Άθροισμα τετραγώνων

#1

Δείξτε ότι για οποιουσδήποτε δύο ακεραίους

και

, υπάρχουν ακέραιοι

και

με

$\displaystyle{(m^2+n^2)^{99}=M^2+N^2 }$

Ας την αφήσουμε 24 για τους μαθητές μας.

#2

Ανοικτή σε όλους.

#3

Παίρνουμε:

$\displaystyle{M=m(m^2 +n^2)^{49}}$ και $\displaystyle{N=n(m^2 +n^2 )^{49}}$ .

Τότε: $\displaystyle{M^2 + N^2 = m^2 (m^2 +n^2 )^{98} + n^2 (m^2 +n^2 )^{98} =(m^2 +n^2 )^{98} .(m^2 +n^2 )= (m^2 +n^2 )^{99}.}$

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 21, 2022 10:07 pm
Δείξτε ότι για οποιουσδήποτε δύο ακεραίους και , υπάρχουν ακέραιοι και με

$\displaystyle{(m^2+n^2)^{99}=M^2+N^2 }$

Ας την αφήσουμε 24 για τους μαθητές μας.

Για να μην ξεχνάμε τους μιγαιδικούς, όπως αναφέρθηκε και σε άλλη ανάρτηση, δίνω μια λύση εκτός φακέλου.

Για τον μιγαδικό z=m+ni

έχουμε

και $z^{99}=(m+ni)^{99}=...=M+Ni,$

όπου

και

ακέραιοι. Άρα $(m^2+n^2)^{99}=(|z|^2)^{99}=|z^{99}|^2=|M+Ni|^2=M^2+N^2.$

Ορέστης Λιγνός · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 21, 2022 10:07 pm
Δείξτε ότι για οποιουσδήποτε δύο ακεραίους και , υπάρχουν ακέραιοι και με

$\displaystyle{(m^2+n^2)^{99}=M^2+N^2 }$

Ας την αφήσουμε 24 για τους μαθητές μας.

Αλλιώς, αποδεικνύουμε επαγωγικά ότι για κάθε $k \in \mathbb{N}$ υπάρχουν m_k,n_k

τέτοια ώστε m_k^2+n_k^2=(m^2+n^2)^k

. Για

αρκεί να επιλέξουμε m_1=m

και

. Αν για κάποιο

έχουμε βρει τα αντίστοιχα m_k,n_k

, τότε είναι

$(m^2+n^2)^{k+1}=(m^2+n^2)^k \cdot (m^2+n^2)=(m_k^2+n_k^2)(m^2+n^2)=(m \cdot m_k-n \cdot n_k)^2+(m \cdot n_k+n \cdot m_k)^2,$

όπου η τελευταία ισότητα ισχύει από την ταυτότητα του Lagrange. Άρα, απλώς επιλέγουμε $m_{k+1}=m \cdot m_k-n \cdot n_k$ και $n_{k+1}=m \cdot n_k+n \cdot m_k$ , οπότε το επαγωγικό βήμα ολοκληρώθηκε.

#6

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 24, 2022 10:19 am

Αλλιώς, αποδεικνύουμε επαγωγικά ότι για κάθε $k \in \mathbb{N}$
...
όπου η τελευταία ισότητα ισχύει από την ταυτότητα του Lagrange.

.
Ας δούμε πώς συνδέεται η επαγωγική μέθοδος του Ορέστη με την μέθοδο του Δημήτρη, στο πρώτο ποστ.

Ξεκινάμε από τον

(γενικά, οποιοδήποτε άρτιο). Παίρνουμε $M=(m^2+n^2)^{49}$ . Έχουμε τότε την γραφή $(m^2+n^2)^{98}=M^2+0^2$ (ανάλογα για οποιονδηποτε άρτιο).

Τότε για τον

(γενικά, για τον επόμενο περιττό) έχουμε

$(m^2+n^2)^{99}=(m^2+n^2)^{98}(m^2+n^2)=(M^2+0^2)(m^2+n^2)$ το οποίο φέρνουμε στην μορφή M_1^2+N_1^2

, με χρήση της ταυτότητας Lagrange, όπως στην μέθοδο του Ορέστη. Συγκεκριμένα, θα βρούμε τους $M,\,N$ που γράφει ο Δημήτρης.

Συνοψίζοντας: Για άρτιο εκθέτη

έχουμε την γραφή

$(m^2+n^2)^{2a} = \left [(m^2+n^2)^a \right ]^2 +0^2$

Για περιττό εκθέτη 2a+1

έχουμε την γραφή

$(m^2+n^2)^{2a+1} = \left [m(m^2+n^2)^a \right ]^2 + \left [n(m^2+n^2)^a \right ]^2$

Άθροισμα τετραγώνων

Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση