Παραλληλία και διχοτόμηση

KARKAR · #1

: Παραλληλία και διχοτόμηση.png (22.61 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές

Στον νότιο πόλο

ενός κύκλου (O,r)

φέρουμε εφαπτομένη . Σε ποια απόσταση από την εφαπτομένη ,

πρέπει να φέρουμε παράλληλή της χορδή

, ώστε αν η εφαπτομένη στο

τέμνει εκείνη στο

,

στο σημείο

, το σημείο τομής

της

με τον κύκλο , να είναι το μέσο της

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2024 2:05 pm
Παραλληλία και διχοτόμηση.pngΣτον νότιο πόλο ενός κύκλου φέρουμε εφαπτομένη . Σε ποια απόσταση από την εφαπτομένη ,

πρέπει να φέρουμε παράλληλή της χορδή , ώστε αν η εφαπτομένη στο τέμνει εκείνη στο ,

στο σημείο , το σημείο τομής της με τον κύκλο , να είναι το μέσο της ;

Καλά Χριστούγεννα σε όλους

Ας είναι λυμένο το πρόβλημα . Έστω

η προβολή του

στην

. Θέτω : $r = 4k\,\,,\,\,$ $BN = NC = x\,\,,\,\,ON = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB = TS = 2m$ .

Φέρνω και την παράλληλο από το ,

στην

και τέμνει την

στο

. Το τετράπλευρο TDNB

είναι παραλληλόγραμμο .

Έτσι το

είναι το μέσο και του

.

Ισχύουν ταυτόχρονα: $\left\{ \begin{gathered} N{B^2} + N{O^2} = O{B^2} \hfill \\ D{N^2} = S{N^2} + S{D^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} = 16{k^2} \hfill \\ {\left( {2m} \right)^2} = {\left( {4k + y} \right)^2} + {\left( {2m - x} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

: Παραλληλία και διχοτόμηση.png (48.05 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές

Από εδώ έχω: $\boxed{m = \frac{{8{k^2} + 2ky}}{x}}$ Αν τώρα επιλέξω y = 3k

, τότε $\boxed{m = \frac{{14k}}{{\sqrt 7 }}}$ .

Κατασκευή .

Με r = 4k

στον βόρειο πόλο

του κύκλου , $\left( {O,3k} \right)$ φέρνω ευθεία κάθετη στην

και τέμνει τον κύκλο $\left( {O,4k} \right)$

Κατά χορδή

που θέλω .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2024 2:05 pm
Παραλληλία και διχοτόμηση.pngΣτον νότιο πόλο ενός κύκλου φέρουμε εφαπτομένη . Σε ποια απόσταση από την εφαπτομένη ,

πρέπει να φέρουμε παράλληλή της χορδή , ώστε αν η εφαπτομένη στο τέμνει εκείνη στο ,

στο σημείο , το σημείο τομής της με τον κύκλο , να είναι το μέσο της ;

Χρόνια Πολλά σε όλους

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

Θέτω

Είναι, $\displaystyle SM = \frac{{PC}}{2} = \frac{{TB}}{2} = \frac{{TS}}{2}.$

Έτσι αν θέσω SM=x,

θα είναι

: Παραλληλία και διχοτόμηση.png (27.37 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές

$\displaystyle T{S^2} = TM \cdot TC \Leftrightarrow 4{x^2} = 2{y^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{y=x\sqrt 2}$ Ο Πτολεμαίος στο ισοσκελές τραπέζιο

BCPT

δίνει

οπότε και το MBCS

είναι ισοσκελές τραπέζιο και SC=SB=y.

Είναι ακόμα $\displaystyle SB \cdot SC = 2rSN \Leftrightarrow {y^2} = 2rSN \Leftrightarrow {x^2} = rSN$ και με Π.Θ στο SNC,

$\displaystyle y^2 - \frac{{{x^2}}}{4} = S{N^2} \Leftrightarrow \frac{{7{x^2}}}{4} = S{N^2} \Leftrightarrow 7rSN = 4S{N^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{SN=\frac{7r}{4}}$

KARKAR · #4

: Παραλληλία και διχοτόμηση - λύση.png (24.47 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές

Μίξη των δύο λύσεων ( ακολουθώντας τα σύμβολα του Νίκου ) . Είναι : r+y=BA

, επομένως :

$(r+y)^2=7x^2=7(r^2-y^2)\Leftrightarrow 4y^2+ry-3r^2=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{3r}{4} , SN=\dfrac{7r}{4}$ .

Παραλληλία και διχοτόμηση

Παραλληλία και διχοτόμηση

Re: Παραλληλία και διχοτόμηση

Re: Παραλληλία και διχοτόμηση

Re: Παραλληλία και διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση