Μήκη πλευρών και λόγος εμβαδών

#1

: Μήκη κι εμβαδά.png (18 KiB) Προβλήθηκε 1015 φορές

.
Στο σχήμα να βρεθούν όλα τα μήκη των πλευρών των ορθογωνίων τριγώνων και ο λόγος των εμβαδών : Γκρίζο προς πράσινο .

Φανης Θεοφανιδης · #2

: 777.png (8.64 KiB) Προβλήθηκε 990 φορές

Είναι:

$\varepsilon \varphi 2\theta =\dfrac{AD}{BD}$

$\varepsilon \varphi \theta =\dfrac{ED}{DC}$

$x\cdot y=AD^{2}$ .

Από τους παραπάνω τύπους βρίσκω ότι x=9

,

.
Οπότε όλα τα υπόλοιπα που ζητά ο Νίκος υπολογίζονται εύκολα.
Τώρα (ADB)=54

.
Επίσης $(ACE)=\dfrac{y\cdot AE}{2}\Rightarrow (ACE)=32$ .
Συνεπώς $\dfrac{(ADB)}{(ACE)}=\dfrac{27}{16}$ .

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 07, 2024 5:03 pm
777.png

Είναι:

$\varepsilon \varphi 2\theta =\dfrac{AD}{BD}$

$\varepsilon \varphi \theta =\dfrac{ED}{DC}$

$x\cdot y=AD^{2}$ .

Από τους παραπάνω τύπους βρίσκω ότι , .
Οπότε όλα τα υπόλοιπα που ζητά ο Νίκος υπολογίζονται εύκολα.
Τώρα .
Επίσης $(ACE)=\dfrac{y\cdot AE}{2}\Rightarrow (ACE)=32$ .
Συνεπώς $\dfrac{(ADB)}{(ACE)}=\dfrac{27}{16}$ .

#4

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 07, 2024 12:07 pm
Μήκη κι εμβαδά.png
.
Στο σχήμα να βρεθούν όλα τα μήκη των πλευρών των ορθογωνίων τριγώνων και ο λόγος των εμβαδών : Γκρίζο προς πράσινο .

Η μεσοκάθετος του

τέμνει την

στο

Εύκολα προκύπτει ότι οι γωνίες με τον ίδιο συμβολισμό στο σχήμα, είναι

ίσες. Θέτω BD=x

και από τα όμοια τρίγωνα DEZ, DAB

προκύπτει ότι $DZ=\dfrac{2x}{3}$ και $ZC=EZ=\dfrac{2c}{3}.$

: Μήκη και λόγος.png (14.01 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

Αλλά, $\displaystyle 144 = xDC \Leftrightarrow ZC = \frac{{144}}{x} - \frac{{2x}}{3} \Leftrightarrow c = \frac{{216 - {x^2}}}{x}$

Με Π.Θ τώρα στο ABD

είναι

οπότε $\boxed{c=15}$ Στη συνέχεια $\displaystyle a = x + \frac{{2x}}{3} + \frac{{2(216 - {x^2})}}{{3x}} \Leftrightarrow$ $\boxed{a=25}$

και $\boxed{b=20}$ Εύκολα πλέον $\boxed{DC=16, EC=8\sqrt 5}$

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 08, 2024 10:49 am

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 07, 2024 12:07 pm
Μήκη κι εμβαδά.png
.
Στο σχήμα να βρεθούν όλα τα μήκη των πλευρών των ορθογωνίων τριγώνων και ο λόγος των εμβαδών : Γκρίζο προς πράσινο .
Η μεσοκάθετος του τέμνει την στο Εύκολα προκύπτει ότι οι γωνίες με τον ίδιο συμβολισμό στο σχήμα, είναι

ίσες. Θέτω και από τα όμοια τρίγωνα προκύπτει ότι $DZ=\dfrac{2x}{3}$ και $ZC=EZ=\dfrac{2c}{3}.$ Μήκη και λόγος.png
Αλλά, $\displaystyle 144 = xDC \Leftrightarrow ZC = \frac{{144}}{x} - \frac{{2x}}{3} \Leftrightarrow c = \frac{{216 - {x^2}}}{x}$

Με Π.Θ τώρα στο είναι οπότε $\boxed{c=15}$ Στη συνέχεια $\displaystyle a = x + \frac{{2x}}{3} + \frac{{2(216 - {x^2})}}{{3x}} \Leftrightarrow$ $\boxed{a=25}$

και $\boxed{b=20}$ Εύκολα πλέον $\boxed{DC=16, EC=8\sqrt 5}$

Και χωρίς Τριγωνομετρία

Φανης Θεοφανιδης · #6

Ένα μεγάλο μπράβο και από μένα στο Γιώργο, αφού εδώ δεν μοιράζουν βραβεία.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 07, 2024 12:07 pm
Μήκη κι εμβαδά.png
.
Στο σχήμα να βρεθούν όλα τα μήκη των πλευρών των ορθογωνίων τριγώνων και ο λόγος των εμβαδών : Γκρίζο προς πράσινο .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\triangle BZD \simeq \triangle EDC \Rightarrow \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{8-x}{8} =\dfrac{c^2}{b^2} = \dfrac{1}{ (\dfrac{a}{c})^2-1 } (1)$

Ακόμη , $\dfrac{AZ}{ZD}= \dfrac{c}{BD}= \dfrac{a}{c} \Rightarrow \dfrac{4+x}{8-x}= \dfrac{a}{c}(2)$ και η (1)

γίνεται

$\dfrac{8-x}{8}= \dfrac{1}{ \dfrac{(4+x)^2}{(8-x)^2} -1} \Rightarrow x= \dfrac{7}{2}$

άρα $BD= \dfrac{9}{16}CD$ και $AD^2=BD.CD\Rightarrow 144= \dfrac{9}{16}CD^2 \Rightarrow CD=16 \Rightarrow BD=9 \Rightarrow a=25$

c^2=BD.a

και

δίνουν

και $\dfrac{(ABD)}{(AEC)} = \dfrac{12.9}{4.16}= \dfrac{27}{16}$

: μήκη πλευρών και λόγος εμβαδών.png (36.28 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

Ιστοσελίδα · #8

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 07, 2024 12:07 pm
Στο σχήμα να βρεθούν όλα τα μήκη των πλευρών των ορθογωνίων τριγώνων και ο λόγος των εμβαδών : Γκρίζο προς πράσινο .

: shape.png (23.5 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

Οι διχοτόμοι AP,AZ

των γωνιών ABC,DAC

αντίστοιχα, τέμνονται στο

.

Τα τετράπλευρα $ACZE,\,ABDM$ είναι εγγράψιμα και το τρίγωνο BAZ

είναι ισοσκελές.

Θέτω DZ = 6x

και από τα όμοια τρίγωνα EDZ,ADB

προκύπτει

.

Από

και από Π.Θ. στο $\triangleleft ADB:{(15x)^2} = {(9x)^2} + {12^2} \Leftrightarrow x = 1$ .

Εύκολα πλέον συμπληρώνουμε τις πλευρές των ορθογωνίων τριγώνων και βρίσκουμε το λόγο των εμβαδών $\dfrac{{(ADB)}}{{(CAE)}} = \dfrac{{27}}{{16}}$ .

Μήκη πλευρών και λόγος εμβαδών

Μήκη πλευρών και λόγος εμβαδών

Re: Μήκη πλευρών και λόγος εμβαδών

Re: Μήκη πλευρών και λόγος εμβαδών

Re: Μήκη πλευρών και λόγος εμβαδών

Re: Μήκη πλευρών και λόγος εμβαδών

Re: Μήκη πλευρών και λόγος εμβαδών

Re: Μήκη πλευρών και λόγος εμβαδών

Re: Μήκη πλευρών και λόγος εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση