \right)$

$\displaystyle 8{x^4} + 8{y^4} = 353\;\; \Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 2{x^2}{y^2} = \frac{{353}}{8}\,\,\,\left( 2 \right)$

Η (2) λόγω της (1) γίνεται $\displaystyle {\left( {16 - 2xy} \right)^2} - 2{x^2}{y^2} = \frac{{353}}{8}\,\;\; \Leftrightarrow \;2048 - 512xy + 16{x^2}{y^2} = 353 \Leftrightarrow 16{x^2}{y^2} - 512xy + 1695 = 0$

άρα $\displaystyle xy = \frac{{113}}{4}\;\;\; \vee \;\;xy = \frac{{15}}{4}$

Τα x, y

είναι ρίζες είτε της $\displaystyle {x^2} - 4x + \frac{{15}}{4} = 0$ , δηλαδή $\displaystyle x = \frac{3}{2},\;\;y = \frac{5}{2}$ ή αντίστροφα,
είτε της $\displaystyle {x^2} - 4x + \frac{{113}}{4} = 0$ , που είναι αδύνατη.

Οι ρίζες που βρήκαμε επαληθεύουν την αρχική συνθήκη.

edit: Πρόλαβε ο Δημήτρης, αλλά, έχουμε διαφορετική λύση.

#4

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 24, 2022 8:51 am Να λυθεί το σύστημα :

Είναι άσκηση Άλγεβρας , άρα απαιτείται αναλυτική παρουσίαση της λύσης .

$\displaystyle {(x + y)^4} = 256 \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + 4xy({x^2} + {y^2}) + 6{x^2}{y^2} = 256$

$\displaystyle 4xy\left( {16 - 2xy} \right) + 6{x^2}{y^2} = 256 - \frac{{353}}{8} \Leftrightarrow 64xy - 2{x^2}{y^2} = \frac{{1695}}{8}$

$\displaystyle {(xy)^2} - 32xy + \frac{{1695}}{{16}} = 0 \Leftrightarrow xy = \frac{{15}}{4} \vee xy = \frac{{113}}{4}$

Άρα, οι x, y

είναι ρίζες της εξίσωσης $\boxed{t^2-4t+\dfrac{15}{4}=0}$ ή της $t^2-4t+\dfrac{113}{4}=0$

Η δεύτερη δεν έχει πραγματικές ρίζες, ενώ η πρώτη δίνει $\boxed{x=\frac{3}{2}, y=\frac{5}{2}}$ ή $\boxed{x=\frac{5}{2}, y=\frac{3}{2}}$

Περίπου ίδια λύση με τον Γιώργο με διαφορά ενός λεπτού

orestisgotsis · #5

Περιττό

KARKAR · #6

orestisgotsis έγραψε: Σάβ Δεκ 24, 2022 10:56 am
$8{{x}^{4}}+8{{\left( 4-x \right)}^{4}}=353\Rightarrow 16{{x}^{4}}-128{{x}^{3}}+768{{x}^{2}}-2048x+1695=0\Rightarrow$

$\left( 2x-5 \right)\left( 2x-3 \right)\left( 4{{x}^{2}}-16x+113 \right)=0\Rightarrow x=\dfrac{5}{2}$ ή $x=\dfrac{3}{2}$ , κ.τ.λ.

( Αλλά αυτό δεν είναι τέχνασμα )

Τρεις παρατηρήσεις : 1η . Αναρωτήθηκες γιατί άλλοι χρησιμοποιούν το : $\Leftrightarrow$ και όχι το : $\Rightarrow$ ;

2η . Πρέπει να εξηγήσεις πως πέτυχες την παραγοντοποίηση ( αφού οι ρίζες δεν είναι ακέραιες )

3η . Όντως δεν είναι τέχνασμα ( πάντως αυτό που είχε στο μυαλό του ο θεματοδότης δεν χρησιμοποιήθηκε ακόμη

)

Tolaso J Kos · #7

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 24, 2022 8:51 am Να λυθεί το σύστημα :

Είναι άσκηση Άλγεβρας , άρα απαιτείται αναλυτική παρουσίαση της λύσης .

Θέτω $x=2-\kappa$ και $y=2+\kappa$ όπου $\kappa \in [-2, 2]$ . Οπότε η δεύτερη εξίσωση γίνεται:

$\displaystyle{\begin{aligned} \left ( 2 \left ( 2-\kappa \right ) \right )^4 + \left ( 2\left ( 2 + \kappa \right ) \right )^4 = 706 &\Leftrightarrow \left ( 4 -2 \kappa \right )^4 + \left ( 4 + 2 \kappa \right )^4 = 706 \\ &\Leftrightarrow \left [ \left ( 4 - 2\kappa \right )^2 \right ]^2 + \left [ \left ( 4 + 2\kappa \right )^2 \right ]^2 = 706\\ &\Leftrightarrow \cdots \\ &\Leftrightarrow 32 \kappa^4 + 768 \kappa^2 + 512 = 706 \\ & \Leftrightarrow 32 \kappa^4 + 768 \kappa^2 - 194 =0 \\ &\!\!\!\!\!\!\!\overset{\omega=\kappa^2}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! \Rightarrow } 32 \omega^2 + 768 \omega - 194 = 0 \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \omega & = & - \frac{97}{4} \quad (\text{\gr απορρίπτεται})\\ \omega & = & \frac{1}{4} \end{matrix}\right. \end{aligned}}$
Άρα $\kappa=\pm \frac{1}{2}$ . Οι τιμές των x, y

έπονται.

Από τη Ρώμη για το Tolaso. Καλές γιορτές ευτυχισμένα Χριστούγεννα σε όλους.

