Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2022 (10η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
20 Μαρτίου 2022 10η τάξη

Πρόβλημα 1. Να βρείτε τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό , που κατέχει την ακόλουθη ιδιότητα: για οποιονδήποτε περιττό πρώτο αριθμό , μικρότερο του , η διαφορά είναι κι αυτή πρώτος αριθμός. (Ι. Ακούλιτς)

Πρόβλημα 2. Τα σημεία και είναι τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου . Η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου στο σημείο , τέμνει την ευθεία στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της . (Ντ. Μπρότσκϊι)

Πρόβλημα 3. Μεταξύ οποιονδήποτε πέντε κόμβων ενός κοινού τετραγωνισμένου φύλλου χαρτιού οπωσδήποτε θα βρεθούν δυο, το μέσο του τμήματος που ορίζουν να είναι και αυτό κόμβος του τετραγωνισμένου χαρτιού. Άραγε ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κόμβων ενός πλέγματος με κανονικά εξάγωνα που είναι απαραίτητος, ώστε μεταξύ αυτών οπωσδήποτε να βρεθούν δυο το μέσο του τμήματος που ορίζουν να είναι και αυτό κόμβος του πλέγματος; (Α. Κουλίγκιν)

Screenshot 2024-04-21 at 11.05.23.png (27.24 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές

Πρόβλημα 4. Δίνεται ένα πολυώνυμο βαθμού με ακέραιους συντελεστές και με μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με . Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ριζών που μπορεί να έχει στο διάστημα ; (Α. Κάνελ-Μπέλοβ)

Πρόβλημα 5. Δυο τρίγωνα τέμνονται κατά ένα εξάγωνο, το οποίο αποκόπτει από αυτά μικρά τρίγωνα. Οι ακτίνες των εγγεγραμμένων τριγώνων αυτών των έξι τριγώνων ισούνται μεταξύ τους. Να αποδείξετε, ότι οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των αρχικών τριγώνων θα ισούνται κι αυτές. (Α. Κουσνίρ)

Screenshot 2024-04-20 at 22.24.52.png (62.96 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές

Πρόβλημα 6. Ο Γιώργος έγραψε σε ένα πίνακα όλες τις ακολουθίες μήκους , που αποτελούνται από μηδενικά και μονάδες. Θα ονομάσουμε δυο ακολουθίες συμβατές, αν συμπίπτουν ακριβώς σε θέσεις. Να αποδείξετε, ότι ο Γιώργος μπορεί να διαμερίσει όλες τις ακολουθίες σε ομάδες έτσι, ώστε κανένα ζεύγος συμβατών ακολουθιών να μην βρεθεί στην ίδια ομάδα. (Α. Ραϊγκορόντσκϊι)

[mick7]

Πρόβλημα 1. Να βρείτε τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό , που κατέχει την ακόλουθη ιδιότητα: για οποιονδήποτε περιττό πρώτο αριθμό , μικρότερο του , η διαφορά είναι κι αυτή πρώτος αριθμός. (Ι. Ακούλιτς)

Κάνοντας ένα πίνακα τιμών για Π1 προκύπτει οτι n=8 θεωρώντας και το 1 σαν πρωτο. Αν αγνοήσουμε το 1 τότε n=10.

[S.E.Louridas]

LXXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Πρόβλημα 2. Τα σημεία και είναι τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου . Η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου στο σημείο , τέμνει την ευθεία στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της . (Ντ. Μπρότσκϊι)

Από την καθαρή ομοιότητα των τριγώνων και με βάση τις αντίστοιχες (ομόλογες) διαμέσους έχουμε με Έτσι καταλήγουμε στην σχέση και τελικά στο ζητούμενο με τη βοήθεια της ισότητας εγγεγραμμένης με την αντίστοιχη υπό χορδής και εφαπτομένης … (για να ασχοληθούν και μαθητές που ενδιαφέρονται).

[Pi3.1415]

LXXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
20 Μαρτίου 2022 10η τάξη

Πρόβλημα 1. Να βρείτε τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό , που κατέχει την ακόλουθη ιδιότητα: για οποιονδήποτε περιττό πρώτο αριθμό , μικρότερο του , η διαφορά είναι κι αυτή πρώτος αριθμός. (Ι. Ακούλιτς)

Προφανώς, για πρέπει άρτιος, γιατί εάν περιττός άτοπο μιας και δεν υπάρχει άρτιος πρώτος μεγ. του 2.
Έτσι για διακρίνουμε 3 περιπτώσεις:
α)
Αφού , αναγκαστικά άτοπο
β)
Αφού , ,γιατί ψάχνουμε λύσεις μεγαλύτερες του 5.
γ)
Αφού ,
Επαληθεύοντας, η μέγιστη τιμή του n είναι το 10.