Όριο ολοκληρώματος με συνημίτονο

#1

Aν $f: [a,\,b] \longrightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση, δείξτε ότι

$\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \int _a^bf(x) \cos ^4 (nx) dx = \frac {3}{8} \int _a^b f(x) dx}$

Σχόλιο: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χωρίς απόσειξη το Λήμμα Riemann-Lebesgue που μας εξασφαλίζει ότι $\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \int _a^b f(x) \cos (nx) dx = 0}$ . Βλέπε εδώ και σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Μέτρου. Υπόψη ότι το αποτέλεσμα ισχύει για πολύ γενικότερες ολοκληρώσιμες συναρτήσεις αλλά την τοποθετώ εδώ απευθυνόμενος σε πρωτοετείς φοιτητές. Ως άσκηση είναι απλή, αλλά την αναρτώ γιατί εκ πρώτης όψεως ο παράγοντας $\frac {3}{8}$ στο δεξί μέλος φαίνεται ... άσχετος.

Tolaso J Kos · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2023 5:01 pm

Σχόλιο: Ως άσκηση είναι απλή, αλλά την αναρτώ γιατί εκ πρώτης όψεως ο παράγοντας $\frac {3}{8}$ στο δεξί μέλος φαίνεται ... άσχετος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2023 6:54 pm
Δε νομίζω να είναι καθώς $\displaystyle{\cos 4x + 4 \cos 2x = 8 \cos^4 x -3}$

Tόλη, με την φράση σου ¨δεν νομίζω" μάλλον δεν έγινε κατανοητό το σχόλιό μου "ΕΚ ΠΡΩΤΗΣ όψεως ο παράγοντας $\frac {3}{8}$ φαίνεται .. άσχετος", ο οποίος έχει και δόση χιούμορ.

Εννοείται ότι το $\frac {3}{8}$ είναι σωστό, όπως άλλωστε ζητά η εκφώνηση (και η λύση σου). Όπως σημείωσα, η άσκηση είναι απλή.

Ως συμπλήρωμα, με την ίδια τεχνική, αποδεικνύεται ότι

$\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \int _a^bf(x) \cos ^2 (nx) dx = \frac {1}{2} \int _a^b f(x) dx}$

$\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \int _a^bf(x) \cos ^3 (nx) dx = 0$

Tolaso J Kos · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2023 7:38 pm

Εννοείται ότι το $\frac {3}{8}$ είναι σωστό, όπως άλλωστε ζητά η εκφώνηση (και η λύση σου). Όπως σημείωσα, η άσκηση είναι απλή.

Μιχάλη, προφανώς και το 3/8

είναι σωστό. Το "δε νομίζω" απαντάει στο "άσχετο" που έχεις γράψει. Δεν νομίζω ότι είναι άσχετο.

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2023 9:27 pm
Μιχάλη, προφανώς και το είναι σωστό. Το "δε νομίζω" απαντάει στο "άσχετο" που έχεις γράψει. Δεν νομίζω ότι είναι άσχετο.

Ας επαναλάβω: Είναι ΕΚ ΠΡΩΤΗΣ ΟΨΕΩΣ άσχετο, με την ένννοια ότι είναι απρόσμενο. Για παράδειγμα θα περίμενε κανείς συμμετρία, όπως είναι στην περίπτωση του $\cos ^2 (nx)$ . Όμοια είναι απρόσμενη η περίπτωση του $\cos ^6 (nx)$ που δίνει $\frac {5}{16} \int _a^b f(x)dx$ και του του $\cos ^8 (nx)$ που δίνει $\frac {89}{128} \int _a^b f(x)dx$ ενώ τα γειτονικά τους $\cos ^5(nx), \, \cos ^7(nx) , \, cos ^9 (nx)$ που δίνουν

. Ποιος δεν θα εύρισκε ΕΚ ΠΡΩΤΗΣ όψεως το $\frac {89}{128}$ απρόσμενο; Για να το βρει κανείς χρειάζεται να κάνει διάφορες προσθαφαιρέσεις συντελεστών του αναπτύγματος του $\cos ^8 x$ συναρτήσει των $\cos ^6 x, \, \cos ^4 x, \, \cos ^2 x$ και σταθεράς.

Tolaso J Kos · #6

Επαναφορά.

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2023 5:01 pm
Aν $f: [a,\,b] \longrightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση, δείξτε ότι

$\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \int _a^bf(x) \cos ^4 (nx) dx = \frac {3}{8} \int _a^b f(x) dx}$

Σχόλιο: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χωρίς απόσειξη το Λήμμα Riemann-Lebesgue που μας εξασφαλίζει ότι $\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \int _a^b f(x) \cos (nx) dx = 0}$ . Βλέπε εδώ και σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Μέτρου. Υπόψη ότι το αποτέλεσμα ισχύει για πολύ γενικότερες ολοκληρώσιμες συναρτήσεις αλλά την τοποθετώ εδώ απευθυνόμενος σε πρωτοετείς φοιτητές. Ως άσκηση είναι απλή, αλλά την αναρτώ γιατί εκ πρώτης όψεως ο παράγοντας $\frac {3}{8}$ στο δεξί μέλος φαίνεται ... άσχετος.

.
Τόλη, επειδή ζητάς επαναφορά, επισημαίνω ότι η άσκηση είναι ουσιαστικά απαντημένη πλην τετριμμένων βημάτων. Ας κάνω την υπέρβαση:

Από τον τύπο

$\displaystyle{\cos 4x + 4 \cos 2x = 8 \cos^4 x -3}$ που έγραψες, έχουμε

$\displaystyle{ \int _a^bf(x) \cos ^4 (nx) dx= \dfrac {1}{8} \int _a^bf(x) (\cos 4nx + 4 \cos 2nx +3) dx = }$

$\displaystyle{ \dfrac {1}{8} \int _a^bf(x) \cos 4nx \, dx + \dfrac {4}{8} \int _a^bf(x) \cos 2nx \, dx + \dfrac {3}{8} \int _a^bf(x) dx \to 0 + 0 +\dfrac {3}{8} \int _a^bf(x) dx}$

Γ.-Σ. Σμυρλής · #8

Γενίκευση:

$\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos^{2k}(nx)\,dx = \frac{(2k)!}{(2^k k!)^2}\int_a^b f(x)\,dx. }$

Tolaso J Kos · #9

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Τρί Απρ 08, 2025 1:10 am
Γενίκευση:

$\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos^{2k}(nx)\,dx = \frac{(2k)!}{(2^k k!)^2}\int_a^b f(x)\,dx. }$

Γιώργο,

ακολουθώντας τα βήματα του Μιχάλη. Ισχύει

$\displaystyle{\cos^{2n} x = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n} + \frac{1}{2^{2n-1}} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{k} \cos \left( 2n-2k \right) \theta}$
το οποίο προκύπτει εύκολα από το γεγονός $\displaystyle{\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}}$ αναπτύσσοντας με το διωνυμικό θεώρημα. Κάνοντας ότι έκανε ο Μιχάλης επάνω, προκύπτει αυτό που ζητάς.

Όριο ολοκληρώματος με συνημίτονο

Όριο ολοκληρώματος με συνημίτονο

Re: Όριο ολοκληρώματος με συνημίτονο

Re: Όριο ολοκληρώματος με συνημίτονο

Re: Όριο ολοκληρώματος με συνημίτονο

Re: Όριο ολοκληρώματος με συνημίτονο

Re: Όριο ολοκληρώματος με συνημίτονο

Re: Όριο ολοκληρώματος με συνημίτονο

Re: Όριο ολοκληρώματος με συνημίτονο

Re: Όριο ολοκληρώματος με συνημίτονο

Μέλη σε σύνδεση