Απόδειξη του ορισμού του ορίου με Γ' Λυκείου (ορθό)

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται συνάρτηση $f\colon \mathbb{R}-\{x_o\}\to\mathbb{R}$ και $\ell\in\mathbb{R}$

Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά και μόνο ύλη και ιδιότητες που
είναι διαθέσιμες σε έναν υποψήφιο των πανελλαδικών εξετάσεων,

να αποδειχθεί ότι:

$\lim\limits_{x\to x_o}f(x)=\ell$ $\ {\color{red}\Rightarrow}\$ $\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\$ $\forall x {\color{blue}\big(} 0<|x-x_o|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon { \color{blue} \big) }$

Σημείωση
Το συμπέρασμα της παραπάνω συνεπαγωγής είναι η συνθήκη ορισμού του ορίου που βρίσκεται στο σχολικό βιβλίο με αστερίσκο
http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547 ... xB1_4.html
όπως μπορεί να γραφεί για μια συνάρτηση ορισμενη στο $\mathbb{R}-\{x_o\}$
Εδώ θέλουμε να την αποδείξουμε σαν έτι μια ιδιότητα των ορίων με αφετηρία τις εντος ύλης ιδιότητες.

Σημείωση
Με κόκκινο είναι edits σε σχέση με την αρχική ανάρτηση

Το "αντίστροφο" μπορεί κανείς να το βρει εδώ .

Μάρκος Βασίλης · #2

Απόδειξη

Λοιπόν, έστω ότι για μία συνάρτηση $f:\mathbb{R}-\{x_0\}\to\mathbb{R}$ ισχύει ότι $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\ell$ για κάποιο $\ell\in\mathbb{R}$ . Έστω, τώρα, προς άτοπο, ότι δεν ισχύει το ζητούμενο, έστω, δηλαδή, ότι υπάρχει κάποιο $\varepsilon_0>0$ έτσι ώστε για κάθε $\delta>0$ να υπάρχει ένα $x_\delta$ για το οποίο να ισχύουν, αφενός, ότι $0<|x_\delta-x_0|<\delta$ και, αφετέρου, $|f(x_\delta)-\ell|\geq\varepsilon_0$ .

Αφού για κάθε $\delta>0$ υπάρχει ένα $x_\delta$ με τις παραπάνω ιδιότητες, μπορούμε να επιλέξουμε για κάθε $\delta>0$ ένα τέτοιο $x_\delta$ και να ορίσουμε μία συνάρτηση, ας την πούμε $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $g(\delta)=x_\delta$ για κάθε $\delta>0$ , όπου $x_\delta$ όπως παραπάνω. Τώρα, για κάθε $\delta>0$ ισχύουν, όπως παραπάνω:

$\displaystyle 0<|g(\delta)-x_0|<\delta\Rightarrow x_0-\delta<g(\delta)<x_0+\delta.$

$\displaystyle |f(g(\delta))-\ell|\geq\varepsilon_0\Rightarrow f(g(\delta))\leq\ell-\varepsilon_0\lor f(g(\delta))\geq\ell+\varepsilon_0.$

Τώρα, από την πρώτη σχέση με το κριτήριο παρεμβολής εύκολα βλέπουμε ότι $\lim\limits_{\delta\to0}g(\delta)=x_0$

Συνεπώς, αφού υπάρχει τόσο το παραπάνω όριο όσο και το όριο της

στο

και αφού $g(\delta)\neq x_0$ για $\delta$ κοντά στο

(και γενικά, δηλαδή, εξ ορισμού) υπάρχει και το όριο της σύνθετης συνάρτησης $\lim\limits_{\delta\to0}f(g(\delta))=\ell$ . Ωστόσο, από τη δεύτερη σχέση προκύπτει, παίρνοντας, για παράδειγμα, την ανισότητα $f(g(\delta))\geq\ell+\varepsilon_0$ ότι:

$\displaystyle \lim_{\delta\to0}f(g(\delta))\geq\ell+\varepsilon_0>\ell,$

και αντίστοιχα:

$\displaystyle \lim_{\delta\to0}f(g(\delta))\leq\ell-\varepsilon_0<\ell,$

συνεπώς, σε κάθε περίπτωση, $\ell\neq\ell$ , άτοπο!

Επομένως, ισχύει το ζητούμενο.

Σχόλια

Μου άρεσε αυτή η απόδειξη; Όχι, κυρίως γιατί η πρόθεση είναι να απευθυνθεί σε παιδιά Λυκείου. Ο ορισμός του ορίου, κατ'εμέ, καλώς δεν είναι στην ύλη, γιατί έχει τόσους ποσοδείκτες μέσα που περισσότερο κόπο θα κάνει κανείς να χωνέψει όλον αυτό το φορμαλισμό παρά να τον καταλάβει. Είναι πιο εύλογο να αποκτήσει κανείς πρώτα την απαραίτητη διαίσθηση πίσω από την έννοια του ορίου κι έπειτα να περάσει στον φορμαλιστικό ορισμό του ορίου.

Εκτός αυτού, η παραπάνω απόδειξη περιλαμβάνει κι έναν περίεργο ορισμό μίας συνάρτησης, της

, που δεν ορίζεται μέσα από κάποιον «τύπο», αλλά μέσα από μία υπαρξιακή σχέση, κάτι που δεν είναι τόσο στο πνεύμα της σχολικής ύλης. Ίσως έχει ενδιαφέρον να συζητηθεί σε ένα πλαίσιο που το επιτρέπει τόσο ο χρόνος όσο και το επίπεδο του τμήματος, αλλά νιώθω ότι θα προκαλούσε, εν γένει, περισσότερα προβλήματα, παρά καλά.

Τώρα, βέβαια, το παραπάνω είναι μία απλή «κομφορμιστική» απόδειξη, μπορεί κανείς ίσως να βρει κάποια κομψότερη και καταλληλότερη για σχολική χρήση!

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 19, 2024 12:32 pm
Απόδειξη

Λοιπόν, έστω ότι για μία συνάρτηση $f:\mathbb{R}-\{x_0\}\to\mathbb{R}$ ισχύει ότι $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\ell$ για κάποιο $\ell\in\mathbb{R}$ . Έστω, τώρα, προς άτοπο, ότι δεν ισχύει το ζητούμενο, έστω, δηλαδή, ότι υπάρχει κάποιο $\varepsilon_0>0$ έτσι ώστε για κάθε $\delta>0$ να υπάρχει ένα $x_\delta$ για το οποίο να ισχύουν, αφενός, ότι $0<|x_\delta-x_0|<\delta$ και, αφετέρου, $|f(x_\delta)-\ell|\geq\varepsilon_0$ .

Αφού για κάθε $\delta>0$ υπάρχει ένα $x_\delta$ με τις παραπάνω ιδιότητες, μπορούμε να επιλέξουμε για κάθε $\delta>0$ ένα τέτοιο $x_\delta$ και να ορίσουμε μία συνάρτηση, ας την πούμε $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $g(\delta)=x_\delta$ για κάθε $\delta>0$ , όπου $x_\delta$ όπως παραπάνω. Τώρα, για κάθε $\delta>0$ ισχύουν, όπως παραπάνω:

$\displaystyle 0<|g(\delta)-x_0|<\delta\Rightarrow x_0-\delta<g(\delta)<x_0+\delta.$

$\displaystyle |f(g(\delta))-\ell|\geq\varepsilon_0\Rightarrow f(g(\delta))\leq\ell-\varepsilon_0\lor f(g(\delta))\geq\ell+\varepsilon_0.$

Τώρα, από την πρώτη σχέση με το κριτήριο παρεμβολής εύκολα βλέπουμε ότι $\lim\limits_{\delta\to0}g(\delta)=x_0$

Συνεπώς, αφού υπάρχει τόσο το παραπάνω όριο όσο και το όριο της στο και αφού $g(\delta)\neq x_0$ για $\delta$ κοντά στο (και γενικά, δηλαδή, εξ ορισμού) υπάρχει και το όριο της σύνθετης συνάρτησης $\lim\limits_{\delta\to0}f(g(\delta))=\ell$ . Ωστόσο, από τη δεύτερη σχέση προκύπτει, παίρνοντας, για παράδειγμα, την ανισότητα $f(g(\delta))\geq\ell+\varepsilon_0$ ότι:

$\displaystyle \lim_{\delta\to0}f(g(\delta))\geq\ell+\varepsilon_0>\ell,$

και αντίστοιχα:

$\displaystyle \lim_{\delta\to0}f(g(\delta))\leq\ell-\varepsilon_0<\ell,$

συνεπώς, σε κάθε περίπτωση, $\ell\neq\ell$ , άτοπο!

Επομένως, ισχύει το ζητούμενο.

