Και ένα άλλο όριο!

Tolaso J Kos · #1

Αν η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f(x_0) \neq 0$ , να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} \left ( \frac{f\left ( x_0 + 2x \right )}{f(x_0)} \right )^{1/x} = e^{2f'(x_0)/f(x_0)}}$

BAGGP93 · #2

Καλημέρα Τόλη, αρχικά γράφω κάτι εκτός ύλης, για να τονιστεί το πρόσημο της βάσης.

Έστω f(x_0)>0

(αλλιώς δουλεύουμε με την

). Λόγω συνέχειας της

στο σημείο x_0,

για $\epsilon=f(x_0)>0$ υπάρχει $\delta>0$ ώστε

|f(x)-f(x_0)|<f(x_0)

για όλα τα $x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right),$ δηλαδή $0<f(x)<2\,f(x_0),\,\,\forall\,x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right).$

Θεωρώ τη συνάρτηση $g(x)=f(x_0+2\,x),\,\,x\in\left(-\frac{\delta}{2},\frac{\delta}{2}\right)$ και για την οποία έχω

$x_0+2\,x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\,\,\,\forall\,x\in\left(-\frac{\delta}{2},\frac{\delta}{2}\right)\Rightarrow g(x)>0\,\,\,\forall\,x\in\left(-\frac{\delta}{2},\frac{\delta}{2}\right)$

άρα $\displaystyle{\frac{f(x_0+2\,x)}{f(x_0)}=\frac{g(x)}{f(x_0)}>0,\,\,\forall\,x\in\left(-\frac{\delta}{2},\frac{\delta}{2}\right).}$

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 9:28 am
Αν η είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f(x_0) \neq 0$ , να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} \left ( \frac{f\left ( x_0 + 2x \right )}{f(x_0)} \right )^{1/x} = e^{2f'(x_0)/f(x_0)}}$

Πρώτα απ' όλα ας βελτιώσουμε την εκφώνηση γιατί χάνει σε κομψότητα: Πηγαίνοντας στο αριστερό μέλος το

του εκθέτη δεξιά, το αποδεικτέο γίνεται

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} \left ( \frac{f\left ( x_0 + 2x \right )}{f(x_0)} \right )^{1/(2x)} = e^{f'(x_0)/f(x_0)}}$

Αντικαθιστώντας τώρα τα δύο

με (νέο)

, το αποδεικτέο γίνεται

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} \left ( \frac{f\left ( x_0 + x \right )}{f(x_0)} \right )^{1/x} = e^{f'(x_0)/f(x_0)}}$

το οποίο είναι η ίδια άσκηση χωρίς τα περιττά.

Τώρα, χωρίς βλάβη f(x_0)>0

και αφού $f(x) \to f(x_0)$ , θα είναι και f(x) >0

στην περιοχή του x_0

.

Είναι

$\displaystyle{ \ln \left ( \dfrac{f\left ( x_0 + x \right )}{f(x_0)} \right )^{1/x}\right ) = \dfrac {\ln f\left ( x_0 + x \right )- \ln f(x_0) }{x}}$

το οποίο εξ ορισμού τείνει στην παράγωγο της $\ln f(x)$ στο x_0

. Αλλά αυτή είναι $\dfrac {f'(x_0) }{f(x_0)}$ (κανόνας αλυσίδας).

Απολογαριθμίζοντας, έπεται το ζητούμενο.

(Υπάρχουν και άλλοι τρόποι επίλυσης. Τουλάχιστον δύο.)

abgd · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 9:28 am
Αν η είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f(x_0) \neq 0$ , να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} \left ( \frac{f\left ( x_0 + 2x \right )}{f(x_0)} \right )^{1/x} = e^{2f'(x_0)/f(x_0)}}$

Για $\displaystyle{ h>x_0, \ \ h}$ "κοντά στο $\displaystyle{ x_0}$ " και εφόσον η $\displaystyle{ f}$ συνεχής, θα είναι $\displaystyle{ f(h)\ne0}$

Θέτουμε $\displaystyle{x_0+2x=h}$ οπότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με το $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow x_0^+} {e^{2\frac{ln\left |f(h)| -ln|f(x_0)|}{h-x_0}}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{ g(h)=ln|f(h)|}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{x_0}$ με $\displaystyle{g'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}}$ .

Άρα $\displaystyle{\lim_{h\rightarrow x_0^+}{\frac{ln\left |f(h)| -ln|f(x_0)|}{h-x_0}}=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}$ και έτσι έχουμε το ζητούμενο.

Σημείωση. Η παραγωγισιμότητα της συνάρτησης $\displaystyle{ f}$ μας ενδιαφέρει μόνο στο $\displaystyle{ x_0}$

Έγραφα συγχρόνως με το Μιχάλη, κάνοντας την ίδια σκέψη!!

Και ένα άλλο όριο!

Και ένα άλλο όριο!

Re: Και ένα άλλο όριο!

Re: Και ένα άλλο όριο!

Re: Και ένα άλλο όριο!

Μέλη σε σύνδεση