Σταθερός λόγος

#1

Γενίκευση αυτής

: Γενίκευση Φ..png (11.55 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

Έστω

το μέσο χορδής

ενός κύκλου (O)

και δύο σημεία του D, E

στο ίδιο τόξο $\overset\frown{BC}.$ Να προσδιορίσετε

σημείο

του άλλου τόξου, ώστε αν οι DA, EA

τέμνουν την

στα

αντίστοιχα, να είναι $\displaystyle \frac{{MK}}{{ML}} = \frac{m}{n}.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 02, 2023 1:46 pm
Γενίκευση αυτήςΓενίκευση Φ..png
Έστω το μέσο χορδής ενός κύκλου και δύο σημεία του στο ίδιο τόξο $\overset\frown{BC}.$ Να προσδιορίσετε

σημείο του άλλου τόξου, ώστε αν οι τέμνουν την στα αντίστοιχα, να είναι $\displaystyle \frac{{MK}}{{ML}} = \frac{m}{n}.$

Ας είναι λυμένο το πρόβλημα .

Γράφω το κύκλο $\left( {A,K,E} \right)$ και τέμνει την ευθεία

στο

. Η γωνία $\widehat {T_{}^{}} = \widehat {\theta _{}^{}}$ . Το σημείο

είναι σταθερό ( όπου κι αν βρίσκεται το

)

γιατί ανήκει στο σταθερό κύκλο που γράφεται με χορδή

και δέχεται γωνία $\widehat {\theta _{}^{}}$ .

Θέτω το σταθερό $\boxed{CT = k}$ και $BK = x\,\,,\,\,KL = z\,,\,\,LC = y$ .

Εύκολα με δύναμη του σημείου

προκύπτει : $xy = kz\,\,\left( 1 \right)$ . Επίσης $x + y + z = BC = a\,\,\left( 2 \right)$ .

: Σταθερός λόγος_Ανάλυση.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

Τέλος επειδή , $\dfrac{{MK}}{{ML}} = \dfrac{m}{n}\,\,(m > n)$ προκύπτει : $\dfrac{{y - x}}{z} = \dfrac{{m - n}}{{m + n}}\,\, = u\,\,\,,\,\,0 < u < 1\,\,\,\left( 3 \right)$

Από τις $\left( 1 \right)\,\,,\,\,\left( 2 \right)\,\,,\,\,\left( 3 \right)$ προκύπτουν : $\left\{ \begin{gathered} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{u}{k} \hfill \\ x + y + \frac{{xy}}{k} = a \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και έτσι:

$\boxed{x = \frac{{\sqrt {{a^2}{u^2} + 4ak + 4{k^2}} - au - 2k}}{{2\left( {1 - u} \right)}}}$ .

Ο κύκλος $\left( {B,x} \right)$ τέμνει τη

στο

.

: Σταθερός λόγος_Κατασκευή ok.png (28.86 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

Αυτή για την ώρα αν και δεν μου αρέσει . Η χωρίς υπολογισμούς εν αναμονή .

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 02, 2023 1:46 pm
Γενίκευση αυτήςΓενίκευση Φ..png
Έστω το μέσο χορδής ενός κύκλου και δύο σημεία του στο ίδιο τόξο $\overset\frown{BC}.$ Να προσδιορίσετε

σημείο του άλλου τόξου, ώστε αν οι τέμνουν την στα αντίστοιχα, να είναι $\displaystyle \frac{{MK}}{{ML}} = \frac{m}{n}.$

Σταθερά στο πρόβλημα είναι : ο κύκλος $\left( {O,R} \right)$ , η χορδή του

και το μέσο της

.

Επίσης σταθερά είναι τα σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ (εδώ στο μεγάλο τόξο ) και δύο ευθύγραμμα τμήματα με μέτρα $m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,n\,\,,\,\,m > n$

: Σταθερός_άμεση κατασκευή.png (24.82 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

Υπάρχει μοναδικό σημείο

για το οποίο : $\dfrac{{DM}}{{MS}} = \dfrac{m}{n}$ ( εδώ έχω εξωτερική διαίρεση ).

Η γωνία $\widehat {A_{}^{}} = \widehat {\omega _{}^{}}$ είναι σταθερή άρα και η $\boxed{\theta = 180^\circ - \omega }$ .

Γράφω κύκλο χορδής

που δέχεται γωνία $\theta$ και τέμνει την ευθεία

εν γένει σε δύο σημεία .

Έστω ( εδώ )

το σημείο που ο κύκλος αυτός τέμνει τη χορδή

. Η

τέμνει το μικρό τόξο του αρχικού κύκλου στο ζητούμενο σημείο

.

Εκ κατασκευής η SL//DK

και από την ομοιότητα των τριγώνων , $KMD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LMS$ έχω:

$\boxed{\frac{{KM}}{{ML}} = \frac{{DM}}{{MS}} = \frac{m}{n}}$

#4

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 05, 2023 3:29 am

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 02, 2023 1:46 pm
Γενίκευση αυτήςΓενίκευση Φ..png
Έστω το μέσο χορδής ενός κύκλου και δύο σημεία του στο ίδιο τόξο $\overset\frown{BC}.$ Να προσδιορίσετε

σημείο του άλλου τόξου, ώστε αν οι τέμνουν την στα αντίστοιχα, να είναι $\displaystyle \frac{{MK}}{{ML}} = \frac{m}{n}.$
Σταθερά στο πρόβλημα είναι : ο κύκλος $\left( {O,R} \right)$ , η χορδή του και το μέσο της .

Επίσης σταθερά είναι τα σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ (εδώ στο μεγάλο τόξο ) και δύο ευθύγραμμα τμήματα με μέτρα $m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,n\,\,,\,\,m > n$
Σταθερός_άμεση κατασκευή.png
Υπάρχει μοναδικό σημείο για το οποίο : $\dfrac{{DM}}{{MS}} = \dfrac{m}{n}$ ( εδώ έχω εξωτερική διαίρεση ).

Η γωνία $\widehat {A_{}^{}} = \widehat {\omega _{}^{}}$ είναι σταθερή άρα και η $\boxed{\theta = 180^\circ - \omega }$ .

Γράφω κύκλο χορδής που δέχεται γωνία $\theta$ και τέμνει την ευθεία εν γένει σε δύο σημεία .

Έστω ( εδώ ) το σημείο που ο κύκλος αυτός τέμνει τη χορδή . Η τέμνει το μικρό τόξο του αρχικού κύκλου στο ζητούμενο σημείο .

Εκ κατασκευής η και από την ομοιότητα των τριγώνων , $KMD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LMS$ έχω:

$\boxed{\frac{{KM}}{{ML}} = \frac{{DM}}{{MS}} = \frac{m}{n}}$

Αυτό ακριβώς ήθελα Νίκο

Σταθερός λόγος

Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Μέλη σε σύνδεση