Άρτια στα ακρότατα

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνονται τα μη σταθερά πολυώνυμα P(x),Q(x)

για τα οποία γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο που να είναι κοινός τους διαιρέτης. Γνωρίζουμε επίσης ότι στο x_o

(με $Q(x_0)\ne0$ ) η ρητή συνάρτηση $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το $M\in \mathbb{R}$ .

Να αποδειχθεί ότι:

α) το x_0

είναι ρίζα του πολυωνύμου $P(x)-M\cdot Q(x)$
με άρτια πολλαπλότητα.

β) Αν επιπλέον το

είναι ολικό ακρότατο της $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ και παρουσιάζεται σε μοναδική θέση x_0

τότε οι ρίζες του Q(x)

στο $\mathbb{R}$ , εφ' όσον υπάρχουν, θα είναι επίσης άρτιας πολλαπλότητας.

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 07, 2025 12:56 pm

α) το είναι ρίζα του πολυωνύμου $P(x)-M\cdot Q(x)$
με άρτια πολλαπλότητα.

Ιάσονα,
έχω λύση αλλά πρώτα θέλω να ρωτήσω αν πρέπει να γίνει μία διόρθωση στην εκφώνηση.

Σίγουρα το x_0

είναι ρίζα άρτιας πολλαπλότητας του P(x)-M Q(x)

; Μήπως εννοείς ότι η πολλαπλότητα είναι $\ge 2$ ; Για παράδειγμα, εκτός αν δεν βλέπω σωστά, για $P(x)=x^3, \, Q(x)=x^2+1$ το

$\dfrac {P(x)}{Q(x) }$ έχει παράγωγο $\dfrac {x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}$ που μηδενίζεται (μόνο) στο x_0=0

. Και η τιμή του στο x_0

είναι

, οπότε

. Είναι τότε

P(x)-M Q(x)= x^3

, του οποίου η ρίζα x_0=0

έχει περιττή πολλαπλότητα. Κάνω λάθος;

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 07, 2025 8:54 pm

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 07, 2025 12:56 pm

α) το είναι ρίζα του πολυωνύμου $P(x)-M\cdot Q(x)$
με άρτια πολλαπλότητα.
Ιάσονα,
έχω λύση αλλά πρώτα θέλω να ρωτήσω αν πρέπει να γίνει μία διόρθωση στην εκφώνηση.

Σίγουρα το είναι ρίζα άρτιας πολλαπλότητας του ; Μήπως εννοείς ότι η πολλαπλότητα είναι $\ge 2$ ; Για παράδειγμα, εκτός αν δεν βλέπω σωστά, για $P(x)=x^3, \, Q(x)=x^2+1$ το

$\dfrac {P(x)}{Q(x) }$ έχει παράγωγο $\dfrac {x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}$ που μηδενίζεται (μόνο) στο . Και η τιμή του στο είναι , οπότε . Είναι τότε

, του οποίου η ρίζα έχει περιττή πολλαπλότητα. Κάνω λάθος;

Χαίρετε κύριε Λάμπρου,

Η επιλογή P(x)=x^3

,

καθιστά τη ρητή συνάρτηση $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ γνησίως αύξουσα αφού η παράγωγος της είναι θετική με εξαίρεση το σημείο μηδενισμού x_0=0

οπότε δεν παρουσιάζει στο x_0=0

τοπικό ακρότατο όπως θέλει η εκφώνηση.

Πιστεύω (ακόμα!) ότι η εκφώνηση είναι σωστή.

#4

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 08, 2025 12:26 am
... δεν παρουσιάζει στο τοπικό ακρότατο όπως θέλει η εκφώνηση.

Πιστεύω (ακόμα!) ότι η εκφώνηση είναι σωστή.

Έχεις δίκιο. Παρανάγνωσα την άσκηση, και εκεί που λέει "τοπικό ακρότατο" το εξέλαβα ως "κρίσιμο σημείο".

Κάποια στιγμή θα γράψω λύση (και για τις δύο εκδοχές).

#5

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 07, 2025 12:56 pm
Δίνονται τα μη σταθερά πολυώνυμα για τα οποία γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο που να είναι κοινός τους διαιρέτης. Γνωρίζουμε επίσης ότι στο (με $Q(x_0)\ne0$ ) η ρητή συνάρτηση $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το $M\in \mathbb{R}$ .

Να αποδειχθεί ότι:

α) το είναι ρίζα του πολυωνύμου $P(x)-M\cdot Q(x)$
με άρτια πολλαπλότητα.

Θα κάνω μόνο το α) γιατί στο επόμενο ποστ θέλω να κάνω μία παραλλαγή αυτού του μέρους της άσκησης που νομίζω ότι παρουσιάζει ενδιαφέρον.

Εφόσον $Q(x_0)\ne0$ μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε Q(x_0)>0

, και άρα

σε μία περιοχή γύρω από το x_0

.

'Εστω ακόμα, πάλι χωρίς βλάβη, ότι το

είναι τοπικό μέγιστο. Άρα σε μία μία περιοχή γύρω από το x_0

ισχύει $\dfrac{P(x)}{Q(x)}\le M$ με ισότητα αν x=x_0

.

Επειδή Q(x)>0

σε μία περιοχή του x_0

, έπεται από το προηγούμενο ότι $P(x)-MQ(x) \le 0 \, (*)$ σε μία περιοχή του x_0

(π.χ. στην τομή των δύο περιοχών που αναφέρθηκαν νωρίτερα). Επίσης είναι P(x_0)-MQ(x_0) = 0

.

Αφού το x_0

είναι ρίζα του P(x)-MQ(x)

σημαίνει ότι γράφεται στην μορφή P(x)-M Q(x)= (x-x_0)^nR(x)

, όπου

η πολλαπλότητα της ρίζας. Ειδικά $R(x_0) \ne 0$ , που σημαίνει ότι το

διατηρεί το πρόσημό του κοντά στο x_0

.

Αν η πολλαπλότητα

ήταν περιττός αριθμός τότε κοντά στο x_0

αλλά εκατέρωθεν αυτού, η ποσότητα (x-x_0)^nR(x)

αλλάζει πρόσημο. Άρα η ίση της P(x)-MQ(x)

αλλάζει πρόσημο. Αυτό όμως συγκρούεται με την (*)

.

Από το άτοπο συμπεραίνουμε ότι το

είναι άρτιος αριθμός, και ολοκληρώσαμε τον συλλογισμό.

#6

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 07, 2025 12:56 pm
Δίνονται τα μη σταθερά πολυώνυμα για τα οποία γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο που να είναι κοινός τους διαιρέτης. Γνωρίζουμε επίσης ότι στο (με $Q(x_0)\ne0$ ) η ρητή συνάρτηση $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ παρουσιάζει κρίσιμο σημείο το $M\in \mathbb{R}$ .

Να αποδειχθεί ότι:

α) το είναι ρίζα του πολυωνύμου $P(x)-M\cdot Q(x)$
με πολλαπλότητα μεγαλύτερη ή ίση του .

.
Κάνω μία παραλλαγή της άσκησης (ασθενέστερη υπόθεση, ασθενέστερο συμπέρασμα) που νομίζω ότι ο συλλογισμός έχει ενδιαφέρον. Τα σημεία όπου έγινε η τροποποίηση είναι σημειωμένα με κόκκινο.

α) Επειδή έχουμε κρίσιμο σημείο στο x_0

, σημαίνει ότι η παράγωγος της $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ μηδενίζεται στο x_0

. Άρα, από τον αριθμητή της παραγώγου, έχουμε

$P'(x_0)Q(x_0)-P(x_0)Q'(x_0)=0, \,(*)$

Τώρα, επειδή η τιμή του ακροτάτου στο x_0

είναι

σημαίνει ότι $\dfrac{P(x_0)}{Q(x_0)}=M$ , άρα $P(x_0)-MQ(x_0)=0, \,(**)$ .

Με άλλα λόγια το x_0

σίγουρα είναι ρίζα του P-MQ

. Για να δείξουμε ότι είναι ρίζα πολλαπλότητας τουλάζιστον

, αρκεί να δείξουμε ότι το x_0

είναι επίσης ρίζα του (P-MQ)'

. Προς τούτο με χρήση της (*)

και της υπόθεσης ότι $Q(x_0)\ne 0$ έχουμε

$P'(x_0) - MQ'(x_0)= \dfrac {P'(x_0) Q(x_0)- MQ'(x_0)Q(x_0)}{Q(x_0)}= ^{(*)} \dfrac {P(x_0) Q'(x_0)- MQ'(x_0)Q(x_0)}{Q(x_0)}=$

$\dfrac {(P(x_0) -MQ(x_0))Q'(x_0)}{Q(x_0)}= ^{(**)} 0$ , όπως θέλαμε. Τελειώσαμε.

Άρτια στα ακρότατα

Άρτια στα ακρότατα

Re: Άρτια στα ακρότατα

Re: Άρτια στα ακρότατα

Re: Άρτια στα ακρότατα

Re: Άρτια στα ακρότατα

Re: Άρτια στα ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση