50 από τους 99 αριθμούς

[Mihalis_Lambrou]

Ο Διόφαντος έγραψε στον πίνακα διαφορετικούς αριθμούς από το σύνολο . Παρατήρησε ότι δεν υπάρχει ζεύγος από τους αριθμούς στον πίνακα οι οποίοι έχουν άθροισμα .
Ποιος από τους αριθμούς είναι σίγουρα γραμμένος στον πίνακα;

[stranger]

Ο Διόφαντος έγραψε στον πίνακα διαφορετικούς αριθμούς από το σύνολο . Παρατήρησε ότι δεν υπάρχει ζεύγος από τους αριθμούς στον πίνακα οι οποίοι έχουν άθροισμα .
Ποιος από τους αριθμούς είναι σίγουρα γραμμένος στον πίνακα;

Πάρα πολύ ωραία άσκηση.
Ο είναι σίγουρα γραμμένος.
Έστω ότι δεν είναι γραμμένος και συμβολίζουμε με το σύνολο των γραμμένων αριθμών. Τότε .
Αν και , τότε παίρνουμε και . Άρα .
Αν τότε έχουμε για κάθε .
Άρα , οπότε , άτοπο.
Ομοίως αν χρησιμοποιώντας την: για κάθε , παίρνουμε ότι , το οποίο είναι πάλι άτοπο.
edit: Δεν χρειάζεται να διακρίνεις περιπτώσεις, βγαίνει και με τη μια. Απλά είχα αρχικά στο μυαλό μου μια άλλη λύση και τα έκανα mix up που λένε.

[Nikitas K.]

Δύο τέτοιες λίστες που μπορεί να έχουν γραφθεί στον πίνακα είναι οι παρακάτω:

Οι άρτιοι από το μέχρι το και οι περιττοί από το μέχρι το

Οι περιττοί από το μέχρι το και οι άρτιοι από το μέχρι το

Οι οποίες μαρτυρούν ότι οι αριθμοί δεν είναι απαραίτητα γραμμένοι στον πίνακα.

Αν γνωρίζουμε, ότι υπάρχει ένας αριθμός που ανήκει σε όλες τις λίστες με τις ιδιότητες της εκφώνησης, τότε αυτός ο αριθμός είναι το

Αλλιώς, πρέπει να δειχθεί ότι ο αριθμός ανήκει σε όλες τις λίστες με τις ιδιότητες της εκφώνησης, όπως έχει προηγηθεί από τον κ. Κωνσταντίνο παραπάνω.

[rek2]

Ο Διόφαντος έγραψε στον πίνακα διαφορετικούς αριθμούς από το σύνολο . Παρατήρησε ότι δεν υπάρχει ζεύγος από τους αριθμούς στον πίνακα οι οποίοι έχουν άθροισμα .
Ποιος από τους αριθμούς είναι σίγουρα γραμμένος στον πίνακα;

Ας αφήσουμε το στην άκρη.

Θα ασχοληθούμε με τους άλλους .

Για κάθε έναν αριθμό, από αυτούς που είναι γραμμένος στον πίνακα, αποκλείεται αυτόματα να είναι γραμμένος ένας άλλος από αυτούς: η διαφορά του από το .

Έτσι, για τους αριθμούς που είναι γραμμένοι αποκλείονται άλλοι Αλλά , δεν έχουμε άλλους.

Αναγκαστικά, λοιπόν, σαν πεντηκοστός, είναι ο .

[Mihalis_Lambrou]

Αν γνωρίζουμε, ότι υπάρχει ένας αριθμός που ανήκει σε όλες τις λίστες με τις ιδιότητες της εκφώνησης, τότε αυτός ο αριθμός είναι το

Αλλιώς, πρέπει να δειχθεί ότι ο αριθμός ανήκει σε όλες τις λίστες με τις ιδιότητες της εκφώνησης, όπως έχει προηγηθεί από τον κ. Κωνσταντίνο παραπάνω.

Νικήτα συγνώμη, αλλά δεν είναι Μαθηματικά αυτά. Με λίγα λόγια η λύση σου ουσιαστικά λέει "επειδή από την εκφώνηση ξέρουμε ότι υπάρχει αριθμός σε όλες τις λίστες και επειδή ο Κωνσταντίνος βρήκε ότι είναι ο , έπεται ότι ο αριθμός που είναι σε όλες τις λίστες είναι ο ". Εμ, δεν πάει έτσι.

... γραφθεί ...

Το σωστό ρήμα είναι το ¨γραφεί".

Αργότερα, αν χρειαστεί, θα γράψω την δική μου λύση. Είναι απλή, λίγων γραμμών, και είναι αμέσως κατανοητή σε μαθητές Γυμνασίου.

Edit: Όσο έγραφα ο Κώστας (rek2) ανάρτησε λύση ουσιαστικά ίδια με αυτήν που έχω κατά νου. Αργότερα θα την γράψω με δικά μου λόγια (δηλαδή απλά θα είναι η λύση του Κώστα με λίγο αλλιώτικο ντύσιμο)

[abgd]

Αργότερα, αν χρειαστεί, θα γράψω την δική μου λύση. Είναι απλή, λίγων γραμμών, και είναι αμέσως κατανοητή σε μαθητές Γυμνασίου.

