Τέλειο τετράγωνο και τέλειος κύβος

#1

Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός

ο οποίος έχει τις ιδιότητες α) ο

είναι τέλειο τετράγωνο και, συγχρόνως, β) ο

είναι τέλειος κύβος;

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 12, 2024 9:50 pm
Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός ο οποίος έχει τις ιδιότητες α) ο είναι τέλειο τετράγωνο και, συγχρόνως, β) ο είναι τέλειος κύβος;

Μιχάλη καλησπέρα από Γρεβενά...

Από τα δεδομένα για το φυσικό αυτό αριθμό θα έχουμε:

$\displaystyle{2N=x^2, \ \ 3N=y^3, \ \ \ (1) }$ , όπου $\displaystyle{x,y}$ φυσικοί αριθμοί.

Άρα:

$\displaystyle{\frac{x^2}{2}=\frac{y^3}{3}=N \ \ (2) }$

Για τους πρώτους $\displaystyle{2,3}$ θα ισχύουν:

$\displaystyle{x=2r, \ \ y=3k \ \ (3)}$ , όπου $\displaystyle{r,k}$ φυσικοί αριθμοί.

Έτσι η σχέση (2) από την (3) γίνεται:

$\displaystyle{2r^2=9k^3=N \ \ (4) }$

Από την τελευταία σχέση προκύπτει όμοια ότι ο αριθμός $\displaystyle{2}$ διαιρεί το φυσικό $\displaystyle{k}$ , άρα:

$\displaystyle{k=2l, \ \ (5) }$ , όπου $\displaystyle{l}$ φυσικός αριθμός.

Έτσι η σχέση (4) γίνεται:

$\displaystyle{r^2=9\cdot4 l^3=\frac{N}{2} \ \ (6) }$

Τελικά από την (6) προκύπτει:

$\displaystyle{r =6l\sqrt{l} \ \ (7) }$

και επειδή ο $\displaystyle{r}$ είναι φυσικός αριθμός θα πρέπει $\displaystyle{l=m^2 \ \ (8) }$ , όπου $\displaystyle{m}$ φυσικός αριθμός.

Ύστερα από αυτά θα είναι:

$\displaystyle{r=6m^3, \ \ k=2m^2 }$

και συνεπώς από την (4) θα είναι:

$\displaystyle{2(6m^3)^2=9(2m^2)^3=N}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{N=72m^6 \ \ (9)}$

Από την (9) προκύπτει ότι:

$\displaystyle{N_{min}=72}$

Κώστας Δόρτσιος

abgd · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 12, 2024 9:50 pm
Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός ο οποίος έχει τις ιδιότητες α) ο είναι τέλειο τετράγωνο και, συγχρόνως, β) ο είναι τέλειος κύβος;

Η ανάλυση του φυσικού αριθμού

σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι: $N=p_1^{n_1}.p_2^{n_2}....p_k^{n_k}$
με p_1, p_2, ...,p_k

οι πρώτοι παράγοντες του

κατά αύξουσα σειρά μεγέθους.

Για να είναι ο

τέλειο τετράγωνο θα πρέπει: p_1=2

,

περιττός και οι n_2,n_3,...n_k

άρτιοι.

Για να είναι ο

και τέλειος κύβος θα πρέπει: p_2=3

,

και οι

πολλαπλάσια του

.

Άρα $N=2^{6a_1-3}\cdot 3^{6a_2-4}.p_3^{a_3}....p_k^{6a_k}$ με $a_i, \ \ i=1,2,...k$ (μη μηδενικοί) φυσικοί αριθμοί.

Ο μικρότερος φυσικός

με την παραπάνω ιδιότητα θα προκύψει από την "απουσία" των p_3, ....,p_k

και με

δηλαδή ο $N-2^3\cdot 3^2=72$

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 12, 2024 9:50 pm
Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός ο οποίος έχει τις ιδιότητες α) ο είναι τέλειο τετράγωνο και, συγχρόνως, β) ο είναι τέλειος κύβος;

.
Μικρή παραλλαγή των παραπάνω λύσεων: Είναι N=2^a3^bm

όπου $a, b \ge 0$ και

φυσικός ο οποίος δεν περιέχει τους 2,3

ως πρώτους παράγοντες.

Εφόσον o $2N = 2^{a+1}3^bm$ είναι τέλειο τετράγωνο έπεται ότι οι a+1, b

είναι άρτιοι. Συνεπώς οι πιθανές τιμές των a,b

είναι $a\in \{1,3,5,7,9,...\}$ και $b\in \{0,2,4,6,8,...\}$ .

Εφόσον o $3N = 2^{a}3^{b+1}m$ είναι τέλειος κύβος έπεται ότι οι a, b+1

είναι πολλαπλάσια του

. Συνεπώς οι πιθανές τιμές των a,b

είναι $a\in \{0,3,6,9, ...\}$ και $b\in \{2,5,8,...\}$ .

Συγκρίνοντας τα σύνολα των τιμών των a,b

, τα παραπάνω σύνολα περιορίζονται σε $a\in \{3,6,...\}$ και $b\in \{2,8,...\}$ . Άρα οι μικρότερες δυνατές τιμές των a,b

είναι

. Είναι τότε N=2^a3^bm= 2^33^2m

, και το μικρότερο τέτοιο

είναι

, που ικανοποιεί τα ζητούμενα.

Τέλειο τετράγωνο και τέλειος κύβος

Τέλειο τετράγωνο και τέλειος κύβος

Re: Τέλειο τετράγωνο και τέλειος κύβος

Re: Τέλειο τετράγωνο και τέλειος κύβος

Re: Τέλειο τετράγωνο και τέλειος κύβος

Μέλη σε σύνδεση