Συμμετροδιάμεσος και συνευθειακά

#1

: Συμμετροδιάμεσος και συνευθειακά.png (23.25 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Η από το

συμμετροδιάμεσος $\vartriangle ABC$ τέμνει τον περιγεγραμμένο του κύκλο, ακόμα στο

.

Αν

το συμμετρικό του

ως προς την

, να δείξετε ότι τα A,E

και το μέσο

του

, ανήκουν στην ίδια ευθεία .

orestisgotsis · #2

ΠΕΡΙΤΤΑ

Henri van Aubel · #3

Θεωρούμε σημείο $Q\in AM$ , τέτοιο ώστε $\angle QBM=\angle BAM\Longrightarrow MC^{2}=MB^{2}=MQ\cdot MA\Longrightarrow$ $\angle QCM=\angle CAM.$

Επομένως: $\angle QBC=\angle BAM=\angle CAD=\angle CBD$ και $\angle QCB=\angle CAM=\angle BAD=\angle BCD$ και συνεπώς το

ταυτίζεται με το συμμετρικό του

ως προς την

και τελειώσαμε...

Henri van Aubel · #4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 20, 2023 12:26 pm

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 19, 2023 4:04 pm
Συμμετροδιάμεσος και συνευθειακά.png
Η από το συμμετροδιάμεσος $\vartriangle ABC$ τέμνει τον περιγεγραμμένο του κύκλο, ακόμα στο .

Αν το συμμετρικό του ως προς την , να δείξετε ότι τα και το μέσο του , ανήκουν στην ίδια ευθεία .
Συμμετροδιάμεσος και συνευθειακά.png

Αρκεί να δείξουμε ότι αν φέρουμε τη κάθετη από το $D\,\,$ στην $BC\,\,$ τέμνει τη

διάμεσο $AM\,\,$ σε σημείο $E\,\,$ , που είναι το συμμετρικό του $D\,\,$ ως προς την $BC\,\,$ .

Έστω ότι η διάμεσος $AM\,\,$ επανατέμνει τον κύκλο στο $Z\,\,$ . Επειδή $\widehat{{{a}_{1}}}=\widehat{{{a}_{2}}}\,\,$ θα

είναι και $BD=ZC\,\,$ .

Τώρα όμως το τετράπλευρο $DBCZ\,\,$ είναι ισοσκελές τραπέζιο με άμεσες συνέπειες:

$ED\bot DZ\,\,$ και $MD=MZ\,\,$ , οπότε στο ορθογώνιο $\vartriangle DZE\,\,$ η $DM\,\,$ είναι διάμεσος

και κατά συνέπεια το $E\,\,$ είναι το συμμετρικό του $D\,\,$ ως προς τη $BC\,\,$ , δηλαδή αυτό που θέλαμε.