Όμορφο γινόμενο

KARKAR · #1

: Ό μορφο γινόμενο.png (6.13 KiB) Προβλήθηκε 1301 φορές

Στην κάθετη πλευρά

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, κινείται σημείο

, από το οποίο

φέρουμε το κάθετο προς την υποτείνουσα τμήμα

. Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου

$SA \cdot ST$ , συναρτήσει των πλευρών a , b

. Εφαρμογή : a=10 , b=6

.

#2

Καλησπέρα σε όλους.

: 18-12-2023 Γεωμετρία.png (25.05 KiB) Προβλήθηκε 1293 φορές

Από την ομοιότητα των BAT, ABC

είναι $\displaystyle y = \frac{b}{a}\left( {c - x} \right)$ , οπότε $\displaystyle SA \cdot ST = xy = \frac{b}{a}\left( {c - x} \right)x$

Είναι c-x+x=c

, σταθερό, οπότε το μέγιστο του γινομένου (c-x)x

προκύπτει όταν $\displaystyle c - x = x \Leftrightarrow x = \frac{c}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{2}$

και ισούται με $\displaystyle SA \cdot S{T_{\max }} = \frac{{b\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}{{4a}}$

KARKAR · #3

: Γινόμενο συνέχεια.png (11.31 KiB) Προβλήθηκε 1262 φορές

Ωραία ! Πάμε και την γενικότερη περίπτωση : Βρείτε το μέγιστο του : $ST\cdot SP$ ,

αν : AB=5 , AC=7 , BC=8

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 7:05 am
Γινόμενο συνέχεια.png Ωραία ! Πάμε και την γενικότερη περίπτωση : Βρείτε το μέγιστο του : $ST\cdot SP$ ,

αν : .

Για ευκολία γράφω $ST=t, \, SP=p$ .

Από τον τύπο του Ήρωνα το τρίγωνο έχει εμβαδόν $\sqrt {10\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}= 10\sqrt 3$ . Από το σχήμα, επειδή η

χωρίζει σε δύο μέρη το τρόγωνο, έχουμε

$10\sqrt 3 = (ABC) = (ABS)+(ACS) = \frac {1}{2} (5p+7t) \, (*)$ .

T'ώρα,

$pt = \dfrac {1}{35} ( 5p)(7t) \le \dfrac {1}{35} \left ( \dfrac {5p+7t}{2} \right ) ^2= ^{(*)} \dfrac {1}{35} \left ( 10\sqrt 3 \right ) ^2= \dfrac {60}{7}$

με ισότητα όταν 5p=7t

, δηλαδή $p=2\sqrt 3, \, t= \dfrac {10}{7} \sqrt 3$ . Το ζητούμενο μέγιστο είναι λοιπόν $\dfrac {60}{7}$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 7:05 am
Γινόμενο συνέχεια.png Ωραία ! Πάμε και την γενικότερη περίπτωση : Βρείτε το μέγιστο του : $ST\cdot SP$ ,

αν : .

: Όμορφο γινόμενο.Κ.png (12.92 KiB) Προβλήθηκε 1253 φορές

$\displaystyle {(ST \cdot SP)_{\max }} = \frac{{60}}{7}$ όταν

διάμεσος.

Με πρόλαβε ο Μιχάλης. Αν βρω κάτι άλλο θα επανέλθω.

#6

Λίγο διαφορετικά για τη γενική περίπτωση με AB=c, AC=b, BC=a, (ABC)=k^2.

: Όμορφο γινόμενο.Κ1.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 1247 φορές

$cx+by = 2(ABC) = 2{k^2}.$ Επειδή το άθροισμα των cx,by

είναι σταθερό, το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο

όταν $\displaystyle cx = by = {k^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{{(xy)_{\max }} = \frac{{{k^4}}}{{bc}}}$ Το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν το

είναι μέσο της

KARKAR · #7

: Γενικό γινόμενο.png (6.1 KiB) Προβλήθηκε 1227 φορές

Πάμε στην υπερ - γενίκευση : Στο εσωτερικό τριγώνου ABC

κινείται σημείο

, του οποίου οι προβολές

στις AB , BC , CA

είναι τα σημεία P , Q , T

αντίστοιχα . Υπολογίστε συναρτήσει των πλευρών a,b,c

,

το μέγιστο του γινομένου : $SP \cdot SQ \cdot ST$ .

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 12:06 pm
Γενικό γινόμενο.pngΠάμε στην υπερ - γενίκευση : Στο εσωτερικό τριγώνου κινείται σημείο , του οποίου οι προβολές

στις είναι τα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε συναρτήσει των πλευρών ,

το μέγιστο του γινομένου : $SP \cdot SQ \cdot ST$ .

Λύνεται όπως π.χ. στo ποστ #

. Aν $SP=p, \, SQ=q, \, ST=t$ έχουμε aq+bt+cq=2(ABC) = 2E

. 'Αρα από ανισότητα Α.Μ.-Γ.Μ. έχουμε

$qtp = \dfrac {1}{abc} (aq)(bt)(cp) \le \dfrac {1}{abc} \left (\dfrac {aq+bt+cp} {3} \right ) ^3= \dfrac {1}{abc} \left (\dfrac {2E} {3} \right ) ^3= \dfrac {8E^3}{27abc}$

με ισότητα όταν aq=bt=cq

. Τα υπόλοιπα, άμεσα.

nickchalkida · #9

Μία περισσότερο γεωμετρική απάντηση. Επειδή το τρίγωνο ABC

είναι δεδομένο,
θα είναι $AB \cdot AC \cdot BC = ct$ . Άρα

$\displaystyle{ (SP \cdot SQ \cdot ST)_{max} \rightarrow (SP \cdot SQ \cdot ST \cdot AB \cdot AC \cdot BC)_{max} \rightarrow (E_1 \cdot E_2 \cdot E_3)_{max} }$

αλλά E_1 +E_2 + E_3 = ct

, οπότε το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν E_1 = E_2 = E_3

,
δηλαδή όταν το

ταυτιστεί με το βαρύκεντρο του τριγώνου

.

Όμορφο γινόμενο

Όμορφο γινόμενο

Re: Όμορφο γινόμενο

Re: Όμορφο γινόμενο

Re: Όμορφο γινόμενο

Re: Όμορφο γινόμενο

Re: Όμορφο γινόμενο

Re: Όμορφο γινόμενο

Re: Όμορφο γινόμενο

Re: Όμορφο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση