ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#381

Δε θα απαντήσω στις κατηγορίες και στα υπονοούμενα του κ. Μ. Λάμπρου, αν και έχω υποχρέωση να υπερασπίσω τον εαυτό μου, γιατί και πάλι θα βγω ζημιωμένος, καθώς θα διαγραφούν επιλεκτικά, ως συνήθως και θα μείνουν μόνο οι κατηγορίες για να μου προσβάλουν την τιμή και υπόληψη. Όπως για παράδειγμα συνέβη στον παρακάτω σύνδεσμο και όχι μόνο, όπου διαγράφηκε μόνο η απολογία μου, ενώ παραμένουν οι κατηγορίες. Είναι δίκαιο; Είναι ηθικό;
viewtopic.php?f=22&t=76073&start=120
ποστ 136, 137 και 138.
Εξάλλου, αν ασχοληθώ τώρα με παλιές ιστορίες, θα αποπροσανατολίσω τα πράγματα (Όπως κάνει παραπάνω ο κ. Λάμπρου) και θα ξεφύγουμε από την ουσία που είναι η λύση του δοσμένου προβλήματος και που δε θα το ήθελα. Η απάντησή μου θα πραγματοποιηθεί, όχι όμως τώρα.

Το δοσμένο πρόβλημα στην ουσία είναι η κατασκευή αρμονικού δεκάγωνου (Του οποίου ορισμοί, επεξηγήσεις, πληροφορίες και λεπτομερή σχήματα δίνονται στον παρακάτω σύνδεσμο) και μόνο για το οποίο (αρμονικό δεκάγωνο) αληθεύουν και οι 17 ιδιότητες του δοσμένου προβλήματος.

Το ερώτημά μου είναι:
Έχει κάποια σχέση η παραπάνω δοσμένη λύση και τα σχήματά της, με όλα αυτά που αναφέρονται στο δοσμένο πρόβλημα του παρακάτω συνδέσμου; Η διαπίστωση μπορεί να γίνει μόνο με μιά ματιά.
Θα ήθελα την απάντηση εκείνων που αγαπούν τη Γεωμετρία και που δε θέλουν να την βλέουν να ποδο-πατιέται.
https://drive.google.com/file/d/1MA40GS ... HEp3s/view

Νίκος Δ. Κυριαζή

Εξακολουθεί να ισχύει και η παρακάτω απάντησή μου:

Επί του παρόντος δε θα μπω σε λεπτομέρειες για να αποφανθώ ότι ατυχώς η απόδειξή σου δεν είναι σωστή, καθώς δεν αποδεικνύεις έστω τις δύο από τις κυριότερες ιδιότητες του ζητούμενου δεκαπλεύρου, που είναι οι παράγραφοι (γ) και (ιβ).
Οι ιδιότητες των παραγράφων (α), (β), (δ), που μέχρι τώρα απέδειξες, αληθεύουν σε όλα τα δεκάπλευρα που έχουν συντρέχουσες διαγώνιες (κύριες). Τούτο σημαίνει ότι δεν έχουμε αγγίξει ακόμα τη λύση του προβλήματος.

Για την ιδιότητα της παραγράφου (γ), το πρόβλημα δε ζητά αυτό που απέδειξες μόνο, δηλαδή της πέντε ισότητες μεμονωμένα, αλλά και ότι αυτές πρέπει να είναι και μεταξύ τους ίσες. Γράφεις ότι για να συμβεί αυτό θα πρέπει οι πέντε πρώτες διαδοχικές πλευρές του δεκαπλεύρου να είναι ίσες, αλλά δε το δικαιολογείς.

Ειδικά την ιδιότητα της παραγράφου (ιβ), δεν την απέδειξες, όπως και τις υπόλοιπες παραγράφους από (ε) μέχρι (ιζ), που πρέπει να αποδειχθούν για να έχουμε επιτύχει λύση του προβλήματος και οι οποίες δεν είναι εύκολες όπως λες, αντίθετα αποτελούν τη δυσκολία του προβλήματος, μαζί με εκείνη της παραγράφου (γ).

Νίκος Δ. Κυριαζής

#382

Λύση του παραπάνω Προβλήματος ΓΙΓΑΣ Α44.

Αγαπητοί φίλοι,
Την πρώτη λύση μου, θα βρείτε, αν χρησιμοποιήσετε το σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο «ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ», Σελίδα βιβλίου από 692 μέχρι 700 , ή διαδικτυακά από 694 μέχρι 702, Κατασκευή 203.

Τη δεύτερη λύση μου, την έχω αναρτήσει ήδη με την εκφώνηση του Προβλήματος (Ποστ 375).

Ή, πιο εύκολα, τη λύση μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... 3fonbUWkMQ
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου από 692 μέχρι 700 , ή διαδικτυακά από 694 μέχρι 702, Κατασκευή 203.

Παρακαλώ για τις δικές σας λ/υσεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Σχόλια
(α). Εξακολουθεί να ισχύει και η παρακάτω απάντησή μου του ποστ 378:
Επί του παρόντος δε θα μπω σε λεπτομέρειες για να αποφανθώ ότι ατυχώς η απόδειξή σου Μιχ. Λάμπρου δεν είναι σωστή, καθώς δεν αποδεικνύεις έστω τις δύο από τις κυριότερες ιδιότητες του ζητούμενου δεκαπλεύρου, που είναι οι παράγραφοι (γ) και (ιβ).
Οι ιδιότητες των παραγράφων (α), (β), (δ), που μέχρι τώρα απέδειξες, αληθεύουν σε όλα τα δεκάπλευρα που έχουν συντρέχουσες διαγώνιες (κύριες). Τούτο σημαίνει ότι δεν έχουμε αγγίξει ακόμα τη λύση του προβλήματος.

Για την ιδιότητα της παραγράφου (γ), το πρόβλημα δε ζητά αυτό που απέδειξες μόνο, δηλαδή της πέντε ισότητες μεμονωμένα, αλλά και ότι αυτές πρέπει να είναι και μεταξύ τους ίσες. Γράφεις ότι για να συμβεί αυτό θα πρέπει οι πέντε πρώτες διαδοχικές πλευρές του δεκαπλεύρου να είναι ίσες, αλλά δε το δικαιολογείς.

Ειδικά την ιδιότητα της παραγράφου (ιβ), δεν την απέδειξες, όπως και τις υπόλοιπες παραγράφους από (ε) μέχρι (ιζ), που πρέπει να αποδειχθούν για να έχουμε επιτύχει λύση του προβλήματος και οι οποίες δεν είναι εύκολες όπως λες, αντίθετα αποτελούν τη δυσκολία του προβλήματος, μαζί με εκείνη της παραγράφου (γ)».

(β). Το δοσμένο πρόβλημα στην ουσία είναι η κατασκευή αρμονικού δεκάγωνου (Του οποίου ορισμοί, επεξηγήσεις, πληροφορίες και λεπτομερή σχήματα δίνονται στον παρακάτω σύνδεσμο) και μόνο για το οποίο (αρμονικό δεκάγωνο) αληθεύουν και οι 17 ιδιότητες του δοσμένου προβλήματος.
Το ερώτημά μου είναι:
Έχει κάποια σχέση η παραπάνω δοσμένη λύση και τα σχήματά της του κ. Μ. Λάμπρου, με όλα αυτά που αναφέρονται στο δοσμένο πρόβλημα του παρακάτω συνδέσμου, ή με το δεκάγωνο των παραπάνω δικών μου λύσεων; Η διαπίστωση μπορεί να γίνει μόνο με μια ματιά.
Θα ήθελα την απάντηση εκείνων που αγαπούν τη Γεωμετρία και που δε θέλουν να την βλέουν να ποδο-πατιέται.
https://drive.google.com/file/d/1MA40GS ... HEp3s/view

Φιλικά και ταπεινά.
Νίκος Κυριαζής.
Είμαστε ότι επιλέγουμε.

#383

Νέα Πρόταση Γεωμετρίας.
Τρία ισόπλευρα τρίγωνα - Πέντε τρίγωνα με κοινό βαρύκεντρο.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη την παρακάτω νέα Πρόταση Γεωμετρίας. Α45:

Α45. Θεωρούμε κανονικό εξάγωνο $AB\Gamma \Delta EZ$ , $\alpha$ , $\beta$ ,..., $\zeta$ , τα μέσα των πλευρών του , $B\Gamma$ ,…,, αντίστοιχα, , , $\Pi$ , , , τα μέσα των $\Delta Z$ , $\Gamma Z$ , $A\Gamma$ , $B\Delta$ , και $\left ( O,R \right )$ τον περιγεγραμμένο κύκλο του εξάγωνου.
1. Να δειχθεί ότι:
(α). Τα τρία τρίγωνα $\Gamma \alpha M$ , $B \gamma N$ $O\Pi P$ , είναι ισόπλευρα.
(β). Οι δύο τριάδες ευθειών $\Gamma \zeta$ , $\alpha \gamma$ , $\beta M$ και $B \delta$ , $\alpha \gamma$ , $\beta N$ συντρέχουν, κατά τριάδες.
(γ). Τα πέντε τρίγωνα $\Gamma \alpha M$ , $B \gamma N$ $O\Pi P$ , $\beta \gamma \zeta$ , $\alpha \beta \delta$ έχουν κοινό βαρύκεντρο.
2. Ακόμη να εντοπισθεί και να αναφερθεί η πραγματική αιτία που αληθεύουν όλα τα παραπάνω ζητούμενα.

Παρακαλώ για τις νέες δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά και Ταπεινά
Νίκος Κυριαζής
Από όσα γράφονται εδώ στο mathematica, αποδεικνύεται, για μια φορά ακόμη,ότι η Γεωμετρία ζει και αναπτύσσεται, σε πείσμα των εχθρών της.

#384

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 24, 2025 1:50 pm
Α45. Θεωρούμε κανονικό εξάγωνο $AB\Gamma \Delta EZ$ , $\alpha$ , $\beta$ ,..., $\zeta$ , τα μέσα των πλευρών του , $B\Gamma$ ,…,, αντίστοιχα, , , $\Pi$ , , , τα μέσα των $\Delta Z$ , $\Gamma Z$ , $A\Gamma$ , $B\Delta$ , και $\left ( O,R \right )$ τον περιγεγραμμένο κύκλο του εξάγωνου.
1. Να δειχθεί ότι:
(α). Τα τρία τρίγωνα $\Gamma \alpha M$ , $B \gamma N$ $O\Pi P$ , είναι ισόπλευρα.
(β). Οι δύο τριάδες ευθειών $\Gamma \zeta$ , $\alpha \gamma$ , $\beta M$ και $B \delta$ , $\alpha \gamma$ , $\beta N$ συντρέχουν, κατά τριάδες.
(γ). Τα πέντε τρίγωνα $\Gamma \alpha M$ , $B \gamma N$ $O\Pi P$ , $\beta \gamma \zeta$ , $\alpha \beta \delta$ έχουν κοινό βαρύκεντρο.
2. Ακόμη να εντοπισθεί και να αναφερθεί η πραγματική αιτία που αληθεύουν όλα τα παραπάνω ζητούμενα.

.

: 3 ισοπ 5 βαρ.png (47.8 KiB) Προβλήθηκε 1162 φορές

.
Υπάρχει λύση καθαρά Ευκλείδεια αλλά θα κάνω μία με Αναλυτική Γεωμετρία για δύο λόγους. Πρώτον οι αποδείξεις είναι άμεσες (δεν χρειάζονται σκέψη) και δεύτερον και κυριότερο βγαίνει αμέσως μία πληθώρα άλλων ιδιοτήτων που δεν είναι εύκολα ορατές με Ευκλείδεια. Για αυτό το τελευταίο δίνω δύο παραδείγματα.

Πρώτο: Το σημείο $\Pi$ που ορίζεται ως το μέσον της $A\Gamma$ αποδεικνύεται ότι είναι επίσης σημείο του $a\gamma$ και μάλιστα το χωρίζει σε λόγο 1:2

, εδώ $a\Pi : \Pi\gamma =1:2$ .

Δεύτερο: Τα συντρέχοντα (στο

) τμήματα $\Gamma z, a\gamma, bM$ διαιρούνται από το

σε λόγους

αντίστοιχα, δηλαδή $\Gamma F:Fz=1:2, aF:F \gamma=5:4$ και bF:FM=1:2

.

Ας έλθουμε στα ζητούμενα. Παίρνοντας όμοιο εξάγωνο μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο κύκλος που το περιέχει έχει ακτίνα

, και το κέντρο του ως προς άξονες είναι το O(0,0)

. Χρησιμοποιώντας τα $\sin 30=1/2, \sin 60 = \sqrt 3/2$ εύκολα διαπιστώνουμε τις συντεταγμένες

$\boxed { O(0,0), A(-1,-\sqrt 3), B(1,-\sqrt 3), \Gamma(2,0), D(1,\sqrt 3), E(-1,\sqrt 3), Z(-2,0)}$

Τώρα τα μέσα τους είναι άμεσα, και συγκεκριμένα είναι

$\boxed { a(0,-\sqrt 3), \beta \left ( \dfrac {3}{2}, -\dfrac {\sqrt 3}{2}, \right ) , \gamma \left ( \dfrac {3}{2}, \dfrac {\sqrt 3}{2}, \right ), \delta (0,\sqrt 3), \epsilon \left (- \dfrac {3}{2}, \dfrac {\sqrt 3}{2}, \right ) , z(-2,0)}$

Επίσης είναι τώρα άμεσα τα μέσα $M,\Pi,P,N$ . Συγκεκριμένα

$\boxed { M\left ( -\dfrac {1}{2}, \dfrac {\sqrt 3}{2}, \right ) , \Pi\left ( \dfrac {1}{2}, -\dfrac {\sqrt 3}{2}, \right ) , P(1,0), N(-1,0)}$

Έρχομαι τώρα στις αποδείξεις:

α) Από τις παραπάνω συντεταγμένες το τρίγωνο $\Gamma a M$ έχει πλευρές μήκους
$\Gamma a = \sqrt { (\sqrt 3)^2+2^2}=\sqrt 7$ και $aM= \sqrt { \left (-\dfrac {1}{2} \right )^2+\left (\dfrac {3\sqrt 3}{2} \right )^2}=\sqrt 7$ και $M\Gamma =\sqrt { \left (\dfrac {\sqrt 3}{2} \right )^2+\left (\dfrac {5}{2} \right )^2}=\sqrt 7$
Με άλλα λόγια είναι ισόπλευρο με πλευρά μήκους $\sqrt 7$ . Όμοια τα άλλα δύο τρίγωνα, και συγκεκριμένα έχουν πλευρές $\sqrt 7$ και

, αντίστοιχα.

β) Για να δείξουμε ότι οι $\Gamma z, a\gamma, bM$ είναι συντρέχουσες θα δείξουμε ότι το σημείο $F\left ( \dfrac {5}{6}, -\dfrac {\sqrt 3}{6}, \right )$ βρίσκεται και στις τρεις, και μάλιστα τις διαιρεί σε λόγους 1:2, 5:4, 1:2

αντίστοιχα, δηλαδή $\Gamma F:Fz=1:2, aF:F \gamma=5:4$ και bF:FM=1:2

(όπως σημείωσα παραπάνω). Για τον σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι το σημείο που διαιρεί ένα τμήμα

σε λόγο

, όπου $U(x_u,\,y_u), \, V(x_v,\,y_v)$ είναι το $\left ( \dfrac {qx_u+px_v}{p+q}, \dfrac {qy_u+py_v}{p+q}, \right )$ . Πράγματι βλέπουμε αμέσως ότι το $\Gamma F:Fz=1:2$ δίνει το σημείο $F\left ( \dfrac {5}{6}, -\dfrac {\sqrt 3}{6}, \right )$ και όμοια $τα aF:F \gamma=5:4$ και bF:FM=1:2

δίνουν ακριβώς το ίδιο σημείο. Αυτό ολοκληρώνει το ζητούμενο. Όμοια η δεύτερη σύκλιση.

