Άθροισμα τετραγώνων

Tolaso J Kos · #1

Να βρεθεί πολυώνυμο της μορφής $\mathrm{P}(x) = \alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x +\delta \;,\;\alpha \neq 0$ τέτοιο ώστε $\mathrm{P}(0)=0$ και για κάθε ισχύει

$\displaystyle{\mathrm{P}(x) - \mathrm{P}(x-1) = x^2}$
Αξιοποιώντας το παραπάνω να δειχθεί ότι

$\displaystyle{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + \nu^2 = \frac{\nu \left ( \nu+1 \right )\left ( 2\nu+1 \right )}{6}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Μάιος 03, 2023 1:05 pm

Να βρεθεί πολυώνυμο της μορφής $\mathrm{P}(x) = \alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x +\delta \;,\;\alpha \neq 0$ τέτοιο ώστε $\mathrm{P}(0)=0$ και για κάθε ισχύει

$\displaystyle{\mathrm{P}(x) - \mathrm{P}(x-1) = x^2}$

Αξιοποιώντας το παραπάνω να δειχθεί ότι

$\displaystyle{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + \nu^2 = \frac{\nu \left ( \nu+1 \right )\left ( 2\nu+1 \right )}{6}}$

I) $\displaystyle P(0) = 0 \Leftrightarrow d = 0$

$\displaystyle P(x) - P(x - 1) = {x^2} \Leftrightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx - a{(x - 1)^3} - b{(x - 1)^2} - c(x - 1) = {x^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 3a{x^2} - (3a - 2b)x + (a - b + c) = {x^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a = 1 \hfill \\ 3a - 2b = 0 \hfill \\ a - b + c = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow a = \frac{1}{3},b = \frac{1}{2},c = \frac{1}{6}$

Άρα το ζητούμενο πολυώνυμο είναι $\boxed{P(x) = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{6}x}$

II) Σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα είναι:

P(1)-P(0)=1^2

Με πρόσθεση κατά μέλη, $\displaystyle {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = P(n) = \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6} = \frac{{n(2{n^2} + 3n + 1)}}{6} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$

KARKAR · #3

Στο περίφημο για τους παλιότερους βιβλίο του Ηλία Ντζιώρα : "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ" , η άσκηση αυτή ,

είναι λυμένη εφαρμογή . Ακολουθώντας παρόμοια μέθοδο μπορούμε να υπολογίσουμε ( είναι άσκηση ! ) , το :

άθροισμα : $1^3+2^3+3^3+....+n^3 , ( n \in \mathbb{N^*} )$

Tolaso J Kos · #4

KARKAR έγραψε: Τετ Μάιος 03, 2023 8:14 pm .... Ακολουθώντας παρόμοια μέθοδο μπορούμε να υπολογίσουμε ( είναι άσκηση ! ) , το :

άθροισμα : $1^3+2^3+3^3+....+n^3 , ( n \in \mathbb{N^*} )$

Θανάση,

στις σημειώσεις μου την έχω άλυτη. Ας τη δούμε;

Να δειχθεί ότι $x^2\left ( x+1 \right )^2 - x^2 \left ( x-1 \right )^2 = 4x^3$ .
Αξιοποιώντας το παραπάνω να δειχθεί ότι

$\displaystyle{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + \nu^3 = \frac{\nu^2 \left ( \nu+1 \right )^2}{4}}$

#5

Όταν ήμουν μαθητής αυτά τα αντιμετωπίζαμε με τη μέθοδο της τελείας επαγωγής που, ως δια μαγείας, εξαφανίστηκε

από την ύλη. Τώρα όσον αφορά σε μικρότερες τάξεις, χρησιμοποιούσαμε μία άλλη μέθοδο. Για παράδειγμα:

I) $\displaystyle 1 + 2 + 3 + .... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}.....$ II) $\displaystyle {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$

I)
$2^2=(1+1)^2=1^2+2\cdot 1+1$
$3^2=(2+1)^2=2^2+2\cdot 2+1$
$4^2=(3+1)^2=3^2+2\cdot 3+1$

Και με πρόσθεση κατά μέλη, $\displaystyle {(n + 1)^2} = 2(1 + 2 + 3 + ... + n) = n + 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{1 + 2 + 3 + .... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}}$

II) Ομοίως χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $\displaystyle {(x + 1)^3} = {x^3} + 3{x^2} +3x + 1,$ για x=1,2,3,...,n

και με πρόσθεση κατά μέλη καταλήγουμε στην ταυτότητα:

$\displaystyle {(n + 1)^3} = 3({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}) + 3(1 + 2 + 3 + ... + n) + n + 1$

και χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του (I) ερωτήματος, φτάνουμε στη ζητούμενη σχέση.

Άθροισμα τετραγώνων

Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση