Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Β' Λυκείου γράφει στην παράγραφο 11.4

Με τη βοήθεια της περιμέτρου κανονικών πολυγώνων προσεγγίζουμε στη συνέχεια την έννοια του μήκους κύκλου. Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο (O,R) (σχ.13) και ας εγγράψουμε σε αυτόν διαδοχικά ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα κανονικό 6-γωνο, ένα κανονικό 12-γωνο και γενικά ένα πολύγωνο με διπλάσιο κάθε φορά πλήθος πλευρών από το προηγούμενο.
Καθώς ο αριθμός των πλευρών των κανονικών πολυγώνων διπλασιάζεται, από το σχήμα φαίνεται ότι: "το κανονικό πολύγωνο τείνει να ταυτισθεί με τον κύκλο". Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και αν αντί εγγεγραμμένων θεωρήσουμε κανονικά πολύγωνα περιγεγραμμένα στον κύκλο (O,R) (σχ.14) και διπλασιάζουμε διαρκώς το πλήθος των πλευρών τους.

Κατόπιν το βιβλίο κάνει έναν ελιγμό και μεταβαίνει από τα προαναφερθέντα πολύγωνα στην ακολουθία των μηκών τους.

Εμείς όμως ας σταθούμε στα προαναφερθέντα πολύγωνα.

Θέλουμε να δικαιολογηθεί αυστηρά η φράση:
"το κανονικό πολύγωνο τείνει να ταυτισθεί με τον κύκλο"

αφού πρώτα την επαναδιατυπώσουμε ως
"η ακολουθία των κανονικών πολυγώνων συγκλίνει στον κύκλο".

Για την έννοια της σύγκλισης μιας ακολουθίας απαιτείται ένας τοπολογικός χώρος οπότε
σε αυτό το σημείο μπορούμε να προχωρήσουμε στο ζητούμενο της ανάρτησης.

ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ

Να οριστεί κατάλληλος τοπολογικός χώρος στον οποίο:

$\bullet$ η παραπάνω διαισθητικώς εύληπτη φράση να έχει νόημα αυστηρά

$\bullet$ η έννοια της σύγκλισης να είναι συμβατή με τη συνήθη έννοια της σύγκλισης που απολαμβάνουμε στον διδιάστατο ευκλείδειο τοπολογικό χώρο

$\bullet$ η προαναφερθείσα φράση να αληθεύει. Προς τούτο ας ληφθεί ένας συνήθης κύκλος στον $\mathbb{R}^2$ και μια ακολουθία εγγεγραμμένων σε αυτόν συνήθων κανονικών πολυγώνων (με πλήθος κορυφών όχι απαραίτητα δύναμη του

) και ας αποδειχθεί η σύγκλισή της στον επιλεγμένο κύκλο.

math8000 · #2

Ο ζητούμενος τοπολογικός χώρος δεν είναι ο $\mathbb{R}^2$ εφοδιασμένος με την τοπολογία που παράγει η ευκλείδεια μετρική $\rho _2$ που προέρχεται από το πυθαγόρειο θεώρημα ; Υπάρχει πιο "σκοτεινή" απάντηση ; Γενικά , μπορούμε να έχουμε κανονικά πολύγωνα (δηλαδή ίσα μήκη και ίσες γωνίες!) σε τοπολογικό χώρο μη μετρικοποιήσιμο ; Ακόμα χειρότερα , τι σημαίνει γωνία δύο "πραγμάτων" σε αυθαίρετο τ.χ. ;

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Κατ' αρχάς, σας ευχαριστώ για τις ερωτήσεις.

math8000 έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2024 12:25 am
Ο ζητούμενος τοπολογικός χώρος δεν είναι ο $\mathbb{R}^2$ εφοδιασμένος με την τοπολογία που παράγει η ευκλείδεια μετρική $\rho _2$ που προέρχεται από το πυθαγόρειο θεώρημα ; Υπάρχει πιο "σκοτεινή" απάντηση ;

Δεν είναι ο $\mathbb{R}^2$ με την ευκλείδεια τοπολογία. Γιατί:
$\bullet$ Τα πολύγωνα είναι υποσύνολα του $\mathbb{R}^2$
$\bullet$ Εμείς θέλουμε όμως τα πολύγωνα να είναι στοιχεία στον ζητούμενο χώρο.

Είναι εύλογο συνεπώς να σκεφτούμε το $\mathcal{P} (\mathbb{R}^2)$ ή ένα υποσύνολό του. Ένας τρόπος για να τοπολογηθεί αυτό είναι να ορίσουμε μια μετρική μεταξύ (κάποιων εκ) των υποσυνόλων του $\mathbb{R}^2$ χρησιμοποιώντας μια μετρική του $\mathbb{R}^2$ τοπολογικά ισοδύναμη με την ευκλείδεια. Οπότε πώς μπορούμε να ορίσουμε την απόσταση δύο σημειοσυνόλων του $\mathbb{R}^2$ ?

math8000 έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2024 12:25 am
Γενικά , μπορούμε να έχουμε κανονικά πολύγωνα (δηλαδή ίσα μήκη και ίσες γωνίες!) σε τοπολογικό χώρο μη μετρικοποιήσιμο ;

Το σημείο αυτό ίσως χρειαζόταν περαιτέρω διευκρίνηση.

Η φράση κανονικά πολύγωνα χρησιμοποιήθηκε στα πλαίσια της υπόδειξης για το ποια σημειοσύνολα του $\mathbb{R}^2$ να διαλέξει κανείς για το τρίτο σκέλος, αποκλειστικά ως μέσο ταυτοποίησης αυτών των σημειοσυνόλων. Γι' αυτό προηγείται αυτής η λέξη "συνήθη". Δηλαδή προτάθηκε η επιλογή των σημειοσυνόλων του $\mathbb{R}^2$ που συνήθως (δηλαδή με την ευκλείδεια μετρική) αναγνωρίζουμε ως κανονικά. Παρομοίως μιλήσαμε για "συνήθη κύκλο" (ενώ αξίζει να σημειωθεί πως δεν είναι αναγκαίο να διαλέξει κανείς τα "συνήθη κανονικά πολύγωνα").

Όμως... αυτό δε σημαίνει ότι η τοπολογία του ευκλειδείου χώρου (ή γενικότερα, όπως σωστά επισημαίνετε, μια αυθαίρετη τοπολογία σε ένα αυθαίρετο σύνολο) μπορεί να ορίσει ποια σημειοσύνολα είναι κανονικά πολύγωνα.

Η τοπολογία "βλέπει" μόνο ιδιότητες που διατηρούνται από τους τοπολογικούς ισομορφισμούς (ομοιομορφισμούς).

Ειδικότερα, τοπολογική δεν είναι καν η συνήθης έννοια του ευθυγράμμου τμήματος, πόσο μάλλον η έννοια "κανονικό πολύγωνο", και αυτό ακόμα και στα πλαίσια της Ευκλείδειας τοπολογίας. Δεν χρειάζεται καν να πάμε σε πιο περίεργους χώρους.

math8000 έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2024 12:25 am
Ακόμα χειρότερα , τι σημαίνει γωνία δύο "πραγμάτων" σε αυθαίρετο τ.χ. ;

Εν μέρει το ζήτημα αυτό προσεγγίστηκε στις παραπάνω γραμμές. Όμως...

Τυπικά για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση πρέπει να διευκρινίσουμε ακριβώς το περιεχόμενο της έννοιας "γωνία δύο 'πραγμάτων'". Τότε μόνο μπορούμε να αποφανθούμε κατά πόσον έχουμε να κάνουμε με μια τοπολογική ιδιότητα.

Στο σχολικό βιβλίο μια κυρτή γωνία είναι τα κοινά σημεία δυο ημιεπιπέδων. Στα Θεμέλια Γεωμετρίας του Hilbert μια γωνία είναι ένα ζεύγος ημιευθειών με κοινή αρχή. Αυτές οι συγγενείς έννοιες γωνίας της Ευκλείδειας γεωμετρίας, όπως και οι στοιχειωδέστερες με τις οποίες ορίζονται, δεν είναι τοπολογικές.

Όμως, ας μην αποκλείσουμε το ενδεχόμενο κανείς να μπορεί να προτείνει μια πολύ γενική, τοπολογική, έννοια γωνίας που να γενικεύει τη συνηθισμένη έννοια έστω για μια κατηγορία τοπολογικών χώρων.

math8000 · #4

Γεια σας ,

ομολογώ ότι ακόμα δεν έχω καταλάβει το ζητούμενο. Λέτε ας πούμε

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2024 8:51 pm

$\bullet$ Εμείς θέλουμε όμως τα πολύγωνα να είναι στοιχεία στον ζητούμενο χώρο.