#8

Μια λίγο διαφορετική παρουσίαση:

Θέτω $\displaystyle{x+y=k}$ , δηλαδή $\displaystyle{k=4}$ και $\displaystyle{xy=m}$

Από $\displaystyle{x^4 +y^4 =\frac{353}{8}}$ παίρνουμε: $\displaystyle{(x^2 +y^2 )^2 - 2x^2 y^2 =\frac{353}{8}\Leftrightarrow [(x+y)^2 -2xy]^2 -2(xy)^2 =\frac{353}{8}}$ και
άρα:

$\displaystyle{(k^2 -2m)^2 -2m^2 =\frac{353}{8}\Leftrightarrow (16-2m)^2 -2m^2 =\frac{353}{8}\Leftrightarrow 2m^2 -64m +\frac{1695}{8} =0}$

Άρα $\displaystyle{16m^2 -8.64 m + 1695 =0}$

Η διακρίνουσα είναι $\displaystyle{D= (8.64)^2 - 4.16.1695 =64.64^2 -64.1695 = 64(64^2 -1695)=64.2401 =8^2 . 49^2}$ και οι ρίζες είναι

$\displaystyle{\frac{113}{4}}$ και $\displaystyle{\frac{15}{4}}$

Έχουμε λοιπόν να λύσουμε τα συστήματα:

$\displaystyle{x+y=4}$
$\displaystyle{xy=\frac{113}{4}}$
και
$\displaystyle{x+y=4}$
$\displaystyle{xy=\frac{15}{4}}$

τα οποία είναι στοιχειώδη.

orestisgotsis · #9

Περιττό

abgd · #10

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 24, 2022 8:51 am Να λυθεί το σύστημα :

Είναι άσκηση Άλγεβρας , άρα απαιτείται αναλυτική παρουσίαση της λύσης .

Το σύστημα είναι ισοδύναμο με το $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 2x+2y=5+3\\ (2x)^4+(2y)^4=5^4+3^4 \end{matrix}\right\}}$

Θα δείξουμε ότι το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y=a+b\\ x^4+y^4=a^4+b^4 \end{matrix}\right\}, \ \ (a,b)\ne(0,0) }$ έχει λύσεις τις προφανείς $\displaystyle{(a,b)}$ και $\displaystyle{(b,a)}$ και μόνον αυτές.

Από την πρώτη εξίσωση έχουμε ότι: $\displaystyle{\boxed{\bf{x-a=b-y}}}$ και $\displaystyle{\boxed{\bf{x-b=a-y}}}$

Έτσι, αρκεί να δείξουμε ότι το πολυώνυμο 4ου βαθμού ως προς $\displaystyle{x: \ \ x^4-a^4+y^4-b^4}$ έχει παράγοντες τους $\displaystyle{x-a, \ \ x-b}$ και ένα θετικό τριώνυμο.

Είναι:

$\displaystyle{x^4-a^4+y^4-b^4=(x-a)(x^3+ax^2+a^2x+a^3)-(b-y)(y^3+by^2+b^2y+b^3)=}$

$\displaystyle{=(x-a)(x^3+ax^2+a^2x+a^3-y^3-by^2-b^2y-b^3)=}$

Προσθαφαιρούμε το $\displaystyle{\bf{a^2b}}$ και το $\displaystyle{\bf{ab^2}}$ στη δεύτερη παρένθεση:

$\displaystyle{=(x-a)\left((x^3-b^3)+(a^3-y^3)+(ax^2-ab^2)+(ab^2-b^2y)+(a^2x-a^2b)+(a^2b-by^2)\right)=}$

Στη δεύτερη παρένθεση από όλες τις παρενθέσεις που περιλαμβάνει βγάζουμε κοινό παράγοντα το $\displaystyle{(x-b)}$

$\displaystyle{=(x-a)(x-b)\left(x^2+bx+b^2+a^2+ay+y^2+ax+ab+b^2+a^2+ab+by\right)=}$

Εύκολα τώρα προκύπτει το ζητούμενο

$\displaystyle{(=x-a)(x-b)\left(x^2+y^2+a^2+b^2+2(a+b)^2\right)}$

Συνεπώς το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 2x+2y=5+3\\ (2x)^4+(2y)^4=5^4+3^4 \end{matrix}\right\}}$ έχει λύσεις τις

$\displaystyle{(a,b)}$ και $\displaystyle{(b,a)}$ με $\displaystyle{a=\frac{5}{2}}$ και $\displaystyle{b=\frac{3}{2}}$

KARKAR · #11

Διαβάζοντας την λύση του abgd

, συνειδητοποιεί κανείς την ομορφιά και το ανεξάντλητο των Μαθηματικών

Το υπονοούμενο τέχνασμα είναι η ιδέα του Tolaso J Kos

. Διότι για : x=2-k , y=2+k

τα αναπτύγματα των :

(2-k)^4 , (2+k)^4

έχουν αντίθετους τους όρους τρίτου και πρώτου βαθμού , οπότε η εξίσωση γίνεται διτετράγωνη .

Είναι λοιπόν : $(2-k)^4+(2+k)^4=\dfrac{353}{8}\Leftrightarrow ...16k^4+384k^2-97=0\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{2} \vee k=-\dfrac{1}{2}$ κ.λ.π.

Τέχνασμα εκ συστήματος

Τέχνασμα εκ συστήματος

Re: Τέχνασμα εκ συστήματος

Re: Τέχνασμα εκ συστήματος

Re: Τέχνασμα εκ συστήματος

Re: Τέχνασμα εκ συστήματος

Re: Τέχνασμα εκ συστήματος

Re: Τέχνασμα εκ συστήματος

Re: Τέχνασμα εκ συστήματος

Re: Τέχνασμα εκ συστήματος

Re: Τέχνασμα εκ συστήματος

Re: Τέχνασμα εκ συστήματος

Μέλη σε σύνδεση