Μιχάλη καλησπέρα. Νομίζω ότι έχεις κατά νου τη λύση που έχω κι εγώ...

Υπάρχουν ζευγάρια αριθμών με άθροισμα :

.

Οι από τους αριθμούς που γράφτηκαν στον πίνακα θα προκύψουν παίρνοντας μόνον έναν αριθμό από κάθε ζευγάρι. Δεν μπορούμε να πάρουμε τον δεύτερο αριθμό του ζευγαριού.

Εφόσον όμως οι αριθμοί στον πίνακα είναι θα πρέπει να υπάρχει οπωσδήποτε και ο αριθμός .

[Mihalis_Lambrou]

Νομίζω ότι έχεις κατά νου τη λύση που έχω κι εγώ...

[Nikitas K.]

Αρχικά έφτιαξα δύο λίστες που αποδεικνύουν τον λόγο που απορρίπτουμε τους αριθμούς που απορρίψαμε.
Η μια λίστα δεν εμπεριέχει τους περιττούς κάτω του ή τους άρτιους άνω του
Η άλλη λίστα δεν εμπεριέχει τους άρτιους κάτω του ή τους περιττούς άνω του
Αυτές οι δύο λίστες απέρριψαν αριθμούς από τους διαθέσιμους. Επίσης δεν έχει απορριφθεί το άρα το είναι ο αριθμός που ψάχνουμε.

Επίσης, θα αποδείξω γιατί η κάθε λίστα δουλεύει.
Για την πρώτη, προφανώς αποτελείται από αριθμούς:

Αθροίζωντας αριθμούς κάτω του παίρνουμε άθροισμα κάτω του
Αθροίζωντας αριθμούς πάνω του παίρνουμε άθροισμα πάνω του
Αθροίζωντας αριθμούς κάτω και πάνω του αντίστοιχα παίρνουμε άθροισμα που είναι περιττός αριθμός, δηλαδή όχι που είναι άρτιος.
Για την δεύτερη ομοίως.
Το «γραφθεί» που έγραψα πιο πάνω είναι σωστό.
«https://www.lexigram.gr/lex/newg/%CE%B3 ... E%AF#Hist8»

"επειδή από την εκφώνηση ξέρουμε ότι υπάρχει αριθμός σε όλες τις λίστες και επειδή ο Κωνσταντίνος βρήκε ότι είναι ο , έπεται ότι ο αριθμός που είναι σε όλες τις λίστες είναι ο ".

... γραφθεί ...

Το σωστό ρήμα είναι το ¨γραφεί".

Όσον αφορά τα δικό σας λάθος, τα ελληνικά εισαγωγικά είναι τα εξής σύμβολα «»

[Mihalis_Lambrou]

Αρχικά έφτιαξα δύο λίστες που αποδεικνύουν τον λόγο που απορρίπτουμε τους αριθμούς που απορρίψαμε.
Η μια λίστα δεν εμπεριέχει τους περιττούς κάτω του ή τους άρτιους άνω του
Η άλλη λίστα δεν εμπεριέχει τους άρτιους κάτω του ή τους περιττούς άνω του
Αυτές οι δύο λίστες απέρριψαν αριθμούς από τους διαθέσιμους. Επίσης δεν έχει απορριφθεί το άρα το είναι ο αριθμός που ψάχνουμε.

Επίσης, θα αποδείξω γιατί η κάθε λίστα δουλεύει.
Για την πρώτη, προφανώς αποτελείται από αριθμούς:

Αθροίζωντας αριθμούς κάτω του παίρνουμε άθροισμα κάτω του
Αθροίζωντας αριθμούς πάνω του παίρνουμε άθροισμα πάνω του
Αθροίζωντας αριθμούς κάτω και πάνω του αντίστοιχα παίρνουμε άθροισμα που είναι περιττός αριθμός, δηλαδή όχι που είναι άρτιος.
Για την δεύτερη ομοίως.

Δεν φαίνεται να έχεις αντιληφθεί που είναι το πρόβλημα με τον παραπάνω συλλογισμό. Ευκαιρία να το αναλύσω:

Το ότι οι λίστες που γράφεις είναι επιτρεπτές είναι σωστό αλλά και τετριμμένο (αλλά υπάρχουν και ευκολότερες όπως η 1,2,3,..., 50 και η 50, 51, 52, ... , 99).

Με τις λίστες αυτές δείχνουμε ότι οι αριθμοί 1 έως 49 και 51 έως 99 δεν είναι η απάντηση στο πρόβλημα. Μέχρι εδώ όλα καλά.

Μένει ο . Ο παραπάνω συλλογισμός δείχνει ότι ο είναι υποψήφιος για να είναι υποχρεωτικός σε κάθε λίστα. Το ερώτημα είναι να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει κάποιος άλλος συλλογισμός που απορρίπτει τον , όπως έγινε με τους υπόλοιπους. Χωρίς αυτό το βήμα, ο συλλογισμός είναι ουσιαστικά ελλειπής.

Για παράδειγμα στην λύση του Κώστα (abdg) στο ποστ #6 βλέπουμε αυτό το ουσιαστικό βήμα στην τελευταία γραμμή του συλλογισμού του, συγκεκριμμένα εκεί που γράφει

"Εφόσον όμως οι αριθμοί στον πίνακα είναι 50 (*) θα πρέπει να υπάρχει οπωσδήποτε και ο αριθμός 50 (**). "

(*) και έχει δείξει ότι στον πίνακα είναι γραμμένοι το πολύ αριθμοί
(**) επειδή ο είναι ο μόνος που δεν έχει ήδη μετρηθεί

Με Μαθηματικούς όρους, η λύση σου δείχνει ότι το να συμπεριληφθεί ο αριθμός στις λίστες είναι ικανή συνθήκη αλλά το ζητούμενο είναι να αποδειχθεί ότι είναι αναγκαία. Αυτό είναι που έλλειπε. (Το προβληματικό σημείο στον συλλογισμό σου είναι αυτό που σημείωσα με κόκκινο).

Σου συνιστώ να ξεκαθαρίσεις την διαφορά ικανής από την αναγκαία συνθήκη. Είναι πεμπτουσία σε συλλογισμούς.

[Nikitas K.]

Δεν είπα αυτό που σημείωσα με κόκκινο:

Με λίγα λόγια η λύση σου ουσιαστικά λέει "επειδή από την εκφώνηση ξέρουμε ότι υπάρχει αριθμός σε όλες τις λίστες και επειδή ο Κωνσταντίνος βρήκε ότι είναι ο , έπεται ότι ο αριθμός που είναι σε όλες τις λίστες είναι ο ".

Είπα:

Αν γνωρίζουμε, ότι υπάρχει ένας αριθμός που ανήκει σε όλες τις λίστες με τις ιδιότητες της εκφώνησης, τότε αυτός ο αριθμός είναι το

Αυτός ο συλλογισμός δεν είναι απόδειξη, αλλά μια ένδειξη ως προς τον λόγο που ο κ. Κωνσταντίνος ξεκίνησε την απόδειξή του ότι το είναι ο αριθμός που βρίσκεται σε κάθε λίστα με τις ιδιότητες της εκφώνησης. Αλλά και μια δικαιολογία που δεν ξεκίνησε να αποδεικνύει ότι π.χ. το βρίσκεται σε κάθε λίστα.
Όπως λέτε, ναι αυτό δείχνει ότι το είναι υποψήφιος, αλλά όχι ότι πέρασε το τεστ.


Αλλά αν είχαμε, ως δεδομένο ότι κάποιος αριθμός έχει περάσει το τεστ και ο μόνος υποψήφιος είναι το τότε ξέρουμε ότι το πέρασε το τεστ. Αυτός ο συλλογισμός θα ήταν απόδειξη αν δινόταν ότι έναν αριθμός περιέχεται σε κάθε τέτοια λίστα και εμείς ψάχναμε να βρούμε ποιος είναι.

Εδώ μιλάω με βάση το παραπάνω ΑΝ...

Επίσης δεν έχει απορριφθεί το άρα το είναι ο αριθμός που ψάχνουμε.

Εφόσον, η υπόθεση που έκανα είναι ψευδής η συνεπαγωγή παραμένει αληθής, και χρήσιμη για όποιον θέλει να έχει έναν διαισθητικό λόγο που κάποιος δεν ξεκίνησε να αποδεικνύει ότι βρίσκεται σε κάθε τέτοια λίστα.

[Mihalis_Lambrou]

Εδώ μιλάω με βάση το παραπάνω ΑΝ...

To γνωρίζω ότι μιλάς με το ΑΝ. Το ερώτημα είναι ποιος ο λόγος να βάλεις μισή λύση σε άσκηση που είναι ήδη λυμένη. Το τμήμα της λύσης που άφησες, είναι το ουσιαστικό ενώ αυτό που έγραψες είναι σχεδόν αυτονόητο.

Με την απάντησή σου στο προηγούμενο ποστ δείχνεις άλλη μία φορά ότι δεν έχεις κατανοήσει την διαφορά του ικανού από το αναγκαίο. Αυτό φαίνεται από το "άρα" που έχεις γράψει εδώ:

Επίσης δεν έχει απορριφθεί το άρα το είναι ο αριθμός που ψάχνουμε.

Ο ισχυρισμός σου δεν προκύπτει. Την αιτία θα την κατανοήσεις όταν ξεκαθαρίσεις την διαφορά του ικανού από το αναγκαίο.

Ελπίζω με αυτά να συμβάλλω στην Μαθηματική σου παιδεία. Όλοι περάσαμε από ανάλογη, και στα λεπτά σημεία όλοι μας χρειαστήκαμε ξεκαθάρισμα ιδεών. Καλή συνέχεια.