Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

#1

: Ένας τρόπος για κατασκευή συμμετροφιαμέσου.png (14.7 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Έστω $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( \Omega \right)$ και

το μέσο του

. Σημείο

κινείται στο

.

Η

τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( \Omega \right)$ στο σημείο

. Ο κύκλος $\left( {Q\,\,,\,\,P\,\,,\,\,M\,} \right)$ τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( \Omega \right)$ στο σημείο $S\,\,.$

Δείξετε ότι η

είναι ο φορέας της A -

συμμετροδιαμέσου του, $\vartriangle ABC$

S.E.Louridas · #2

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 08, 2024 10:30 pm
Έστω $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( \Omega \right)$ και το μέσο του . Σημείο κινείται στο .Η τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( \Omega \right)$ στο σημείο . Ο κύκλος $\left( {Q\,\,,\,\,P\,\,,\,\,M\,} \right)$ τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( \Omega \right)$ στο σημείο $S\,\,.$ Δείξετε ότι η είναι ο φορέας της συμμετροδιαμέσου του, $\vartriangle ABC$

Έστω

το σημείο τομής της

με τον κύκλο. Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς την OM,

όπου

είναι το κέντρο του κύκλου.

Tότε, το

ανήκει στον κύκλο επίσης και βέβαια οι ευθείες BC, FT

είναι παράλληλες.

Παρατηρούμε πλέον ότι ισχύει: $\angle FQA =\angle FTA =\angle TFM=\angle BMF,$

που σημαίνει ότι τα σημεία Q,P,M,F

είναι ομοκυκλικά, οπότε τα σημεία F, S

ταυτίζονται.

Τελικά προκύπτει BS=BF=TC,

άρα παίρνουμε $\angle BAS= \angle BAF= \angle TAC.$

: DOL.png (34.3 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

#3

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 09, 2024 9:52 am

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 08, 2024 10:30 pm
Έστω $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( \Omega \right)$ και το μέσο του . Σημείο κινείται στο .Η τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( \Omega \right)$ στο σημείο . Ο κύκλος $\left( {Q\,\,,\,\,P\,\,,\,\,M\,} \right)$ τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( \Omega \right)$ στο σημείο $S\,\,.$ Δείξετε ότι η είναι ο φορέας της συμμετροδιαμέσου του, $\vartriangle ABC$
Έστω το σημείο τομής της με τον κύκλο. Αν είναι το συμμετρικό του ως προς την

όπου είναι το κέντρο του κύκλου.

Tότε, το ανήκει στον κύκλο επίσης και βέβαια οι ευθείες είναι παράλληλες.

Παρατηρούμε πλέον ότι ισχύει: $\angle FQA =\angle FTA =\angle TFM=\angle BMF,$

που σημαίνει ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά, οπότε τα σημεία ταυτίζονται.

Τελικά προκύπτει άρα παίρνουμε $\angle BAS= \angle BAF= \angle TAC.$ DOL.png

Πριν την προσθήκη του σχήματος είχα την άποψη ότι η λύση του Σωτήρη , έχριζε περεταίρω διευκρινήσεως.

Τελικά με δεύτερη προσεκτικότερη ανάγνωση ή λύση είναι πλήρης και ωραία .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 08, 2024 10:30 pm
Ένας τρόπος για κατασκευή συμμετροφιαμέσου.png
Έστω $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( \Omega \right)$ και το μέσο του . Σημείο κινείται στο .

Η τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( \Omega \right)$ στο σημείο . Ο κύκλος $\left( {Q\,\,,\,\,P\,\,,\,\,M\,} \right)$ τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( \Omega \right)$ στο σημείο $S\,\,.$

Δείξετε ότι η είναι ο φορέας της συμμετροδιαμέσου του, $\vartriangle ABC$

Οι

τέμνουν τον κύκλο $\Omega$ στα D,E

αντίστοιχα και η μεσοκάθετη της

τέμνει

τον ίδιο κύκλο στο

και η

είναι διχοτόμος της γωνίας

Λόγω της προφανούς ισότητας των πράσινων γωνιών PQS,DMC,ACS

κι επειδή η γωνία DMC

είναι εξωτερική του τριγώνου CMS

,οι μπλε γωνίες DSC,ACB

είναι ίσες,άρα AB=CD

συνεπώς

είναι ισοσκελές

τραπέζιο,άρα AD//BC

και προφανώς AM=MD

$AM.ME=DM.MS \Rightarrow ME=MS$ άρα AE=DS

και

είναι ισοσκελές τραπέζιο,

άρα ES//AD//BC

συνεπώς και BSEC

ισοσκελές τραπέζιο

Επομένως $\angle BAS= \angle EAC \Rightarrow \angle SAN= \angle NAE$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: κατασκευή συμμετροδιαμέσου.png (43.85 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

#5

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 08, 2024 10:30 pm
Ένας τρόπος για κατασκευή συμμετροφιαμέσου.png
Έστω $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( \Omega \right)$ και το μέσο του . Σημείο κινείται στο .

Η τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( \Omega \right)$ στο σημείο . Ο κύκλος $\left( {Q\,\,,\,\,P\,\,,\,\,M\,} \right)$ τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( \Omega \right)$ στο σημείο $S\,\,.$

Δείξετε ότι η είναι ο φορέας της συμμετροδιαμέσου του, $\vartriangle ABC$

Έχω: $\displaystyle \widehat {{a_1}}\,\,\, = \widehat {\,\,{a_3}}$ και $\displaystyle \widehat {{a_2}}\,\,\, = \widehat {\,\,{a_4}}$ , $\widehat {\theta _{}^{}} + \widehat {\xi _{}^{}} = 180^\circ = \widehat {\omega _{}^{}} + \widehat {\xi _{}^{}} \Rightarrow \widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {\theta _{}^{}}\,\,\,$ . Άρα , $\vartriangle ABS \approx \vartriangle CMS \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_3}}\,\,\, = \widehat {\,\,{a_5}}}$

: Ένας τρόπος για κατασκευή συμμετροδιαμέσου_ τεκμηρίωση.png (30.67 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές

Δηλαδή στο $\vartriangle SBC$ η ευθεία

είναι φορέας της S -

συμμετροδιαμέσου , οπότε αναγκαστικά στο $\vartriangle ABC$ , η

είναι φορέας της A -

συμμετροδιαμέσου .

Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

Re: Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

Re: Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

Re: Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

Re: Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

Μέλη σε σύνδεση