Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (11η τάξη, 2η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

LXXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
25 Μαρτίου 2023 $\bullet$ 11η τάξη, 2η μέρα

Πρόβλημα 1. Δίνεται μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , η οποία ικανοποιεί την σχέση f(n+f(m))=f(n)+m+1

για οποιαδήποτε $m,n \in \mathbb{N}$ . Να βρείτε όλες τις τιμές, που μπορεί να πάρει η f(2023)

. (Τ. Γκαρμάνοβα)

Πρόβλημα 2. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος διαφορετικών ακέραιων αριθμών που πρέπει να πάρουμε, ώστε μεταξύ αυτών να μπορούμε να διαλέξουμε τόσο γεωμετρική πρόοδο, όσο και αριθμητική μήκους

; (Μ. Ευδοκίμοβ)

Πρόβλημα 3. Στο τρίγωνο ABC

τα ύψη

και

τέμνονται στο σημείο

, το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

και

είναι το σημείο τομής των εσωτερικών εφαπτομένων των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων BMF

και

. Να αποδείξετε, ότι τα σημεία X,M

και

είναι συνευθειακά. (Ι. Μιχαήλοβ)

Πρόβλημα 4. Διατίθεται ένας απόλυτα ακριβής ζυγός ισορροπίας δυο πιατελών και μια συλλογή

σταθμών, τα βάρη των οποίων ισούνται με $\arctan 1$ , $\arctan \frac{1}{2}$ , $\arctan \frac{1}{3}$ , …, $\arctan \frac{1}{50}$ . Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε

από αυτά και να τοποθετήσουμε από

σταθμά σε κάθε πιατέλα, ώστε ο ζυγός να ισορροπήσει. (Μ. Ευδοκίμοβ)

Πρόβλημα 5. Σε ένα κυρτό πολύεδρο συμβολίζουμε με K, A

και

αντίστοιχα τον αριθμό των κορυφών, τον αριθμό των ακμών και το μέγιστο αριθμό τριγωνικών εδρών, που έχουν κοινή κορυφή. Να αποδείξετε ότι $K \sqrt{A+T} \geq 2 A$ .
Για παράδειγμα, σε ένα τετράεδρο (K=4, A=6, T=3)

ικανοποιείται η ισότητα και σε έναν κύβο (K=8, A=12, T=0)

η ανισότητα είναι αυστηρή. (Ο. Κοσούχιν)

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 26, 2023 1:45 pm
Πρόβλημα 1. Δίνεται μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , η οποία ικανοποιεί την σχέση για οποιαδήποτε $m,n \in \mathbb{N}$ . Να βρείτε όλες τις τιμές, που μπορεί να πάρει η .

Έστω ότι $f(0) = c \in \mathbb{N}$ . Θέτοντας m=n=0

στη δοσμένη σχέση, βρίσκουμε ότι f(c) = c+1

.
Θέτοντας n=c

και

στη δοσμένη σχέση, βρίσκουμε ότι $f(c+f(0)) = f(c) +1 \Longrightarrow f(2c) = c+2$ .
Αν υπήρχε $x \in \mathbb{N}$ τέτοιος, ώστε c <x < 2c

, τότε, επειδή η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα, θα είχαμε ότι c+1 =f(c) <f(x) < f(2c) = c+2

, πράγμα άτοπο, αφού $f(x) \in \mathbb{N}$ . Επομένως, οι

και

είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, οπότε c=1

.
Θέτοντας τώρα m=0

στη δοσμένη σχέση, βρίσκουμε ότι για κάθε $n \in \mathbb{N}$ ισχύει f(n+1) = f(n) +1

. Άρα, είναι f(n) = n+1

για κάθε $n \in \mathbb{N}$ και ειδικότερα f(2023) = 2024

.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (11η τάξη, 2η μέρα)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (11η τάξη, 2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (11η τάξη, 2η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση