Τέσσερα στα δέκα

KARKAR · #1

: Τέσσερα στα δέκα.png (12.31 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

Η

είναι οριζόντια διάμετρος του κύκλου : x^2+y^2=25

. Εντοπίστε σημείο

του "νοτίου"

ημικυκλίου ώστε αν οι SP , ST

τέμνουν την

στα σημεία N , L

, να προκύπτει : NL=4

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 13, 2025 4:38 pm
Τέσσερα στα δέκα.pngΗ είναι οριζόντια διάμετρος του κύκλου : . Εντοπίστε σημείο του "νοτίου"

ημικυκλίου ώστε αν οι τέμνουν την στα σημεία , να προκύπτει : .

Για κάθε θέση του

πάνω στο νότιο ημικύκλιο αν γράψω τον κύκλο $\left( {N,T,S} \right)$ θα κόψει την

στο

με $\boxed{BJ = 2}$ .

: Τέσσερα στα δέκα_haruki_1.png (30.93 KiB) Προβλήθηκε 391 φορές

Αυτά με βάσει το θεώρημα Haruki

.

Αν τώρα θεωρηθεί λυμένο το πρόβλημα και θέσω $AN = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LB = b$ θα ισχύουν : $\boxed{\frac{{ab}}{4} = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a + b = 6}$ και άρα :

: Τέσσερα στα δέκα_Αναλυτική Γεωμ.png (29.74 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

$a = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = 4$ (με βάση τη θέση του

σύμφωνα με το σχήμα του Θανάση ).

Έτσι $N\left( { - 3,0} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L\left( {1,0)} \right)$ οι γνωστές τώρα ευθείες $PN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TL$ τέμνονται στο $\boxed{S\left( { - \frac{7}{5}, - \frac{{24}}{5}} \right)}$

που εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ανήκει στο δεδομένο κύκλο .

Αν πάρω $a = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = 2$ εργάζομαι με όμοιο τρόπο.

: Τέσσερα στα δέκα_haruki.png (26.13 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 13, 2025 4:38 pm
Τέσσερα στα δέκα.pngΗ είναι οριζόντια διάμετρος του κύκλου : . Εντοπίστε σημείο του "νοτίου"

ημικυκλίου ώστε αν οι τέμνουν την στα σημεία , να προκύπτει : .

.
Έστω

οπότε

. Άρα οι ευθείες PN, TL

είναι αντίστοιχα οι

$y-3=\dfrac {3-0}{-4-a}(x+4)$ και $y-4=\dfrac {3-0}{-1-a}(x-3)$

Λύνοντας το σύστημα τέμνονται στο $\displaystyle{ S \left (\dfrac {a^2+29a+64}{a+13} , \, \dfrac {-48}{a+13} \right) }$ .

Θέλουμε το

να είναι σημείο του κύκλου x^2+y^2=25

, άρα $\displaystyle{ (a^2+29a+64)^2+(-48)^2=(a+13)^2}$ , ισοδύναμα (a+29)(a+25)(a+3)(a+1)=0

. Κρατάμε μόνο τις ρίζες a=-3

και

. Πίσω στην παράσταση του

, έχουμε δύο εκδοχές, τις

$\displaystyle{ \boxed {S \left (\dfrac {-7}{5} , \, \dfrac {-24}{5} \right) }}$ και $\displaystyle{ \boxed {S \left (3 , \, -4 \right) }}$
.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 13, 2025 4:38 pm
Τέσσερα στα δέκα.pngΗ είναι οριζόντια διάμετρος του κύκλου : . Εντοπίστε σημείο του "νοτίου"

ημικυκλίου ώστε αν οι τέμνουν την στα σημεία , να προκύπτει : .

Είναι $(PT)=5 \sqrt{2}$ και (OT)=(OP)=5

άρα $\angle OPT=90$ οπότε $\angle PST=45^0$

Θεωρώντας λοιπόν τον κύκλο (P,S,L)

θα είναι $\angle PKC=90^0 \Rightarrow (KC)=(PC)=3$

Έχουμε $(CN)+(NO)=4=(NO)+(OL) \Rightarrow( CN)=(OL)=x$ .Θα βρούμε το μήκος

Ισχύει $(KN).(NL) =(AN).(NB)(=(PN).(NS) \Rightarrow (3+x).4=(x+1)(10-(x+1) \Leftrightarrow x^2-4x+3=0$

άρα x=1

ή

Αν $x=1 \Rightarrow N=(-3,0) , L=(1,0)$ κι εύκολα

:

,

:

που τέμνονται στο $S(- \dfrac{7}{5},- \dfrac{24}{5})$ που είναι σημείο του κύκλου x^2+y^2=25

Αν

τότε $N \equiv D(-1,0)$ και $L \equiv E(3,0)$ κι εργαζόμενοι όπως προηγουμένως $S \equiv Z(3,-4)$

: τέσσερα στα δέκα.png (53.05 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές

Τέσσερα στα δέκα

Τέσσερα στα δέκα

Re: Τέσσερα στα δέκα

Re: Τέσσερα στα δέκα

Re: Τέσσερα στα δέκα

Μέλη σε σύνδεση