Οικογένεια καγκουρό

#1

Σε μια οικογένεια Καγκουρό, όλα τα μέλη της ζυγίζουν $\displaystyle{306}$ κιλά. Τα δύο πιο ελαφριά από αυτά
ζυγίζουν μαζί $\displaystyle{20}$ κιλά και τα τρία πιο βαριά, ζυγίζουν μαζί $\displaystyle{120}$ κιλά.
Πόσα τουλάχιστον και πόσα το πολύ μέλη μπορεί να έχει η οικογένεια αυτή;

(Σε παλαιότερο διαγωνισμό "ΚΑΓΚΟΥΡΟ" για την Α , Β Γυμνασίου, είχε τεθεί ένα παρόμοιο θέμα , και ήταν πολλαπλής
επιλογής, όπως είναι όλα τα θέματα στον διαγωνισμό αυτό. Συγκεκριμένα είχε τεθεί το εξής :

Μια ομάδα από καγκουρό ζυγίζει συνολικά $\displaystyle{100}$ κιλά. Τα δύο πιο ελαφριά καγκουρό ζυγίζουν μαζί $\displaystyle{20}$ κιλά.
Τα δύο πιο βαριά ζυγίζουν μαζί $\displaystyle{65}$ κιλά. Πόσα καγκουρό έχει η ομάδα;

Α. $\displaystyle{5}$ , Β. $\displaystyle{6}$ , Γ. $\displaystyle{7}$ , Δ. $\displaystyle{8}$ , Ε. Δεν μπορούμε να ξέρουμε)

Henri van Aubel · #2

Για το πρώτο.
Θέτω $a_{1},a_{2}$ τα δύο ελαφρύτερα με βαρύτερο το $a_{1}$
Θέτω $a_{3},a_{4},...,a_{n}$ τα

μεσαία σε βάρος με βαρύτερο το $a_{3}$ και ελαφρύτερο το $a_{4}$
Θέτω $a_{y},a_{x},a_{k}$ τα τρία βαρύτερα με ελαφρύτερο το $a_{k}$

Είναι $a_{4}> a_{1}> 10$ και $\displaystyle a_{4}< \frac{306-20-120}{n}=\frac{166}{n}$

Οπότε $\displaystyle \frac{166}{n}> 10\Leftrightarrow n\leqslant 16$

Είναι ακόμα $a_{k}< 40$ και $\displaystyle a_{k}> a_{3}> \frac{166}{n}$

Άρα πρέπει $\displaystyle \frac{166}{n}< 40\Leftrightarrow n\geqslant 5$

Συνεπώς, τα καγκουρό είναι τουλάχιστον

και το πολύ

Για το δεύτερο εργαζόμαστε ομοίως και βρίσκουμε απάντηση

#3

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 20, 2023 7:07 pm
Για το πρώτο.
Θέτω $a_{1},a_{2}$ τα δύο ελαφρύτερα με βαρύτερο το $a_{1}$
Θέτω $a_{3},a_{4},...,a_{n}$ τα μεσαία σε βάρος με βαρύτερο το $a_{3}$ και ελαφρύτερο το $a_{4}$
Θέτω $a_{y},a_{x},a_{k}$ τα τρία βαρύτερα με ελαφρύτερο το $a_{k}$

Είναι $a_{4}> a_{1}> 10$ και $\displaystyle a_{4}< \frac{306-20-120}{n}=\frac{166}{n}$

Οπότε $\displaystyle \frac{166}{n}> 10\Leftrightarrow n\leqslant 16$

Είναι ακόμα $a_{k}< 40$ και $\displaystyle a_{k}> a_{3}> \frac{166}{n}$

Άρα πρέπει $\displaystyle \frac{166}{n}< 40\Leftrightarrow n\geqslant 5$

Συνεπώς, τα καγκουρό είναι τουλάχιστον και το πολύ

Για το δεύτερο εργαζόμαστε ομοίως και βρίσκουμε απάντηση

Αν υποθέσουμε ότι είναι σωστό το $\displaystyle{16}$ ως το ελάχιστο πλήθος των καγκουρό μεσαίου βάρους, τότε ποια θα είναι τα βάρη αυτών;
Σίγουρα το ελάχιστο βάρος καθενός, θα πρέπει να είναι το $\displaystyle{11}$ κιλά. Όμως επειδή $\displaystyle{11 . 16 =176}$ , αυτό σημαίνει ότι κάποιο (ή
κάποια) θα πρέπει να έχουν βάρος λιγότερο από $\displaystyle{11}$ κιλά, πράγμα άτοπο αφού τότε θα ανήκαν στην κατηγορία των ελαφρύτερων.
Αν πάλι υποθέσουμε ότι αυτά με το ελάχιστο βάρος (δηλαδή $\displaystyle{11}$ κιλά) είναι $\displaystyle{15}$ στον αριθμό, τότε αφού $\displaystyle{15.11=165}$ , θα
έπρεπε το δέκατο έκτο να είχε βάρος $\displaystyle{1}$ κιλό, που πάλι είναι άτοπο.
Εξετάζουμε λοιπόν αν γίνεται να έχουμε $\displaystyle{14}$ καγκουρό με βάρος $\displaystyle{11}$ κιλά.
Επειδή $\displaystyle{14 . 11 = 154}$ , τότε θα υπάρχει και ένα ακόμα με βάρος $\displaystyle{12}$ κιλά, που είναι αποδεκτό, αφού το $\displaystyle{12}$ ανήκει στην κατηγορία του μεσαίου βάρους.
Άρα τα καγκουρό μεσαίου βάρους, θα πρέπει να είναι το πολύ $\displaystyle{15}$ , συνεπώς συνολικά ο αριθμός όλων των καγκουρό είναι το πολύ
$\displaystyle{2 +15+3 =20}$ .
Νομίζω λοιπόν ότι η απάντηση για το πόσα το πολύ καγκουρό είναι στην οικογένεια, είναι το $\displaystyle{20}$ και όχι το $\displaystyle{21}$

Henri van Aubel · #4

Συνάδελφε, έχετε δίκιο, αλλά γιατί η αλγεβρική μου λύση λέει άλλα; Αυτό με προβληματίζει..

#5

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 21, 2023 11:27 am
Συνάδελφε, έχετε δίκιο, αλλά γιατί η αλγεβρική μου λύση λέει άλλα; Αυτό με προβληματίζει..

Επειδή βρήκες $\displaystyle{n\leq 16}$ , για να είναι το $\displaystyle{16}$ η μέγιστη τιμή (και όχι απλώς ένα πάνω φράγμα), πρέπει να μπορούμε να "πιάσουμε" το

$\displaystyle{n=16}$ , που όμως δεν μπορέσαμε να το φτάσουμε, ενώ μπορέσαμε να φτάσουμε το $\displaystyle{n =15}$ που είναι η αμέσως παρακάτω τιμή, όπως εξήγησα στην πιο πάνω παράθεση μου.

Αυτή θεωρώ ότι είναι η εξήγηση.

Οικογένεια καγκουρό

Οικογένεια καγκουρό

Re: Οικογένεια καγκουρό

Re: Οικογένεια καγκουρό

Re: Οικογένεια καγκουρό

Re: Οικογένεια καγκουρό

Μέλη σε σύνδεση