Δηλαδή εννοείτε ότι θέλετε τα πολύγωνα να είναι κάποια από τα ανοιχτά σύνολα της τοπολογίας που ζητάμε ;

Νομίζω πως αν μας δίνατε τη λύση του θέματος θα είχαμε και τις απαντήσεις.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #5

Χαίρετε,

math8000 έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2024 10:47 pm

Δηλαδή εννοείτε ότι θέλετε τα πολύγωνα να είναι κάποια από τα ανοιχτά σύνολα της τοπολογίας που ζητάμε ;

Τα πολύγωνα θα είναι σημεία του ζητούμενου χώρου.
Ο ζητούμενος χώρος θα είναι ένα (γνήσιο) υποσύνολο του δυναμοσυνόλου του $\mathbb{R}^2$

math8000 έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2024 10:47 pm

Νομίζω πως αν μας δίνατε τη λύση του θέματος θα είχαμε και τις απαντήσεις.

Υπόσχομαι να γράψω μια λύση,
αλλά ας δοθεί πρώτα χρόνος σε όσους τυχόν θα ήθελαν να παρέμβουν στο θέμα.

Al.Koutsouridis · #6

Ίσως θα μπορούσαμε να σκεφτούμε τον κύκλο και τα πολύγωνα ως κλειστές καμπύλες στον $\mathbb{R}^2$ . Για τις κλειστές καμπύλες να ορίσουμε την απόσταση

$\rho_{H} \left ( \Gamma_{1}, \Gamma_{2}\right)=max \{\underset{y \in \Gamma_{2}}{max} \underset{x \in \Gamma_{1}}{min} \rho(x,y) , \underset{x \in \Gamma_{1}}{max} \underset{y \in \Gamma_{2}}{min} \rho(x,y) \}$

Όπου $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ δυο κλειστές καμπύλες στον $\mathbb{R}^2$ και $\rho(x,y)$ η συνήθης απόσταση δυο σημείων $x,y \in \mathbb{R}^2$ . Δηλαδή Hausdorf μετρική στον χώρο των κλειστών καμπυλών. Η απόσταση αυτή ισούται με μηδέν όταν οι καμπύλες ταυτίζονται.

Αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε είναι, ότι

$\displaystyle \lim_{n \to \+\infty} \rho_{H} \left ( \Gamma_{c}, \Gamma_{p_{n}}\right) = 0$ ,

όπου $\Gamma_{c}$ η καμπύλη του κύκλου και $\Gamma_{p_{n}}$ η καμπύλη ενός κανονικού n-γώνου, εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου σε αυτόν.

Δεν έχω απόδειξη για το παραπάνω, καθώς οι όποιες ελαχιστες γνώσεις μου σε ανάλυση έχουν φθείρει, πιθανόν όμως να μην είναι κάτι δύσκολο. Δηλαδή η όλη έκφραση για την απόσταση των καμπυλών θα μπορούσε να είναι εν τέλη (ακτίνα κύκλου

μείον το απόστημα κανονικού n-γώνου ) $\rho_{H} \left ( \Gamma_{c}, \Gamma_{p_{n}}\right)= R -R\cos \dfrac{\pi}{n}= R\left (1-\cos\dfrac{\pi}{n} \right)$ . Το οποίο τείνει στο μηδέν καθώς $n \to \infty$ .

Πράγματι το παραπάνω ισχύει, όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω

: polugona_teinoun_se_kuklo.png (153.06 KiB) Προβλήθηκε 2930 φορές

Edit: 27/10/2024. Συμπλήρώθηκε το σχήμα στην αρχική δημοσίευση.

stranger · #7

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 26, 2024 11:00 pm
Το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Β' Λυκείου γράφει στην παράγραφο 11.4

Με τη βοήθεια της περιμέτρου κανονικών πολυγώνων προσεγγίζουμε στη συνέχεια την έννοια του μήκους κύκλου. Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο (O,R) (σχ.13) και ας εγγράψουμε σε αυτόν διαδοχικά ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα κανονικό 6-γωνο, ένα κανονικό 12-γωνο και γενικά ένα πολύγωνο με διπλάσιο κάθε φορά πλήθος πλευρών από το προηγούμενο.
Καθώς ο αριθμός των πλευρών των κανονικών πολυγώνων διπλασιάζεται, από το σχήμα φαίνεται ότι: "το κανονικό πολύγωνο τείνει να ταυτισθεί με τον κύκλο". Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και αν αντί εγγεγραμμένων θεωρήσουμε κανονικά πολύγωνα περιγεγραμμένα στον κύκλο (O,R) (σχ.14) και διπλασιάζουμε διαρκώς το πλήθος των πλευρών τους.

