A.I. KILLERS (MATHADE RUNNER)

[αρψ2400]

Οι επιδόσεις της τεχνητής νοημοσύνης (και) στα διαγωνιστικά μαθηματικά είναι καταπληκτικές (πίνακας).(https://openai.com/index/openai-o3-mini/)Γίνεται όλο και πιο δύσκολο να βρεθούν μαθηματικά προβλήματα εύκολα (σχετικά) για τους ανθρώπους και δύσκολα για τις μηχανές. Αν έχει κάποιος κάτι καλό ας το ανεβάσει αν θέλει εδώ.

[Τσιαλας Νικολαος]

Ήδη οι εταιρίες δουλεύουν πυρετωδώς και πάρα πολλά άτομα με διακρίσεις σε διεθνείς διαγωνισμούς εργάζονται πάνω σε αυτό κομμάτι. Τα ποσά που διαθέτουν οι εταιρίες αυτές είναι αδιανόητα μεγάλα.

[vzf]

https://mathscholar.org/2024/10/terence ... thematics/

[αρψ2400]

για παράδειγμα για το πρώτο πρόβλημα seemous (5-6 δημόσιες συζητήσεις πιο κάτω) το chatgpt (Qo3-mini) δίνει:
Έστω A ένας n × n πίνακας με αυστηρά θετικά στοιχεία και u, v ∈ Rⁿ διανύσματα με αυστηρά θετικά στοιχεία τέτοια ώστε
Au = v και Av = u.

Βήμα 1: Εύρεση ιδιοδιανυσμάτων του A²

Εφαρμόζοντας τον A στην εξίσωση Au = v, έχουμε:
A(Au) = Av ⇒ A²u = u, καθώς Av = u.
Ομοίως, από την εξίσωση Av = u, έχουμε:
A(A v) = Au ⇒ A²v = v.
Άρα, και τα u και v είναι ιδιοδιανύσματα του A² που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 1.

Βήμα 2: Εφαρμογή του θεωρήματος Perron-Frobenius

Ο πίνακας A² έχει επίσης αυστηρά θετικά στοιχεία. Σύμφωνα με το θεώρημα Perron-Frobenius, για κάθε πίνακα με αυστηρά θετικά στοιχεία υπάρχει μία μοναδική (ως προς την πολλαπλασιαστική σταθερά) θετική ιδιοτιμή που είναι το μέγιστο κατά μέτρο (ο Perron αριθμός) και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα έχει αυστηρά θετικά στοιχεία. Επομένως, δεδομένου ότι και τα u και v είναι θετικά ιδιοδιανύσματα του A² που αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιμή 1, προκύπτει ότι υπάρχει ένας θετικός σταθερός πολλαπλασιαστής λ > 0 τέτοιος ώστε:
u = λv.

Βήμα 3: Καθορισμός της σταθεράς λ

Αντικαθιστούμε το u = λv στην εξίσωση Au = v:
A(λv) = λ(Av) = v.
Επίσης, από την εξίσωση Av = u και δεδομένου ότι u = λv έχουμε:
Av = λv.
Άρα, η εξίσωση γίνεται:
λ(λv) = v ⇒ λ²v = v.
Επειδή το v έχει αυστηρά θετικά στοιχεία (δηλαδή, κανένα συστατικό του δεν είναι μηδενικό), μπορούμε να διαιρέσουμε στοιχείο προς στοιχείο και να συμπεράνουμε:
λ² = 1.
Με δεδομένο ότι λ > 0, προκύπτει ότι λ = 1.

Βήμα 4: Συμπέρασμα

Από το u = λv με λ = 1 έχουμε:
u = v.
Έτσι, αποδεικνύεται ότι τα u και v είναι ίσα.

Συνοπτικά: Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι Au = v και Av = u καταλήγουμε στο ότι u και v είναι θετικά ιδιοδιανύσματα του A² για την ιδιοτιμή 1. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Perron-Frobenius, καταλήγουμε ότι πρέπει να υπάρχουν u = λv για κάποια λ > 0. Τέλος, δείχνουμε ότι λ = 1, συνεπώς u = v.

[αρψ2400]

Το ερώτημα ήταν:Πρόβλημα 1: Έστω A ένας πίνακας με αυστηρά θετικά στοιχεία. Έστω u,v \in \mathbb{R}^n διανύσματα με αυστηρά θετικά στοιχεία τέτοια, ώστε Au=v και Av=u. Να αποδείξετε ότι u=v.

