Ευθεία Steiner

[Eukleidis]

Μια καλή για Β Λυκείου.

Θεωρούμε σημείο Ρ του περιγεγραμμένου κ'υλου τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι τα συμμετρικά του Ρ ως προς τι ευθείες ΑΒ,ΑΓ και ΒΓ είναι σημεία συνευθείακα

[chris]

Γνωρίζουμε οτι τα σημεία Ε,F,D είναι συνευθειακά ως προβολές του Ρ στις πλευρές του τριγώνου(ευθεία Simson)
Συνεπώς εύκολα αποδεικνύουμε οτι και τα συμμετρικά Ρ',Ρ'',Ρ''' του Ρ στις πλευρές του τριγώνου είναι συνευθειακά
Στο τρίγωνο ΡΡ'Ρ'' τα F,Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΡΡ',ΡΡ'' άρα ΕF//P'P''.Ομοίως στο τρίγωνο ΡΡ'Ρ'''.