Κατόπιν το βιβλίο κάνει έναν ελιγμό και μεταβαίνει από τα προαναφερθέντα πολύγωνα στην ακολουθία των μηκών τους.

Εμείς όμως ας σταθούμε στα προαναφερθέντα πολύγωνα.

Θέλουμε να δικαιολογηθεί αυστηρά η φράση:
"το κανονικό πολύγωνο τείνει να ταυτισθεί με τον κύκλο"

αφού πρώτα την επαναδιατυπώσουμε ως
"η ακολουθία των κανονικών πολυγώνων συγκλίνει στον κύκλο".

Για την έννοια της σύγκλισης μιας ακολουθίας απαιτείται ένας τοπολογικός χώρος οπότε
σε αυτό το σημείο μπορούμε να προχωρήσουμε στο ζητούμενο της ανάρτησης.

ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ

Να οριστεί κατάλληλος τοπολογικός χώρος στον οποίο:

$\bullet$ η παραπάνω διαισθητικώς εύληπτη φράση να έχει νόημα αυστηρά

$\bullet$ η έννοια της σύγκλισης να είναι συμβατή με τη συνήθη έννοια της σύγκλισης που απολαμβάνουμε στον διδιάστατο ευκλείδειο τοπολογικό χώρο

$\bullet$ η προαναφερθείσα φράση να αληθεύει. Προς τούτο ας ληφθεί ένας συνήθης κύκλος στον $\mathbb{R}^2$ και μια ακολουθία εγγεγραμμένων σε αυτόν συνήθων κανονικών πολυγώνων (με πλήθος κορυφών όχι απαραίτητα δύναμη του ) και ας αποδειχθεί η σύγκλισή της στον επιλεγμένο κύκλο.

Η αναφερθείσα κατασκευή απευθύνεται σε μαθητές και είναι διαισθητικού χαρακτήρα.
Για να γίνει πιο αυστηρό μαθηματικά όπως επιθυμείτε(αν και δεν νομίζω ότι υπάρχει λόγος καθώς είναι αρκετά καθαρό τι εννοεί), αυτό που μπορούμε να πούμε είναι ότι η ακολουθία των μηκών των πολυγώνων συγκλίνει στο μήκος του κύκλου.
Μπορούμε τώρα να ορίσουμε την απόσταση καμπυλών ως $r(L_1,L_2) = \inf \{d(x,y) : x \in L_1, y \in L_2 \}$ όπου

η συνήθης ευκλείδια μετρική του επιπέδου. Ακολούθως ορίζουμε το παραπάνω που είπα ως $r(C,L_n) \rightarrow 0$ , όπου

ο κύκλος και L_n

η ακολουθία των πολυγώνων.
edit: Αυτό που έγραψα παραπάνω δεν αντικατοπτρίζει αυτό που θέλει να κάνει σαφές το σχήμα.
Νομίζω το σωστό είναι να πάρουμε $r(L_1,L_2) = \sup_{y \in L_2} \inf_{x \in L_1} d(x,y)$ .

Al.Koutsouridis · #8

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 19, 2024 4:22 pm
Νομίζω το σωστό είναι να πάρουμε $r(L_1,L_2) = \sup_{y \in L_2} \inf_{x \in L_1} d(x,y)$ .

Εν γένει μια τέτοια απόσταση δεν έχει την ιδιότητα της συμμετρικότητας, δηλαδή δεν είναι απαραίτητο ότι θα είναι r(L_1,L_2)=r(L_2,L_1)

. Δε ξέρω βέβαια αν αυτό δημιουργεί πρόβλημα στο συλλογισμό παραπέρα.

stranger · #9

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 20, 2024 1:37 pm

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 19, 2024 4:22 pm
Νομίζω το σωστό είναι να πάρουμε $r(L_1,L_2) = \sup_{y \in L_2} \inf_{x \in L_1} d(x,y)$ .
Εν γένει μια τέτοια απόσταση δεν έχει την ιδιότητα της συμμετρικότητας, δηλαδή δεν είναι απαραίτητο ότι θα είναι . Δε ξέρω βέβαια αν αυτό δημιουργεί πρόβλημα στο συλλογισμό παραπέρα.

