Αλλαγή της μέσης τιμής

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Η μέση ηλικία των παικτών μιας ποδοσφαιρικής ομάδας είναι 28 έτη. Γνωρίζουμε ότι οι δύο παίκτες με την μεγαλύτερη ηλικία
είναι και ετών.
Αποφασίστηκε να αντικατασταθούν οι δύο αυτοί παίκτες με δύο νεότερους, όχι όμως κάτω των ετών, έτσι ώστε η μέση ηλικία
της νέας σύνθεση της ομάδας να πέσει στα έτη.
Ποιες είναι οι ηλικίες που μπορούν να έχουν οι δύο νέοι παίκτες;

[george visvikis]

Η μέση ηλικία των παικτών μιας ποδοσφαιρικής ομάδας είναι 28 έτη. Γνωρίζουμε ότι οι δύο παίκτες με την μεγαλύτερη ηλικία
είναι και ετών.
Αποφασίστηκε να αντικατασταθούν οι δύο αυτοί παίκτες με δύο νεότερους, όχι όμως κάτω των ετών, έτσι ώστε η μέση ηλικία
της νέας σύνθεση της ομάδας να πέσει στα έτη.
Ποιες είναι οι ηλικίες που μπορούν να έχουν οι δύο νέοι παίκτες;

Έστω η μέση ηλικία των παικτών που δεν μετακινούνται και το άθροισμα των ηλικιών των δύο νέων παικτών. Τότε το παραμένει σταθερό πριν και μετά την αντικατάσταση των δύο παικτών με την μεγαλύτερη ηλικία. Έτσι έχουμε:

Πριν την αντικατάσταση, απ' όπου παίρνουμε

Μετά την αντικατάσταση, απ' όπου

Επειδή όμως κανένας από του δύο νέους παίκτες δεν μπορεί να είναι κάτω των ετών, τότε ή θα είναι και οι δύο ετών ή ο ένας θα είναι και ο άλλος ετών.

[YeseniaJensen]

Ας υποθέσουμε ότι η ομάδα έχει n παίκτες. Η μέση ηλικία πριν την αλλαγή είναι 28 έτη, οπότε το άθροισμα των ηλικιών των παικτών είναι:
Άθροισμα ηλικιωˊν πριν την αλλαγηˊ=28×n
Μετά την αντικατάσταση των δύο παικτών ηλικίας 31 και 33, το άθροισμα των ηλικιών της ομάδας θα αλλάξει. Ο Μάνος και ο Δημήτρης φεύγουν και αντικαθίστανται από δύο νέους παίκτες, οι οποίοι έχουν ηλικίες x και y (και x,y≥20).
Άρα το νέο άθροισμα των ηλικιών είναι:

Νεˊο αˊ θροισμα ηλικιωˊν = 28n − (31 + 33) + x + y = 28n - 64 + x + y
Η νέα μέση ηλικία είναι 26 έτη, οπότε το νέο άθροισμα των ηλικιών πρέπει να είναι:
Νεˊο αˊθροισμα ηλικιωˊν = 26 × n
Από τις παραπάνω σχέσεις, έχουμε: 28n−64+x+y=26n
Απλοποιούμε την εξίσωση:
28n−64+x+y=26n
2n−64+x+y=0
x+y=64−2n drive mad
Οι ηλικίες των νέων παικτών, x και y, πρέπει να είναι τουλάχιστον 20 ετών, άρα:
x≥20καιy≥20
Επιπλέον, η συνάρτηση x+y=64−2n πρέπει να ισχύει. Επομένως:
64−2n≥40(εφ οˊσον x+y≥40)
Από αυτή την ανισότητα προκύπτει:
64−2n≥40⇒2n≤24⇒n≤12
Αν υποθέσουμε ότι η ομάδα έχει 12 παίκτες (δηn=12), τότε:
x+y=64−2(12)=64−24=40
Οι ηλικίες των δύο νέων παικτών πρέπει να αθροίζουν 40 και να είναι τουλάχιστον 20 ετών. Επομένως, οι δυνατές τιμές για τις ηλικίες x κy είναι

• x=20, y=20
  x=21, y=19
  x=22, y=18

[woodauk]

Η μέση ηλικία των παικτών μιας ποδοσφαιρικής ομάδας είναι 28 έτη. Γνωρίζουμε ότι οι δύο παίκτες με την μεγαλύτερη ηλικία
είναι και ετών.
Αποφασίστηκε να αντικατασταθούν οι δύο αυτοί παίκτες με δύο νεότερους, όχι όμως κάτω των ετών, έτσι ώστε η μέση ηλικία
της νέας σύνθεση της ομάδας να πέσει στα έτη.
Ποιες είναι οι ηλικίες που μπορούν να έχουν οι δύο νέοι παίκτες;

Έστω η μέση ηλικία των παικτών που δεν μετακινούνται και το άθροισμα των ηλικιών των δύο νέων παικτών. Τότε το παραμένει σταθερό πριν και μετά την αντικατάσταση των δύο παικτών με την μεγαλύτερη ηλικία. Έτσι έχουμε:

Πριν την αντικατάσταση, απ' όπου παίρνουμε Escape Road Game

Μετά την αντικατάσταση, απ' όπου

Επειδή όμως κανένας από του δύο νέους παίκτες δεν μπορεί να είναι κάτω των ετών, τότε ή θα είναι και οι δύο ετών ή ο ένας θα είναι και ο άλλος ετών.

την ίδια ιδέα

[kkala]

Από τον ορισμό του μέσου όρου, συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα ηλικιών όλων των παικτών (πριν την αντικατάσταση) είναι 28χ11=308 έτη.
Φεύγουν οι δύο γηραιότεροι παίκτες, οπότε το εν λόγω άθροισμα των 9 παικτών που απομένουν είναι 308-31-33=244 έτη.
Έρχονται 2 νέοι παίκτες, και το εν λόγω άθροισμα των 11 παικτών γίνεται 26χ11=286 έτη.
Η διαφορά 286-244= 42 έτη αντιπροσωπεύει το άθροισμα των ηλικιών των δύο νέων παικτών, που πρέπει ο καθένας να έχει ηλικία τουλάχιστον 20 έτη.
Επομένως οι δύο νέοι παίκτες έχουν ηλικία 20 και 22 έτη, ή 21 και 21 έτη.
Τούτο δεν διαφέρει ουσιαστικά από τις παραπάνω λύσεις. Απλά αποφεύγει τις αλγεβρικές εκφράσεις.

Σημείωση: Ακόμα ο "equation editor" δεν μου παρουσιάζεται.