Άθροισμα τετραγώνων σε κύκλο

#1

Δίνονται

σημεία $X_1,\, X_2, \, ... \, , X_n$ στην περιφέρεια ενός κύκλου ακτίνας

. Δείξτε ότι υπάρχουν άπειρα το πλήθος σημεία

της περιφέρειας με $AX_1^2+AX_2^2+...+AX_n^2 \ge 2nR^2$ .

(Κάνει και για Juniors)
.

abfx · #2

Έστω

ζεύγος αντιδιαμετρικών σημείων τέτοιο ώστε $A\not\equiv X_i , i=1,\ldots , n$ και $B\not\equiv X_i , i=1,\ldots , n$ .

Υπάρχουν άπειρα τέτοια ζεύγη $\text{ }(*)$ . Ας είναι $i\in\{1,\ldots ,n\}$ .

Θα ισχύει $\angle{AX_iB}=90^{\circ}$ (εγγεγραμένη σε ημικύκλιο).
$\begin{tikzpicture} \draw [gray] (0,0) circle (3); \filldraw[gray] (0,3) circle (2pt); \filldraw[gray] (0,-3) circle (2pt); \filldraw[gray] (2.4,1.8) circle (2pt); \draw (0,-3) -- (0,3); \draw (0,-3) -- (2.4,1.8); \draw (0,3) -- (2.4,1.8); \node at (0,3.3) {A}; \node at (0,-3.3) {B}; \node at (2.65,2) {X{i}}; \filldraw[gray] (0,0) circle (2pt); \node at (-0.3,0) {O}; \begin{scope}[shift={(2.4,1.8)}, rotate=154] \draw[red] (0,0) rectangle ++(2mm,2mm); \end{scope} \end{tikzpicture}$
Από Πυθαγόρειο Θεώρημα AX_i^2+BX_i^2=AB^2=4R^2

. Αυτό για κάθε

, οπότε προκύπτουν συνολικά

το πλήθος σχέσεις, τις οποίες προσθέτουμε κατά μέλη:

$\displaystyle (AX_1^2+\ldots +AX_n^2)+(BX_1^2+\dots +BX_n^2)=4nR^2$

Έτσι, είτε $AX_1^2+\ldots +AX_n^2\geq 2nR^2$ ,είτε $BX_1^2+\dots +BX_n^2\geq 2nR^2$ , δηλαδή τουλάχιστον ένα από τα δύο σημεία

ικανοποιεί τη ζητούμενη ιδιότητα, οπότε από (*)

τελειώσαμε.

Άθροισμα τετραγώνων σε κύκλο

Άθροισμα τετραγώνων σε κύκλο

Re: Άθροισμα τετραγώνων σε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση