Σημείο στίξης

KARKAR · #1

: Σημείο στίξης.png (26.86 KiB) Προβλήθηκε 991 φορές

Κύκλος διερχόμενος από τα σημεία A(8 , -1)

και

, τέμνει τον σταθερό κύκλο x^2+y^2=9

στα σημεία T , P

. Βρείτε το σημείο

της τομής των ημιευθειών

και

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 22, 2025 8:12 pm
Σημείο στίξης.pngΚύκλος διερχόμενος από τα σημεία και , τέμνει τον σταθερό κύκλο

στα σημεία . Βρείτε το σημείο της τομής των ημιευθειών και .

Tο

βρίσκεται στην ευθεία

, δηλαδή την y=7-x

, άρα είναι το S(x,7-x)

Από δύναμη σημείου έχουμε $SP\cdot ST=SB\cdot SA$ . Aπό τον αριστερό κύκλο, κέντρου (0,0)

και ακτίνας

, το $SP\cdot ST$ ισούται με SO^2-3^2=x^2+y^2-9= x^2+(7-x)^2-9= 2x^2-14x+40

.

Επίσης, $SB\cdot SA = \sqrt {(x-3)^2+(3-x)^2} \sqrt {(x-8)^2+(8-x)^2}$ . Άρα

$2x^2-14x+40 = \sqrt {(x-3)^2+(3-x)^2} \sqrt {(x-8)^2+(8-x)^2}$ , ισοδύναμα x^3-10x^2+31x-22=0

, ή αλλιώς (x-1)(x^2-9x+22)=0

. Έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, την x=1

. Τελικά $\boxed {S(1,6)}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 22, 2025 8:12 pm
Σημείο στίξης.pngΚύκλος διερχόμενος από τα σημεία και , τέμνει τον σταθερό κύκλο

στα σημεία . Βρείτε το σημείο της τομής των ημιευθειών και .

Η σταθερή ευθεία

έχει εξίσωση , x + y - 7 = 0

. Οι κύκλοι που διέρχονται από τα σταθερά σημεία $A\,\,,\,\,B$ έχουν εξίσωση ,

$\left( {x - 3} \right)\left( {x - 8} \right) + \left( {y - 4} \right)\left( {y + 1} \right) + k\left( {x + y - 7} \right) = 0$ με

πραγματική παράμετρο . Η προηγούμενη σχέση γράφεται :

: Σημείο στίξης.png (23.33 KiB) Προβλήθηκε 942 φορές

${x^2} + {y^2} - 11x - 3y + 20 + k\left( {x + y - 7} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)$ . η κοινή χορδή

έχει εξίσωση που προκύπτει από την αφαίρεση

Κατά μέλη της $\left( 1 \right)$ με την , ${x^2} + {y^2} - 9 = 0\,\,\left( 2 \right)$ . Έτσι έχω : $k\left( {x + y - 7} \right) - \left( {11x + 3y - 29} \right) = 0$ που ισχύει για κάθε τιμή του

Αν υπάρχουν x,y

για τα οποία ταυτόχρονα: $x + y = 7\,\,\kappa \alpha \iota \,\,11x + 3y = 29$ . Από το γραμμικό αυτό σύστημα έχω το

.

Έτσι προκύπτει : $\boxed{S\left( {1,6} \right)}$

Σημείο στίξης

Σημείο στίξης

Re: Σημείο στίξης

Re: Σημείο στίξης

Μέλη σε σύνδεση