Απο ισότητα σε ανισότητα

#1

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\,\,\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R}$ για την οποία : $\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)} dx = 2$ .

Δείξετε ότι : $\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)} dx \geqslant 12$

#2

Τα δεδομένα και το ζητούμενο μάς φέρνουν στο μυαλό να ολοκληρώσουμε την ανισότητα $\displaystyle{f^2(x)\geq 2xf(x)-x^2}$ στο διάστημα $\displaystyle{[0,1]}$ , η οποία προέρχεται από την προφανή $\displaystyle{(f(x)-x)^2\geq 0}$ .

Αυτό μας οδηγεί στο φράγμα $\displaystyle{\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq \frac{11}{3}}$ , που είναι "χειρότερο" από το ζητούμενο.

Μικρό το κακό!

Ας εκκινήσουμε από την $\displaystyle{(f(x)-ax)^2\geq 0}$ και ας διαλέξουμε το $\displaystyle{a}$ αργότερα.

Είναι $\displaystyle{f^2(x)\geq 2axf(x)-a^2x^2,}$ οπότε με ολοκλήρωση στο διάστημα $\displaystyle{[0,1]}$ λαμβάνουμε

$\displaystyle{\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq 4a-\frac{a^2}{3}.}$

Αρκεί τώρα να επιλέξουμε το $\displaystyle{a}$ , ώστε $\displaystyle{4a-\frac{a^2}{3}=12.}$ Είναι φανερό ότι αυτό συμβαίνει μόνο αν $\displaystyle{a=6.}$

#3

matha έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 21, 2023 1:48 pm
Τα δεδομένα και το ζητούμενο μάς φέρνουν στο μυαλό να ολοκληρώσουμε την ανισότητα $\displaystyle{f^2(x)\geq 2xf(x)-x^2}$ στο διάστημα $\displaystyle{[0,1]}$ , η οποία προέρχεται από την προφανή $\displaystyle{(f(x)-x)^2\geq 0}$ .

Αυτό μας οδηγεί στο φράγμα $\displaystyle{\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq \frac{11}{3}}$ , που είναι "χειρότερο" από το ζητούμενο.

Μικρό το κακό!

Ας εκκινήσουμε από την $\displaystyle{(f(x)-ax)^2\geq 0}$ και ας διαλέξουμε το $\displaystyle{a}$ αργότερα.

Είναι $\displaystyle{f^2(x)\geq 2axf(x)-a^2x^2,}$ οπότε με ολοκλήρωση στο διάστημα $\displaystyle{[0,1]}$ λαμβάνουμε

$\displaystyle{\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq 4a-\frac{a^2}{3}.}$

Αρκεί τώρα να επιλέξουμε το $\displaystyle{a}$ , ώστε $\displaystyle{4a-\frac{a^2}{3}=12.}$ Είναι φανερό ότι αυτό συμβαίνει μόνο αν $\displaystyle{a=6.}$

Ακριβώς αυτό .Η άσκηση είναι από ένα παλιό βιβλίο δεσμών του Γ. Μπαϊλάκη ( άλυτη)

Η διαπραμάτευση από τον Θάνο έχει διδακτική αξία .

Απο ισότητα σε ανισότητα

Απο ισότητα σε ανισότητα

Re: Απο ισότητα σε ανισότητα

Re: Απο ισότητα σε ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση