Διπλάσιο της χορδής

#1

Καλή Ανάσταση!

: Διπλάσιο της χορδής.png (16.01 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές

Έστω

το μέσο ενός τμήματος

και

το μέσο του OM.

Γράφω τους κύκλους (O, OM), (K, KN)

και ονομάζω

ένα κοινό σημείο τους. Φέρνω το κοινό εφαπτόμενα τμήμα

που βρίσκεται πλησιέστερα στο

σημείο του κύκλου (O)

Να δείξετε ότι ST=2SA

και να υπολογίσετε το $\cos \theta$ όπου $\theta=A\widehat OS.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 19, 2025 1:37 pm
Καλή Ανάσταση!

Διπλάσιο της χορδής.png
Έστω το μέσο ενός τμήματος και το μέσο του Γράφω τους κύκλους

και ονομάζω ένα κοινό σημείο τους. Φέρνω το κοινό εφαπτόμενα τμήμα που βρίσκεται πλησιέστερα στο

σημείο του κύκλου Να δείξετε ότι και να υπολογίσετε το $\cos \theta$ όπου $\theta=A\widehat OS.$

α)Ας είναι OK = 4k

, άρα ο μικρός έχει ακτίνα, r = 2k

και ο μεγάλος ακτίνα , R = 3k

. οι κύκλοι είναι ομοιόθετοι ,

με εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας ,

για το οποίο : $OD = \dfrac{{r \cdot OK}}{{R - r}} = \dfrac{{2k \cdot 4k}}{{3k - 2k}} \Rightarrow OD = 8k\,\,\left( 1 \right)$ .

Με Π. Θ. στα , $\vartriangle SDO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle TDK$ προκύπτει : $x = ST = k\sqrt {15} \,\,\left( 2 \right)$ .

Στο $\vartriangle AOK$ που έχει πλευρές : $OK = 4k\,\,,\,KA = 3k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AO = 2k$ ,
.

: Διπλάσιο χορδής.png (22.86 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές

.
υπολογίζεται το $\cos \omega = \dfrac{{16{k^2} + 9{k^2} - 4{k^2}}}{{24{k^2}}} = \dfrac{7}{8}\,\,\left( 3 \right)$ , οπότε $A{Z^2} = 9{k^2} + 9{k^2} - 2 \cdot 9{k^2}\left( { - \dfrac{7}{8}} \right) = 9{k^2} \cdot \dfrac{{15}}{4}$ , άρα $AZ = \dfrac{{3k\sqrt {15} }}{2}\,\,\,\left( 4 \right)$ .

Επειδή $T{S^2} = SA \cdot SZ = SA\left( {SA + AZ} \right)$ , προκύπτει λόγω και των $\left( 2 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 4 \right)$ , $15{k^2} = y\left( {y + \dfrac{{3k\sqrt {15} }}{2}} \right) \Rightarrow y = \dfrac{{k\sqrt {15} }}{2} = \dfrac{x}{2}$ .

β)
Τώρα στο ισοσκελές τρίγωνο OSA

έχω πάλι με Θ. συνημίτονου , $\cos \theta = \dfrac{{4{k^2} + 4{k^2} - \dfrac{{15{k^2}}}{4}}}{{8{k^2}}} = \dfrac{{17}}{{32}}$

Φανης Θεοφανιδης · #3

: 1004.png (33.44 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

Χρόνια πολλά, Χριστός Ανέστη.

Έστω $OS=R\Rightarrow KO=2R\Rightarrow KN=\dfrac{3R}{2}\Rightarrow KT=\dfrac{3R}{2}\Rightarrow$
$\Rightarrow KF=\dfrac{R}{2}$ .
Από το Π.Θ. στο $\triangle OFK$ βρίσκω $OF=\dfrac{\sqrt{15}R}{2}\Rightarrow$
$\Rightarrow ST=\dfrac{\sqrt{15}R}{2} (1)$ .
Από το τύπο του ύψους στο $\triangle OAK$ έχω ότι $AB=\dfrac{\sqrt{135}R}{16} (2)$ .
Από το Θ. Διαμέσων στο $\triangle OAK$ παίρνω $AM=\dfrac{\sqrt{10}R}{4} (3)$ .
$\triangle BAD\sim \triangle OFK\Rightarrow AD=\dfrac{3R}{4} (4)$ και $BD=\dfrac{3R}{16} (5)$ .
Το Π.Θ. στο $\triangle OAB$ μου δίνει $OB=\dfrac{11R}{16} (6)$ .
Οπότε από $(5), (6) \Rightarrow OD=\dfrac{7R}{8} (7)$ .
$\triangle OCD\sim \triangle OFK\Rightarrow CD=\dfrac{7R}{32} (8)\Rightarrow$
$\Rightarrow AC=\dfrac{17R}{32}=GF (9)$ (λόγω της (4)

) .
Τα ορθογώνια τρίγωνα ABO, AGK

έχουν ανάλογες πλευρές. Άρα είναι όμοια.
Επομένως $\angle BOA=\varphi \Rightarrow \triangle OAM\sim \triangle KAT\Rightarrow$
$\Rightarrow \dfrac{AM}{AT}=\dfrac{OM}{KA}\Rightarrow AT=\dfrac{3\sqrt{1O}R}{8} (10)$ .
Αλλά $\triangle SAM\sim \triangle SAT \Rightarrow SA=\dfrac{\sqrt{15}R}{4}(11)$ (λόγω των (3), (10)

).
Από την (11)

και

έπεται ότι ST=2SA

.
Για το δεύτερο ερώτημα από το $\triangle OEA$ έχω
$\sigma \upsilon \nu \theta =\dfrac{OE}{OA}=\dfrac{GF}{OA}=\dfrac{17}{32}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 19, 2025 1:37 pm
Καλή Ανάσταση!

Διπλάσιο της χορδής.png
Έστω το μέσο ενός τμήματος και το μέσο του Γράφω τους κύκλους

και ονομάζω ένα κοινό σημείο τους. Φέρνω το κοινό εφαπτόμενα τμήμα που βρίσκεται πλησιέστερα στο

σημείο του κύκλου Να δείξετε ότι και να υπολογίσετε το $\cos \theta$ όπου $\theta=A\widehat OS.$

$DA.DB=DT^2=DS^2 \Rightarrow DS=DT$ .

Με ON=a

θα είναι

και

άρα

$ST^2=OE^2=4a^2-a^2\Rightarrow ST= a\sqrt{15}$ .

Με $AN\cap (O)=C$ ,προφανώς

διάμετρος του (O)

,το

είναι ορθογώνιο και PO=ON=a

$SP//AN \Rightarrow \dfrac{SA}{AL}= \dfrac{PN}{NL}= \dfrac{2a}{6a}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow AL=3AS$

και $LA.LS=LM.LQ \Rightarrow 12SA^2=5a.9a=45a^2 \Rightarrow SA= \dfrac{a \sqrt{15} }{2}=SD$

$ZS^2=CS^2-AS^2=16a^2- \dfrac{15a^2}{4} \Rightarrow ZS= \dfrac{7a}{2} \Rightarrow cos \phi = \dfrac{ZS}{CS} = \dfrac{7}{8}$

$cos \theta =cos2 \phi =2cos^2 \phi -1=... \dfrac{17}{32}$

: διπλάσιο χορδής.png (58.43 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές

Διπλάσιο της χορδής

Διπλάσιο της χορδής

Re: Διπλάσιο της χορδής

Re: Διπλάσιο της χορδής

Re: Διπλάσιο της χορδής

Μέλη σε σύνδεση