[αρψ2400]

Ο τίτλος ai killers δεν αναφέρεται στην ai ως θύτη αλλά ώς θύμα .(Κάτι σαν το blade runner για όσους έχουν δει την ταινία ,MATHADE RUNNER ) .Να ένα παράδειγμα με αναρίθμητες παραλλαγές που τα καλύτερα μοντέλα τα κάνουν θάλασσα :''Τοποθετήστε τους 80 αριθμούς 1,2,3,.....,78,79,80, (ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟ), σε έναν πίνακα 4 σειρών ανά 20 στήλες, έτσι ώστε οι διαδοχικοί αριθμοί να βρίσκονται σε διπλανά τετράγωνα.Τα 1 και 80 που είναι γειτονικά μόνο με 2 και 79 αντίστοιχα, θα πρέπει να είναι γειτονικά μεταξύ τους. Οι αριθμοί 1 και 20 είναι σταθεροί στα κελιά (1,8) και (4,8) αντίστοιχα. Διπλανα είναι τα τετράγωνα που έχουν κοινή πλευρά. Βρείτε μια τέτοια διαδρομή (αν υπάρχει).''Τέτοια προβλήματα εννοώ όταν λέω αν έχει κάποιος κάτι να το ανεβάσει.(Για την τιμή του ανθρώπινου πνεύματος.)

[αρψ2400]

Ένα άλλο παράδειγμα από τη δημόσια συζήτηση ''Όσα περισσότερα μπορείτε'' Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC με ακέραιες πλευρές , το εμβαδόν του είναι ( αριθμητικά )διπλάσιο της περιμέτρου του . Βρείτε όσα περισσότερα τέτοια τρίγωνα μπορείτε ! το chatgpt (o3-mini) μετά από 1m και 10sec 'σκέψης' δίνει το παρακάτω


Δεδομένα: • Έστω ότι έχουμε ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές a, b (οι κάθετες) και υποτείνουσα c. • Εμβαδόν = (1/2)·a·b. • Περίμετρος = a + b + c. • Δίνεται ότι (1/2)·a·b = 2·(a + b + c). Με πολλαπλασιασμό επί 2, έχουμε:   a·b = 4·(a + b + c). • Επιπλέον, ισχύει ο τύπος του Πυθαγόρα: a² + b² = c².

Χρησιμοποιώντας την παραμετρική μορφή: • Ορίζουμε:   a = m² – n²,   b = 2·m·n,   c = m² + n², με m > n > 0. • Τότε:   Εμβαδόν = m·n·(m² – n²).   Περίμετρος = (m² – n²) + 2·m·n + (m² + n²) = 2·m² + 2·m·n.

Αντικαθιστούμε στην εξίσωση (Εμβαδόν = 2·Περίμετρος):   m·n·(m² – n²) = 2·(2·m² + 2·m·n) = 4·m² + 4·m·n. Διαιρώντας με το m (m > 0):   n·(m² – n²) = 4·(m + n). Παρατηρούμε ότι m² – n² = (m – n)·(m + n), οπότε:   n·(m – n)·(m + n) = 4·(m + n). Διαιρώντας με (m + n) (θετικό), καταλήγουμε:   n·(m – n) = 4.

Εύρεση λύσεων για n και m (ακέραιοι, m > n > 0): • Αν n = 1, τότε m – 1 = 4 ⇒ m = 5. • Αν n = 2, τότε m – 2 = 2 ⇒ m = 4. • Αν n = 4, τότε m – 4 = 1 ⇒ m = 5.

Υπολογισμός πλευρών και έλεγχος:

Για (m, n) = (5, 1):   a = 5² – 1² = 25 – 1 = 24   b = 2·5·1 = 10   c = 5² + 1² = 25 + 1 = 26   Έλεγχος: Εμβαδόν = (1/2)·24·10 = 120 και Περίμετρος = 24 + 10 + 26 = 60 (120 = 2·60).

Για (m, n) = (4, 2):   a = 4² – 2² = 16 – 4 = 12   b = 2·4·2 = 16   c = 4² + 2² = 16 + 4 = 20   Έλεγχος: Εμβαδόν = (1/2)·12·16 = 96 και Περίμετρος = 12 + 16 + 20 = 48 (96 = 2·48).

Για (m, n) = (5, 4):   a = 5² – 4² = 25 – 16 = 9   b = 2·5·4 = 40   c = 5² + 4² = 25 + 16 = 41   Έλεγχος: Εμβαδόν = (1/2)·9·40 = 180 και Περίμετρος = 9 + 40 + 41 = 90 (180 = 2·90).

Συμπέρασμα: Τα ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές που ικανοποιούν την ιδιότητα ότι το εμβαδόν τους είναι διπλάσιο της περιμέτρου τους, είναι:   – Τρίγωνο με πλευρές 9, 40, 41.   – Τρίγωνο με πλευρές 10, 24, 26.   – Τρίγωνο με πλευρές 12, 16, 20. ──────────────────────────────

[αρψ2400]

Τοποθετήστε τους 51 αριθμούς 1,2,3,.....,49,50,51 σε ένα πλέγμα 3 σειρών επί 17 στηλών έτσι ώστε οι αριθμοί στις κάθετες στήλες να έχουν το ίδιο άθροισμα σε καθεμία από τις 17 στήλες.

[silouan]

Ένα άλλο παράδειγμα από τη δημόσια συζήτηση ''Όσα περισσότερα μπορείτε'' Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC με ακέραιες πλευρές , το εμβαδόν του είναι ( αριθμητικά )διπλάσιο της περιμέτρου του . Βρείτε όσα περισσότερα τέτοια τρίγωνα μπορείτε ! το chatgpt (o3-mini) μετά από 1m και 10sec 'σκέψης' δίνει το παρακάτω

Ρώτησα το chatGPT να μου τα χαρακτηρίσει όλα (χωρίς να του έχω ζητήσει να βρει όσα περισσότερα μπορεί) και μου είπε ότι η μοναδική λύση είναι η .

[αρψ2400]

Ένα άλλο παράδειγμα από τη δημόσια συζήτηση ''Όσα περισσότερα μπορείτε'' Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC με ακέραιες πλευρές , το εμβαδόν του είναι ( αριθμητικά )διπλάσιο της περιμέτρου του . Βρείτε όσα περισσότερα τέτοια τρίγωνα μπορείτε ! το chatgpt (o3-mini) μετά από 1m και 10sec 'σκέψης' δίνει το παρακάτω

Ρώτησα το chatGPT να μου τα χαρακτηρίσει όλα (χωρίς να του έχω ζητήσει να βρει όσα περισσότερα μπορεί) και μου είπε ότι η μοναδική λύση είναι η .

του έγραψα ακριβώς ΄΄Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC με ακέραιες πλευρές , το εμβαδόν του είναι ( αριθμητικά )

διπλάσιο της περιμέτρου του . Βρείτε όσα περισσότερα τέτοια τρίγωνα μπορείτε ! δώσε την απάντησή σου σε word'' και έκανα copy paste την παραπάνω απάντηση.
Πρέπει να πατήσετε αιτιολόγηση κάτω από την ερώτηση στο κουτάκι με τη λάμπα ,έχει τεράστια διαφορά.

[silouan]

Δεν αντιλέγω. Εδώ είναι η δική μου ερώτηση για όλα.
https://chatgpt.com/share/67d52c1e-9a24 ... 67e237f28d

[KARKAR]

Μπορεί κανείς να υποθέσει ότι στην περίπτωση αυτή , βρίσκει μόνο τις γνήσιες (πρωτογενείς) πυθαγόρειες τριάδες .

[αρψ2400]

https://chatgpt.com/share/67d579a2-fed0 ... bf36bdfcb8
Αυτή είναι η απάντηση που μου έδωσε .Παρατηρήστε ότι στην αρχή λέει το χρόνο συλλογισμού.Χρειάζεται εγγραφή και πάτημα του κουμπιού με τον λαμπτήρα που λέει συλλογισμός.Τότε μπαίνει σε λειτουργία το o3-mini διάδοχος του o1 που έφερε την μεγάλη αλλαγή στα μαθήματικα και τον προγραμματισμό.

[αρψ2400]

Ένα παράδειγμα λύσης προβλήματος με το gptchat :
Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (9η τάξη).
Πρόβλημα 5.
Μια νοικοκυρά έχει ένα κομμάτι κρέας με το οποίο θέλει να ταΐσει τρεις γάτες. Μια φορά ανά μερικά δευτερόλεπτα η νοικοκυρά αποκόβει ένα κομμάτι κρέας και το ταΐζει σε μια από τις γάτες της δικιάς της επιλογής, εξάλλου κάθε κομμάτι πρέπει να είναι το ίδιο και το αυτό μέρος (ποσοστό) του κομματιού από το οποίο αποκόβεται. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα η νοικοκυρά τοποθετεί το κρέας που επέμεινε στο ψυγείο. Μπορεί άραγε να ταΐσει τις γάτες ίση ποσότητα κρέατος;

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο ,όπως αναλύθηκε στη ρητή περίπτωση με τον διαμερισμό κάποιων πρώτων όρων ,μιας γεωμετρικής προόδου σε τρία μέρη με το ίδιο άθροισμα.Μια ιδέα είναι ο λόγος α να έιναι ο φ λύση της χ^2+χ=1 αλλά φ=0.618...< 2/3 .Έτσι αναζητώντας μία απλη πολυωνυμική εξίσωση με ρίζα πάνω από 2/3 , μετά από αποτυχημένες δοκιμές και με τη βοήθεια του υπολογιστή (και του gptchat για την γρήγορη πτώση βαθμών των όρων) ,μία κατάλληλη είσωση είναι η χ^3+χ=1 .

https://chatgpt.com/share/67e2bb2f-96a4 ... 02b260c184

[αρψ2400]

Συνέχεια συζήτησης που άνοιξα στην Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (9η τάξη) (χωρίς μάλλον να έπρεπε στη συγκεκριμένη συζήτηση)

Ναι δεν την αντικαθιστά αλλά μήπως δεν την εξελίσσει η την καθιστά στάσιμη...Αυτό αναρωτιούνται σε paper οι ερευνητές της Microsoft (βλέπε παρακάτω)...

https://www.microsoft.com/en-us/researc ... survey.pdf

Δεν διάβασα το άρθρο αλλά ίσως η ανθρώπινη σκέψη προσαρμοστεί , και εξελιχθεί με διαφορετκό τρόπο. Έχει αποδείξει ότι είναι αρκετά ευέλικτη και ίσως μας εκπλήξει.Ο χρόνος θα δείξει.Εγώ πάντως μετατρέπω τους τύπους σε latex μέσω gpt .Είναι καλό αυτό ; Κι αν ναι , ακόμα και για τους μαθητές;Δεν ξέρω.

[αρψ2400]

Δεν ξέρω αν το παρακάτω μπαίνει και στα διασκεδαστικά μαθηματικά .

https://chatgpt.com/share/681f29c4-92bc ... ca819a534f

(Το πρόβλημα είναι από την πρόσφατη Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα.)

[αρψ2400]

1.Για κάθε νέο μοντέλο-version ΑΙ (της τρέχουσας ,και των αναβαθμίσεών της ) , πάντα θα υπάρχουν μαθηματικά προβλήματα ,τέτοια ώστε ο μέσος μαθητής τελευταίων τάξεων του δημοτικού , Α γυμνασίου, μπορεί να λύσει και όχι αυτα τα μοντέλα.
2.Υπάρχουν μαθηματικά προβλήματα ,τέτοια ώστε , ο μέσος μαθητής τελευταίων τάξεων του δημοτικού , Α γυμνασίου, μπορεί να λύσει ,και κανένα νέο μοντέλο-version ΑΙ (της τρέχουσας ,και των αναβαθμίσεών της ) .
Για τα τελευταία τρία χρόνια περίπου ,μετά την έλευση του chatgpt και την ενασχόλησή μου με το θέμα :
Η πρώτη πρόταση μέχρι στιγμής είναι αληθής (εμπειρικά-πειραματικά)
Η δεύτερη πρόταση είναι στατιστικά ψευδής αφού οι νέες version ΑΙ λύνουν πάρα πολλά προβλήματα στα οποία οι παλαιότερες αποτυγχάνουν.Λέω στατιστικά γιατί δεν λύνουν όλα τα προηγόύμενα προβλήματα ,αλλά τα περισσότερα .(ένα διάσημο αμφιλεγόμενο παράδειγμα https://medium.com/@toni.ramk.onl/solut ... e0c6930d10)
Είναι αναμενόμενες οι παραπάνω απαντήσεις; Για το 1 , τα μαθηματικά δεν είναι πεπερασμένα ούτε γλώσσα....Για το 2 , όταν κάτι λύνεται , κωδικοποιείται σε οποιαδήποτε γλώσσα. Η κωδικοποίηση , με την τυποποίηση και τα αναρίθμητα παρεμφερή παραδείγματα , μπορεί να λύσει παραπλήσια προβλήματα.
Σημ1: Μιλάω στα παραπάνω ,πάντα ,για την τρέχουσα επανάσταση με την ΑΙ ,που στηρίζεται γύρω από τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα στατιστικής ανάλυσης της γλώσσας.
Σημ2: Όταν προτρέπω στη χρήση ΤΝ (ΑΙ) σε κάποιο πρόβλημα ,αν νομίζετε ότι καταστρέφεται η σκέψη , η δημιουργικότητα κτλ , η απάντηση είναι απλή : Ιδού η Ρόδος ... Ανεβάστε λύση ΑΙ .Αν ένας μαθητής το κάνει , την επόμενη δεν θα το ξανακάνει.Τουλάχιστον θα κάνει έναν κόπο να ελέγξει τι λέει πριν.Μπορεί βέβαια η λύση σε κάποια μετά από κάποιο χρονικό διάστημα να είναι σωστή , αλλά θα έχει πάρει το μήνυμα.Δεν νομίζω το πνεύμα του mathematica να είναι οι εργασίες του σχολείου.
Σημ3:Με τις καλύτερες προθέσεις για όλους και σας ευχαριστώ που διαβάσατε τις απόψεις μου

