Τμήμα της διαμέσου

KARKAR · #1

: Τμήμα της διαμέσου.png (9.29 KiB) Προβλήθηκε 1583 φορές

Στο εσωτερικό της κάθετης πλευράς

, του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε :

AB'=AB

. Αν η διάμεσος

τέμνει την BB'

στο

, υπολογίστε το τμήμα

, συναρτήσει των a , b , c

.

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2023 2:48 pm
Στο εσωτερικό της κάθετης πλευράς , του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Αν η διάμεσος τέμνει την στο , υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των .

: 2023-11-06_15-15-41.jpg (24.19 KiB) Προβλήθηκε 1578 φορές

Μενέλαος στο AMC

με διατέμνουσα την BSB'.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2023 2:48 pm
Τμήμα της διαμέσου.png Στο εσωτερικό της κάθετης πλευράς , του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Αν η διάμεσος τέμνει την στο , υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των .

Ας είναι

το μέσο του BB'

. Θα είναι : $\left\{ \begin{gathered} AM = MB = MC = m = \frac{a}{2} \hfill \\ B'N = NC = k = \frac{{b - c}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Τμήμα διαμέσου.png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 1537 φορές

Επειδή : $\dfrac{{AS}}{{AM}} = \dfrac{{AB'}}{{AN}} \Rightarrow \dfrac{x}{m} = \dfrac{c}{{c + k}}$ και άρα : $\boxed{x = \dfrac{{mc}}{{c + k}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}c}}{{c + \dfrac{{b - c}}{2}}} = \dfrac{{ac}}{{b + c}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2023 2:48 pm
Τμήμα της διαμέσου.png Στο εσωτερικό της κάθετης πλευράς , του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Αν η διάμεσος τέμνει την στο , υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των .

Η $AQ \bot BB'$ είναι διχοτόμος της γωνίας

και $\angle \theta + \omega = \angle \phi + \theta =45^0 \Rightarrow \varphi = \omega$

Επειδή και $\angle MAB= \angle ABM$ ,το εγγράψιμμο ASNB

είναι ισοσκελές τραπέζιο,επομένως $x=AS=BN=\dfrac{ac}{b+c}$

: τμήμα διαμέσου.png (27.54 KiB) Προβλήθηκε 1532 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2023 2:48 pm
Τμήμα της διαμέσου.png Στο εσωτερικό της κάθετης πλευράς , του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Αν η διάμεσος τέμνει την στο , υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των .

Προεκτείνω την

προς το

κατά τμήμα AD = AC = b

. Θα είναι : $\widehat {\omega _{}^{}} = 45^\circ + \widehat {\theta _{}^{}}$ ως εξωτερική στο $\vartriangle SB'A$ .

: Τμήμα διαμέσου_new.png (23.47 KiB) Προβλήθηκε 1506 φορές

Άρα $\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {BCD}$ και αφού $\widehat {ABS} = \widehat {D_{}^{}} = 45^\circ$ θα είναι :

$\boxed{\vartriangle ABS \approx \vartriangle BDC \Rightarrow \frac{{AS}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BD}} \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{c}{{b + c}} \Rightarrow x = \frac{{ac}}{{b + c}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2023 2:48 pm
Τμήμα της διαμέσου.png Στο εσωτερικό της κάθετης πλευράς , του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Αν η διάμεσος τέμνει την στο , υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των .

$\dfrac{(ABB')}{(BB'C)}= \dfrac{c}{b-c} \Rightarrow \dfrac{(ABB')}{2(BB'M)}= \dfrac{c}{b-c} \Rightarrow \dfrac{(ABB')}{(BB'M)}=\dfrac{2c}{b-c} \Rightarrow \dfrac{AS}{SM}=\dfrac{2c}{b-c}$

Άρα $\dfrac{x}{ \dfrac{a}{2} -x}= \dfrac{2c}{b-c} \Rightarrow x= \dfrac{ac}{b+c}$

: τμήμα διαμέσου.png (27.54 KiB) Προβλήθηκε 1502 φορές

Ιστοσελίδα · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2023 2:48 pm
Στο εσωτερικό της κάθετης πλευράς , του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Αν η διάμεσος τέμνει την στο , υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των .

: shape.png (17.75 KiB) Προβλήθηκε 1495 φορές

Ιστοσελίδα · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2023 2:48 pm
Στο εσωτερικό της κάθετης πλευράς , του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Αν η διάμεσος τέμνει την στο , υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των .

: shape2.png (18.72 KiB) Προβλήθηκε 1470 φορές

KARKAR · #9

: Τμήμα της διαμέσου.png (11.51 KiB) Προβλήθηκε 1451 φορές

Σύμφωνα με την άσκηση αυτή , το ASDB

είναι πάντα τραπέζιο . Αναρωτήθηκα λοιπόν πότε είναι και ισοσκελές .

Η απάντηση βρίσκεται στην πρώτη λύση του Μιχάλη Τσουρακάκη . Το αποτέλεσμα που βρέθηκε μας πονηρεύει

Τμήμα της διαμέσου

Τμήμα της διαμέσου

Re: Τμήμα της διαμέσου

Re: Τμήμα της διαμέσου

Re: Τμήμα της διαμέσου

Re: Τμήμα της διαμέσου

Re: Τμήμα της διαμέσου

Re: Τμήμα της διαμέσου

Re: Τμήμα της διαμέσου

Re: Τμήμα της διαμέσου

Μέλη σε σύνδεση