Σχόλια

Μου άρεσε αυτή η απόδειξη; Όχι, κυρίως γιατί η πρόθεση είναι να απευθυνθεί σε παιδιά Λυκείου. Ο ορισμός του ορίου, κατ'εμέ, καλώς δεν είναι στην ύλη, γιατί έχει τόσους ποσοδείκτες μέσα που περισσότερο κόπο θα κάνει κανείς να χωνέψει όλον αυτό το φορμαλισμό παρά να τον καταλάβει. Είναι πιο εύλογο να αποκτήσει κανείς πρώτα την απαραίτητη διαίσθηση πίσω από την έννοια του ορίου κι έπειτα να περάσει στον φορμαλιστικό ορισμό του ορίου.

Εκτός αυτού, η παραπάνω απόδειξη περιλαμβάνει κι έναν περίεργο ορισμό μίας συνάρτησης, της , που δεν ορίζεται μέσα από κάποιον «τύπο», αλλά μέσα από μία υπαρξιακή σχέση, κάτι που δεν είναι τόσο στο πνεύμα της σχολικής ύλης. Ίσως έχει ενδιαφέρον να συζητηθεί σε ένα πλαίσιο που το επιτρέπει τόσο ο χρόνος όσο και το επίπεδο του τμήματος, αλλά νιώθω ότι θα προκαλούσε, εν γένει, περισσότερα προβλήματα, παρά καλά.

Τώρα, βέβαια, το παραπάνω είναι μία απλή «κομφορμιστική» απόδειξη, μπορεί κανείς ίσως να βρει κάποια κομψότερη και καταλληλότερη για σχολική χρήση!

Θα σημειώσω απλώς πως η άσκηση γίνεται να λυθεί και χωρίς συνάρτηση επιλογής.

Συμφωνώ, δεν ενδείκνυται η συνάρτηση επιλογής για τη σχολική τάξη εκτός κι αν τη φέρει η κουβέντα
(ωστόσο μου έτυχε μαθήτρια που θεώρησε συνάρτηση επιλογής από μόνη της!)

Μάρκος Βασίλης · #4

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 24, 2024 12:18 am

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 19, 2024 12:32 pm
Απόδειξη

Λοιπόν, έστω ότι για μία συνάρτηση $f:\mathbb{R}-\{x_0\}\to\mathbb{R}$ ισχύει ότι $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\ell$ για κάποιο $\ell\in\mathbb{R}$ . Έστω, τώρα, προς άτοπο, ότι δεν ισχύει το ζητούμενο, έστω, δηλαδή, ότι υπάρχει κάποιο $\varepsilon_0>0$ έτσι ώστε για κάθε $\delta>0$ να υπάρχει ένα $x_\delta$ για το οποίο να ισχύουν, αφενός, ότι $0<|x_\delta-x_0|<\delta$ και, αφετέρου, $|f(x_\delta)-\ell|\geq\varepsilon_0$ .

Αφού για κάθε $\delta>0$ υπάρχει ένα $x_\delta$ με τις παραπάνω ιδιότητες, μπορούμε να επιλέξουμε για κάθε $\delta>0$ ένα τέτοιο $x_\delta$ και να ορίσουμε μία συνάρτηση, ας την πούμε $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $g(\delta)=x_\delta$ για κάθε $\delta>0$ , όπου $x_\delta$ όπως παραπάνω. Τώρα, για κάθε $\delta>0$ ισχύουν, όπως παραπάνω:

$\displaystyle 0<|g(\delta)-x_0|<\delta\Rightarrow x_0-\delta<g(\delta)<x_0+\delta.$

$\displaystyle |f(g(\delta))-\ell|\geq\varepsilon_0\Rightarrow f(g(\delta))\leq\ell-\varepsilon_0\lor f(g(\delta))\geq\ell+\varepsilon_0.$

Τώρα, από την πρώτη σχέση με το κριτήριο παρεμβολής εύκολα βλέπουμε ότι $\lim\limits_{\delta\to0}g(\delta)=x_0$

Συνεπώς, αφού υπάρχει τόσο το παραπάνω όριο όσο και το όριο της στο και αφού $g(\delta)\neq x_0$ για $\delta$ κοντά στο (και γενικά, δηλαδή, εξ ορισμού) υπάρχει και το όριο της σύνθετης συνάρτησης $\lim\limits_{\delta\to0}f(g(\delta))=\ell$ . Ωστόσο, από τη δεύτερη σχέση προκύπτει, παίρνοντας, για παράδειγμα, την ανισότητα $f(g(\delta))\geq\ell+\varepsilon_0$ ότι:

$\displaystyle \lim_{\delta\to0}f(g(\delta))\geq\ell+\varepsilon_0>\ell,$

και αντίστοιχα:

$\displaystyle \lim_{\delta\to0}f(g(\delta))\leq\ell-\varepsilon_0<\ell,$

συνεπώς, σε κάθε περίπτωση, $\ell\neq\ell$ , άτοπο!