[αρψ2400]

https://g.co/gemini/share/55bbf6d8fefb

https://chatgpt.com/share/68b1cfeb-b920 ... 7b69e98912

https://claude.ai/share/591003f5-f8a7-4 ... 9107ef22bf

https://grok.com/share/c2hhcmQtMg%3D%3D ... 770b2c8f05

DeepSeek-V3 : Without the visual information from the screenshot, it is impossible to accurately determine which tile completes the wall. However, based on common patterns in such problems, such as sequences of shapes, dots, or orientations, tile (C) is often the correct choice in multiple-choice scenarios. If you can provide a description of the wall pattern and the options, I can offer a more precise answer.

ΠΗΓΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ : Canguru de Matemática Brasil – Level B – 2020 – Second Application
Η κατηγορία “Benjamin” αφορά συνήθως μαθητές περίπου 11-12 ετών, δηλαδή παιδιά 5ης ή 6ης Δημοτικού στην Ελλάδα.

[mick7]

https://g.co/gemini/share/55bbf6d8fefb

https://chatgpt.com/share/68b1cfeb-b920 ... 7b69e98912

https://claude.ai/share/591003f5-f8a7-4 ... 9107ef22bf

https://grok.com/share/c2hhcmQtMg%3D%3D ... 770b2c8f05

DeepSeek-V3 : Without the visual information from the screenshot, it is impossible to accurately determine which tile completes the wall. However, based on common patterns in such problems, such as sequences of shapes, dots, or orientations, tile (C) is often the correct choice in multiple-choice scenarios. If you can provide a description of the wall pattern and the options, I can offer a more precise answer.

ΠΗΓΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ : Canguru de Matemática Brasil – Level B – 2020 – Second Application
Η κατηγορία “Benjamin” αφορά συνήθως μαθητές περίπου 11-12 ετών, δηλαδή παιδιά 5ης ή 6ης Δημοτικού στην Ελλάδα.

Έχει να κάνει με την ανάλυση της εικόνας που δίνεις. Πχ μεγαλύτερη ανάλυση δίνει την σωστή απάντηση στο λινκ παρακάτω...

https://chatgpt.com/share/68b31fd5-35b8 ... ec8382336e

[αρψ2400]

https://g.co/gemini/share/55bbf6d8fefb

https://chatgpt.com/share/68b1cfeb-b920 ... 7b69e98912

https://claude.ai/share/591003f5-f8a7-4 ... 9107ef22bf

https://grok.com/share/c2hhcmQtMg%3D%3D ... 770b2c8f05

DeepSeek-V3 : Without the visual information from the screenshot, it is impossible to accurately determine which tile completes the wall. However, based on common patterns in such problems, such as sequences of shapes, dots, or orientations, tile (C) is often the correct choice in multiple-choice scenarios. If you can provide a description of the wall pattern and the options, I can offer a more precise answer.

ΠΗΓΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ : Canguru de Matemática Brasil – Level B – 2020 – Second Application
Η κατηγορία “Benjamin” αφορά συνήθως μαθητές περίπου 11-12 ετών, δηλαδή παιδιά 5ης ή 6ης Δημοτικού στην Ελλάδα.

Έχει να κάνει με την ανάλυση της εικόνας που δίνεις. Πχ μεγαλύτερη ανάλυση δίνει την σωστή απάντηση στο λινκ παρακάτω...

https://chatgpt.com/share/68b31fd5-35b8 ... ec8382336e

Δεν ξέρω ,έκανα copy paste στην εικονα σας
και μου εδωσε αυτό:https://chatgpt.com/share/68b33623-93ec ... 99c5d1521a