Και όμως έχει την ιδιότητα της συμμετρικότητας σε συμπαγείς καμπύλες.
Γράφω την απόδειξη.
Λόγω συμπάγειας υπάρχει συνάρτηση $f: L_1 \rightarrow L_2$ ώστε $\inf_{x \in L_2} d(x,y) = d(f(y),y)$ και συνάρτηση $g: L_2 \rightarrow L_1$ ώστε $\inf_{y \in L_1} d(y,x) = d(g(x),x)$ .
Έχουμε $d(x,g(x)) \leq d(x,y)$ για κάθε $x \in L_2$ και κάθε $y \in L_1$ και επίσης $d(y,f(y)) \leq d(x,y)$ για κάθε $x \in L_2$ και κάθε $y \in L_1$ .
Οπότε παίρνουμε $d(f(y),g(f(y)) \leq d(f(y),z)$ για κάθε $z \in L_1$ , οπότε $d(f(y),g(f(y)) \leq d(f(y),y)$ , άρα $\sup_{y \in L_1} d(f(y),g(f(y)) \leq sup_{y \in L_1} d(f(y),y) = r(L_2,L_1)$ .
Όμως προφανώς έχουμε $sup_{x \in L_2} d(x,g(x)) \leq \sup_{y \in L_1} d(f(y),g(f(y))$ . Οπότε τελικά $r(L_1,L_2) \leq r(L_2,L_1)$ .
Ομοίως παίρνουμε και την αντίστροφη ανισότητα.

Al.Koutsouridis · #10

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 20, 2024 10:45 pm
Και όμως έχει την ιδιότητα της συμμετρικότητας σε συμπαγείς καμπύλες.
Γράφω την απόδειξη.
Λόγω συμπάγειας υπάρχει συνάρτηση $f: L_1 \rightarrow L_2$ ώστε $\inf_{x \in L_2} d(x,y) = d(f(y),y)$ και συνάρτηση $g: L_2 \rightarrow L_1$ ώστε $\inf_{y \in L_1} d(y,x) = d(g(x),x)$ .
Έχουμε $d(x,g(x)) \leq d(x,y)$ για κάθε $x \in L_2$ και κάθε $y \in L_1$ και επίσης $d(y,f(y)) \leq d(x,y)$ για κάθε $x \in L_2$ και κάθε $y \in L_1$ .
Οπότε παίρνουμε $d(f(y),g(f(y)) \leq d(f(y),z)$ για κάθε $z \in L_1$ , οπότε $d(f(y),g(f(y)) \leq d(f(y),y)$ , άρα $\sup_{y \in L_1} d(f(y),g(f(y)) \leq sup_{y \in L_1} d(f(y),y) = r(L_2,L_1)$ .
Όμως προφανώς έχουμε $sup_{x \in L_2} d(x,g(x)) \leq \sup_{y \in L_1} d(f(y),g(f(y))$ . Οπότε τελικά $r(L_1,L_2) \leq r(L_2,L_1)$ .
Ομοίως παίρνουμε και την αντίστροφη ανισότητα.

Είχα υπόψη μου παράδειγμα όπως στο παρακάτω σχήμα.

Είναι φανερό ότι μπορούμε να διαλέξουμε κατάλληλες καμπύλες $L_{1}, L_{2}$ , ώστε $\displaystyle{\sup_{y \in L_2} \inf_{x \in L_1} d(x,y) \neq \sup_{x \in L_1} \inf_{y \in L_2} d(x,y)}$ . Όπου με

συμβολίζουμε τα σημεία της καμπύλης $L_{1}$ και

της $L_{2}$ .

: hausdorf_distance.png (115.3 KiB) Προβλήθηκε 3012 φορές

stranger · #11

Ναι από το σχήμα φαίνεται κάτι τέτοιο.
Θα το κοιτάξω αργότερα να δω που έχω κάνει λάθος στην απόδειξη.

stranger · #12

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 20, 2024 10:45 pm
έχουμε $sup_{x \in L_2} d(x,g(x)) \leq \sup_{y \in L_1} d(f(y),g(f(y))$ .

Εδώ είναι το λάθος. Ευχαριστώ.

stranger · #13

Νομίζω τότε η w(L_1,L_2) = max(r(L_1,L_2),r(L_2,L_1))

μας κάνει.

Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Re: Τα πολύγωνα τείνουν στον κύκλο

Μέλη σε σύνδεση