Διαμεσολάβηση

KARKAR · #1

: Διαμεσολάβηση.png (13.38 KiB) Προβλήθηκε 1342 φορές

Για τις πλευρές b , c

, του τριγώνου ABC

γνωρίζουμε ότι : $b\cdot c=30$ .

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι

. Υπολογίστε την διάμεσο

.

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 26, 2025 11:23 am Για τις πλευρές , του τριγώνου γνωρίζουμε ότι : $b\cdot c=30$ .

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι . Υπολογίστε την διάμεσο .

Από το εμβαδόν έχουμε $\dfrac {30}{2}\sin \theta = \dfrac {1}{2}bc\sin \theta =14$ . Άρα $\sin \theta = \dfrac {14}{15}$ , οπότε $\cos \theta = \pm \dfrac {\sqrt {29}}{15}$ .

Από τον Νόμο των συνημιτόνων έχουμε $100=a^2=b^2+c^2-2bc \cos \theta$ , άρα

$b^2+c^2= 100 - 2bc \cos \theta = 100 \pm 2\cdot 30 \cdot \dfrac {\sqrt {29}}{15}$ . Άρα $b^2+c^2= 50 \pm 4\sqrt {29}$

Από το θεώρημα των διαμέσων $2AM^2+2\cdot 5^2= b^2+c^2= 100 \pm 4\sqrt {29}$ από όπου $\boxed {AM= \sqrt {25\pm 2\sqrt {29}}}$

(Υπόψη ότι μπορούμε εύκολα να βρούμε τα b,c

από τα $b^2+c^2= 50 \pm 4\sqrt {29}, bc = 30$ . To αφήνω ως άμεση ρουτίνα).

Σχόλιο: Δεν βρίσκω καμία, μα καμία, σχέση της κατά τα άλλα ενδιαφέρουσας αυτής άσκησης, με τα Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Ας επαναλάβω για πολλοστή φόρα ότι καλό είναι να μην αποπροσανατολίζουμε τους μαθητές μας με εσφαλμένες πληροφορίες. Το οφείλουμε ως ιερό χρέος στον ρόλο μας ως Δάσκαλοι.

(*)

Βλέπε π.χ. εδώ, ποστ #2.

.

KARKAR · #3

Κάποτε είχα αναρτήσει σ' αυτόν τον φάκελο μία άσκηση που ήταν περίπου η εξής :

Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x-11}{\sqrt{x-12}}$ . Ταιριάζει ; Ναι !

Θέλω να πω ότι εδώ ανεβάζω (και) θέματα που δεν ακολουθούν κάποιον αυστηρό κανόνα ,

περιέχουν πάντως μια διασκεδαστική πτυχή , που μπορεί να είναι κάτι από τα παρακάτω :

Ένα μη αναμενόμενο αποτέλεσμα σαν αυτό : x=5.999992

ή $\tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

ή μια "μπλόφα" π.χ. αυτή (που καμιά φορά πιάνει ) κ.λ.π.

Η άσκηση της παρούσας ανάρτησης τι είχε από αυτά ; Την μπλόφα ( που τώρα δεν έπιασε

)

Αν κάποιος παρασυρθεί από το σχήμα θα δώσει μόνο την απάντηση : $\boxed {AM= \sqrt {25-2\sqrt {29}}}$

#4

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 26, 2025 11:23 am Διαμεσολάβηση.pngΓια τις πλευρές , του τριγώνου γνωρίζουμε ότι : $b\cdot c=30$ .

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι . Υπολογίστε την διάμεσο .

Αλλιώς για το b^2+c^2

με τον τύπο του Ήρωνα:

$\displaystyle \frac{{(a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)}}{{16}} = {14^2}$ κι επειδή a=10, bc=30,

καταλήγω στην εξίσωση, $\displaystyle {({b^2} + {c^2})^2} - 200({b^2} + {c^2}) + 9536 = 0,$ απ' όπου $\boxed{{b^2} + {c^2} = 4\left( {25 \pm \sqrt {29} } \right)}$

Τα υπόλοιπα όπως και ο Μιχάλης.

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 26, 2025 4:45 pm
Θέλω να πω ότι εδώ ανεβάζω (και) θέματα που δεν ακολουθούν κάποιον αυστηρό κανόνα ,

περιέχουν πάντως μια διασκεδαστική πτυχή , που μπορεί να είναι κάτι από τα παρακάτω :

Ένα μη αναμενόμενο αποτέλεσμα σαν αυτό : ή $\tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Διασκεδαστικό στοιχείο (όπως αυτά που αναφέρεις) και Διασκεδαστικά Μαθηματικά ΔΕΝ συμβαδίζουν. Το πρώτο ΔΕΝ επαρκεί για να θεωρηθεί λενα αποτέλεσμα ως μέρος του δεύτερου.

Τα Διασκεδαστικά Μαθηματικά (Recreational Mathematics) έχουν σαφή ορισμό στην κατηγοριοιποίηση των Μαθηματικών (Subject Classification). Ο εγκυρότερος (τον οποίο ακολουθούν οι πάντες, σε όλα τα μήκη και πλάτη) είναι του Mathematical Reviews της American Mathematical Society σε συνεργασία με το Zentralblatt MATH. Βλέπε λίγα λόγια εδώ. Τα Recreational Mathematics έρχονται στην κατηγορία (δηλαδή αρίθμηση)

και μετά υποκατηγορία 00Α08, και επίσης ένα τμήμα υπάρχει στην 97Α20. Βλέπε εδώ

Γι' αυτό με βλέπεις να επιμένω να μην αποπροσανατολίζουμε τους μαθητές μας. Πόσο μάλλον όταν τα κριτήριά μας για να θεωρούμε ότι κάτι ανήκει στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά είναι πολύ ασθενή, όπως π.χ. το $\tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}= \sin 60$ και το ακόμα ασθενέστερο

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 26, 2025 4:45 pm Κάποτε είχα αναρτήσει σ' αυτόν τον φάκελο μία άσκηση που ήταν περίπου η εξής :

Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x-11}{\sqrt{x-12}}$ . Ταιριάζει ; Ναι !

Ταιριάζει; Όχι!

KARKAR · #6

Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x-11}{\sqrt{x-12}}$ . Ταιριάζει ; Ναι !

$\dfrac{x-11}{\sqrt{x-12}}=\sqrt{x-12}+\dfrac{1}{\sqrt{x-12}}\geq 2$ , με την ισότητα για : x=13

. Έχει την πλάκα του !

Μιχάλη , προφανώς δεν συμφωνούμε για τον ορισμό του διασκεδαστικού , ωστόσο νομίζω

ότι δεν χάνει κάποιος κάτι , αν ένα θέμα δεν εμπίπτει στον ορισμό που έχει υπόψη του .

Νομίζω ότι για τέτοιου είδους διαφωνίες , είναι προτιμότερη κάποια "ανεκτικότητα" ...

#7

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 26, 2025 6:52 pm Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x-11}{\sqrt{x-12}}$ . Ταιριάζει ; Ναι !

$\dfrac{x-11}{\sqrt{x-12}}=\sqrt{x-12}+\dfrac{1}{\sqrt{x-12}}\geq 2$ , με την ισότητα για : . Έχει την πλάκα του !

Μιχάλη , προφανώς δεν συμφωνούμε για τον ορισμό του διασκεδαστικού , ωστόσο νομίζω

ότι δεν χάνει κάποιος κάτι , αν ένα θέμα δεν εμπίπτει στον ορισμό που έχει υπόψη του .

Νομίζω ότι για τέτοιου είδους διαφωνίες , είναι προτιμότερη κάποια "ανεκτικότητα" ...

Θανάση, ίσως δεν έγινα κατανοητός. Κάνω άλλη μία προσπάθεια:

Το ότι κάποια από τα παραδείγματα που αναφέρεις είναι χαριτωμένα, αληθεύει. Δεν διαφώνησα γι' αυτό. Εκεί που διαφωνώ είναι αν ταιριάζουν στην ομπρέλα των Διασκεδαστικών Μαθηματικών ως κλάδου των Μαθηματικών. Επιμένω, ως ΚΛΑΔΟΥ των Μαθηματικών. Δυστυχώς, δεν ταιριάζουν. Γι΄ αυτό παραπέμπω στην Classification των Μαθηματικών, όπου υπάρχει σαφής καταγραφή του κλάδου για να αποφεύγονται οι αυθαίρετες ερμηνείες.

Ας δώσω ένα παράδειγμα. Π.χ. το παραπάνω με την $\dfrac{x-11}{\sqrt{x-12}}$ . Η εύρεση του ελαχίστου που γράφεις, είναι χαριτωμένη (αν και χιλιοειπωμένη). Αλλά μπορώ να σκεφτώ απείρως πιο ευφυή και χαριτωμένα Μαθηματικά, όπως η απόδειξη του αρρήτου της $\sqrt 2$ με άρτια/περιττά, ή της απειρίας των πρώτων αριθμών με χρήση του p_1p_2...p_n+1

ή τον Νόμο της Τετραγωνικής Αντιστροφής ή τον τύπο του ολοκληρώματος Cauchy σε βρόγχο ή τον τύπο $e^{i\theta}= \cos \theta + i\sin \theta$ , και μύρια άλλα. Ανήκει άραγε το καθένα από αυτά στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά; Όχι βέβαια, παρ΄ όλο που ξεπερνούν κατά πολύ το παραδειγμά σου, τόσο σε επιχείρημα όσο και σε βάθος. Αλλοίμονο αν τα τοποθετούσαμε εκεί. Το καθένα ανήκει τον κλάδο του, εδώ Θεωρία Αριθμών ή Μιγαδική Ανάλυση κλπ. Αν όμως θεωρείς ότι το $\dfrac{x-11}{\sqrt{x-12}}$ ανήκει στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά λόγω του χαριτωμένου επιχειρήματος, τότε αυτά που γράφω πρέπει να πάνε... στον Παράδεισο. Εμ, δεν πάει έτσι.

Εν κατακλείδι, ας μην αυθαιρετούμε στην Διδασκαλία μας. Ας μένουμε στα όρια που πρέπει, και ας μην παραπληροφορούμε τους μαθητές μας. Είμαστε Δάσκαλοι.

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 26, 2025 6:52 pm Νομίζω ότι για τέτοιου είδους διαφωνίες , είναι προτιμότερη κάποια "ανεκτικότητα" ...

Θα διαφωνήσω παρ' όλη την καλή σου προαίρεση και την μέγιστη εκτίμηση που σου τρέφουμε όλοι στο φόρουμ. Όμως, στο συγκεκριμένο θέμα, όπως δεν έδειξα, κάποτε, καμία ανοχή όταν στο φόρουμ υπήρχε ολόκληρη επιχειρηματολογία υπέρ της τριχοτόμησης γωνίας και ότι η απόδειξη του Wantzel είναι δήθεν λάθος, έτσι δεν θα συμβιβαστώ με οποιαδήποτε στρέβλωση σε Μαθηματικό θέμα. Δεν μου το επιτρέπει η επιστημονική μου συνείδηση.

Διαμεσολάβηση

Διαμεσολάβηση

Re: Διαμεσολάβηση

Re: Διαμεσολάβηση

Re: Διαμεσολάβηση

Re: Διαμεσολάβηση

Re: Διαμεσολάβηση

Re: Διαμεσολάβηση

Μέλη σε σύνδεση