Νηστίσιμη με ... αίμα

KARKAR · #1

: Νηστήσιμη με ... αίμα.png (15.19 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

Τα σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα ABC, BED

είναι ίσα . Το τμήμα

είναι κάθετο

και ίσο προς το

. Αν είναι : $SD \perp ED$ , υπολογίστε το τμήμα SD , (=f(b))

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 03, 2025 8:56 am
Νηστήσιμη με ... αίμα.pngΤα σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα . Το τμήμα είναι κάθετο

και ίσο προς το . Αν είναι : $SD \perp ED$ , υπολογίστε το τμήμα .

Οι γωνίες $\widehat B, E\widehat BS$ είναι παραπληρωματικές, όπου $\widehat B$ η γωνία του τριγώνου ABC.

Με νόμο συνημιτόνου στο EBS

έχω:

$\displaystyle S{E^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac( - \cos B) = {a^2} + 3{c^2} \Leftrightarrow S{E^2} - {a^2} = 3{c^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{SD=c\sqrt 3}$ (1)

: Νηστίσιμη.Κ.png (13.8 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Νόμος συνημιτόνου στο BDS:

$\displaystyle S{D^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \left( {90^\circ + B} \right) = {a^2} + 3{b^2} = 4{b^2} + {c^2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} c = b\sqrt 2,$ απ' όπου $\boxed{SD= b\sqrt 6}$

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 03, 2025 8:56 am
Τα σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα . Το τμήμα είναι κάθετο

και ίσο προς το . Αν είναι : $SD \perp ED$ , υπολογίστε το τμήμα .

: shape.png (26.47 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 03, 2025 8:56 am
Νηστήσιμη με ... αίμα.pngΤα σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα . Το τμήμα είναι κάθετο

και ίσο προς το . Αν είναι : $SD \perp ED$ , υπολογίστε το τμήμα .

$\angle ABC+ \angle EBS=180^0 \Rightarrow \dfrac{(ABC)}{(EBS)}= \dfrac{AB.BC}{BE.BS}=1 \Rightarrow (ABC)=(EBD)=(EBS)$

Επομένως το σημείο

είναι μέσον της

κι από CEVA έχουμε

$\dfrac{DP}{PE}. \dfrac{EL}{LS}.1=1 \Rightarrow \dfrac{DP}{PE}= \dfrac{LS}{EL} \Rightarrow LP//DS \Rightarrow LP \bot ED$

Τώρα,λόγω της LP//DS

και του εγγράψιμμου LBPE

,οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες,άρα

μέσον

της

,συνεπώς

είναι κ.βάρους του τριγώνου EDS

άρα $LB= \dfrac{b}{2}$

Έτσι $MD^2=DB.DL \Rightarrow \dfrac{DS^2}{4}= \dfrac{3b^2}{2} \Rightarrow DS=b \sqrt{6}$

: νηστίσιμη....png (35.86 KiB) Προβλήθηκε 808 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 03, 2025 8:56 am
Νηστήσιμη με ... αίμα.pngΤα σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα . Το τμήμα είναι κάθετο

και ίσο προς το . Αν είναι : $SD \perp ED$ , υπολογίστε το τμήμα .

Με Αναλυτική, όπου τα βήματα είναι άμεσα, σχεδόν χωρίς σκέψη:

Με αρχή των αξόνων το

, είναι $C(b,0), \, B(0,c)$ και άρα $E(-c,c), \, C(0,c-b)$ και S(c,b+c)

. Η συνθήκη καθετότητας $SD \perp ED$ δίνει

$\displaystyle{\dfrac {(b+c)-(c-b)}{c-0}\cdot \dfrac {c-(c-b)}{-c-0}=-1}$ . Που μετά τις απλοποιήσεις δίνει $2b^2=c^2,\, (*)$ .

Άρα $SD=\sqrt {(c-0)^2+(b+c-c+b)^2}=\sqrt {c^2+4b^2}= ^{(*)} \sqrt {2b^2+4b^2}=b\sqrt 6$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 03, 2025 8:56 am
Νηστήσιμη με ... αίμα.pngΤα σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα . Το τμήμα είναι κάθετο

και ίσο προς το . Αν είναι : $SD \perp ED$ , υπολογίστε το τμήμα .

Άλλη μια λύση

Η SQL

είναι κάθετη στις EB,AC

και τέμνει την

στο

.Λόγω και της ισότητας όλων των μπλε γωνιών θα

είναι BDNS

εγγράψιμμο άρα $SD \bot DN \Rightarrow E,D,N$ συνευθειακά

κι ακόμη SQ=//BD=b

άρα

και

Έτσι με Π.Θ στο $\triangle EQN \Rightarrow QN^2=4(a^2-c^2)=4b^2 \Rightarrow QN=2b \Rightarrow SN=3b$

Τώρα, $SM.SD=SQ.SN \Rightarrow \dfrac{SD^2}{2}=3b^2 \Rightarrow SD=b \sqrt{6}$

: νηστίσιμη....png (34.04 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 03, 2025 8:56 am
Νηστήσιμη με ... αίμα.pngΤα σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα . Το τμήμα είναι κάθετο

και ίσο προς το . Αν είναι : $SD \perp ED$ , υπολογίστε το τμήμα .

Ας είναι , $ED = BC = BS = k\,\,,\,\,DS = x\,\,,\,\,AC = b$ .

Η ευθεία

αν προεκταθεί τέμνει το

στο μέσο του

. Από το Π. Θ. στο $\vartriangle DSN$ έχω:

${x^2} = {\left( {\dfrac{{3k}}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{k}{2}} \right)^2} \Rightarrow \boxed{{k^2} = \dfrac{{{x^2}}}{2}\,}\,\,\left( 1 \right)$
.

: Νηστίσιμη με αίμα.png (24.5 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

.
Από Θ συνημίτονου στο $\vartriangle BDS$ , ${x^2} = {b^2} + {k^2} - 2bk\cos \left( {90^\circ + \theta } \right) = {b^2} + {k^2} + 2bk\sin \theta = {b^2} + {k^2} + 2bk\dfrac{b}{k} = 3{b^2} + {k^2}\,\,\left( 2 \right)$ .

Δηλαδή , ταυτόχρονα έχω : ${k^2} = \dfrac{{{x^2}}}{2}\,\,\left( 1 \right)$ και ${x^2} = {k^2} + 3{b^2}\,\,\,\left( 2 \right)$ διώχνω το

μεταξύ τους κι έχω , $\boxed{x = b\sqrt 6 }$ .

Νηστίσιμη με ... αίμα

Νηστίσιμη με ... αίμα

Re: Νηστίσιμη με ... αίμα

Re: Νηστίσιμη με ... αίμα

Re: Νηστίσιμη με ... αίμα

Re: Νηστίσιμη με ... αίμα

Re: Νηστίσιμη με ... αίμα

Re: Νηστίσιμη με ... αίμα

Μέλη σε σύνδεση