Επομένως, ισχύει το ζητούμενο.

Σχόλια

Μου άρεσε αυτή η απόδειξη; Όχι, κυρίως γιατί η πρόθεση είναι να απευθυνθεί σε παιδιά Λυκείου. Ο ορισμός του ορίου, κατ'εμέ, καλώς δεν είναι στην ύλη, γιατί έχει τόσους ποσοδείκτες μέσα που περισσότερο κόπο θα κάνει κανείς να χωνέψει όλον αυτό το φορμαλισμό παρά να τον καταλάβει. Είναι πιο εύλογο να αποκτήσει κανείς πρώτα την απαραίτητη διαίσθηση πίσω από την έννοια του ορίου κι έπειτα να περάσει στον φορμαλιστικό ορισμό του ορίου.

Εκτός αυτού, η παραπάνω απόδειξη περιλαμβάνει κι έναν περίεργο ορισμό μίας συνάρτησης, της , που δεν ορίζεται μέσα από κάποιον «τύπο», αλλά μέσα από μία υπαρξιακή σχέση, κάτι που δεν είναι τόσο στο πνεύμα της σχολικής ύλης. Ίσως έχει ενδιαφέρον να συζητηθεί σε ένα πλαίσιο που το επιτρέπει τόσο ο χρόνος όσο και το επίπεδο του τμήματος, αλλά νιώθω ότι θα προκαλούσε, εν γένει, περισσότερα προβλήματα, παρά καλά.

Τώρα, βέβαια, το παραπάνω είναι μία απλή «κομφορμιστική» απόδειξη, μπορεί κανείς ίσως να βρει κάποια κομψότερη και καταλληλότερη για σχολική χρήση!
Θα σημειώσω απλώς πως η άσκηση γίνεται να λυθεί και χωρίς συνάρτηση επιλογής.

Συμφωνώ, δεν ενδείκνυται η συνάρτηση επιλογής για τη σχολική τάξη εκτός κι αν τη φέρει η κουβέντα
(ωστόσο μου έτυχε μαθήτρια που θεώρησε συνάρτηση επιλογής από μόνη της!)

Χωρίς συνάρτηση επιλογής υπό την έννοια ότι μπορούμε να πάρουμε το διακριτό (ασθενές) ανάλογο του αξιώματος της επιλογής; Τότε, ναι, προφανώς, μία ακολουθία αρκεί. Αλλιώς, θα είχε ενδιαφέρον μία απόδειξη που δεν επικαλείται κανείς διόλου το αξίωμα της επιλογής, αν και πάλι δεν ξέρω αν θα ήταν κατάλληλη για τάξη.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #5

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2024 12:00 pm
Χωρίς συνάρτηση επιλογής υπό την έννοια ότι μπορούμε να πάρουμε το διακριτό (ασθενές) ανάλογο του αξιώματος της επιλογής; Τότε, ναι, προφανώς, μία ακολουθία αρκεί. Αλλιώς, θα είχε ενδιαφέρον μία απόδειξη που δεν επικαλείται κανείς διόλου το αξίωμα της επιλογής, αν και πάλι δεν ξέρω αν θα ήταν κατάλληλη για τάξη.

Μια απόδειξη χωρίς χρήση του αξιώματος επιλογής
περιγράφεται στην ανάρτηση

viewtopic.php?f=52&t=76101&p=367591#p367602

Αφορά βέβαια μια ειδική περίπτωση όπου τα $\varepsilon,\ell$ έχουν λάβει συγκεκριμένη αριθμητική τιμή, αλλά είναι άμεσα γενικεύσιμη και μπορεί να αποδείξει το ζητούμενο του νήματος. (Αυτό δικαιολογεί την επιλογή της λέξης "πεμπτουσία" στον τίτλο της ανάρτησης στην οποία οδηγεί ο παραπάνω σύνδεσμος)

Απόδειξη του ορισμού του ορίου με Γ' Λυκείου (ορθό)

Απόδειξη του ορισμού του ορίου με Γ' Λυκείου (ορθό)

Re: Απόδειξη του ορισμού του ορίου με Γ' Λυκείου (ορθό)

Re: Απόδειξη του ορισμού του ορίου με Γ' Λυκείου (ορθό)

Re: Απόδειξη του ορισμού του ορίου με Γ' Λυκείου (ορθό)

Re: Απόδειξη του ορισμού του ορίου με Γ' Λυκείου (ορθό)

Μέλη σε σύνδεση