γ) Μένουν τα κέντα βάρους. Εδώ θα χρησιμοποιήσω ότι το κέντρο βάρους ενός τριγώνου UVW

όπου $U(x_u,\,y_u), \, V(x_v,\,y_v), \, W(x_w,\,y_w)$ είναι το $\left ( \dfrac{x_u+x_v+x_w}{3}, \dfrac {y_u+y_v+y_w}{3}, \right )$ . Με αυτό κατά νου εύκολα βλέπουμε ότι το κέντρο βάρους καθενός από τα πέντε τρίγωνα $\Gamma \alpha M$ , $B \gamma N$ $O\Pi P$ , $\beta \gamma \zeta$ , $\alpha \beta \delta$ είναι το σημείο $\left ( \dfrac {1}{2}, -\dfrac {\sqrt 3}{6}, \right )$ (άμεσο). Για παράδειγμα το $B \gamma N$ έχει $B(1,-\sqrt 3),\, \gamma \left ( \dfrac {3}{2}, \dfrac {\sqrt 3}{2}, \right ), \, N(-1,0)$ , άρα έχει κέντρο βάρους

$\left ( \dfrac{1+ \dfrac {3}{2}-1}{3}, \dfrac {-\sqrt {3}+\dfrac {\sqrt 3}{2}+0}{3} \right ) =\left ( \dfrac {1}{2}, -\dfrac {\sqrt 3}{6}, \right )$ .

Όμοια τα υπόλοιπα. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

#385

Αποδείξεις της παραπάνω Πρότασης Α46..

Αγαπητοί φίλοι,
Δύο αποδείξεις μου, θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 5, Σελίδα βιβλίου 32, ή διαδικτυακά 38 Πρόταση 5θ(26).

Ή, πιο εύκολα, τις αποδείξεις μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1mN4NkD ... lDa4z/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 32, ή ψηφιακά 38, παράγραφος 5θ(26).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά και ταπεινά.
Νίκος Κυριαζής.
/b Η Ευκλείδεια Γεωμετρία: Αποτελεί κατεξοχήν Ελληνική Επιστήμη, καθώς πρώτος ο Θαλής την θεμελίωσε ως Επιστήμη, εισάγοντας την απόδειξη και ακολούθησε ο Ευκλείδης με το διαχρονικό και ανεπανάληπτο έργο του, τα "ΣΤΟΙΧΕΙΑ". Έτσι, με βάσει την απόδειξη, ξεκίνησε η ανάπτυξη και των άλλων επιστημών.]

#386

Νέα Πρόταση Γεωμετρίας.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη την παρακάτω νέα Πρόταση Γεωμετρίας. Α46:

Α46. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ $\left ( AB= A\Gamma \frac{}{} \right )$ και τις παράλληλες $\Delta E$ , $\Delta Z$ $\left ( Z \in AB, E\in A\Gamma \right )$ , από σημείο $\Delta$ της βάσεως του ως προς τις πλευρές , $A\Gamma$ αντίστοιχα. Αν $BE\bigcap \Gamma Z\equiv K$ , να αποδειχθεί ότι η $\Delta K$ είναι συμμετροδΙάμεσος του τριγώνου $\Delta EZ$ .

Παρακαλώ για τις νέες δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

#387

Αποδείξεις της παραπάνω Πρότασης Α46..

Αγαπητοί φίλοι,
Δύο αποδείξεις μου, θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 5, Σελίδα βιβλίου 32, ή διαδικτυακά 38 Πρόταση 5θ(26).

Ή, πιο εύκολα, τις αποδείξεις μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1mN4NkD ... lDa4z/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 32, ή ψηφιακά 38, παράγραφος 5θ(26).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά και ταπεινά.
Νίκος Κυριαζής.
/b Η Ευκλείδεια Γεωμετρία: Αποτελεί κατεξοχήν Ελληνική Επιστήμη, καθώς πρώτος ο Θαλής την θεμελίωσε ως Επιστήμη, εισάγοντας την απόδειξη και ακολούθησε ο Ευκλείδης με το διαχρονικό και ανεπανάληπτο έργο του, τα "ΣΤΟΙΧΕΙΑ". Έτσι, με βάσει την απόδειξη, ξεκίνησε η ανάπτυξη και των άλλων επιστημών.]

#388

ΑΚΥΡΟ

#389

Απόδειξη της παραπάνω Πρότασης Α47..

Αγαπητοί φίλοι,
Απόδειξή μου, θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 4, Σελίδα βιβλίου 8, ή διαδικτυακά 14, Πρόταση 4η(5).

Ή, πιο εύκολα, την απόδειξή μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1rjw3sG ... uNym9/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 8, ή ψηφιακά 14, παράγραφος 4η(5).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά και ταπεινά.
Νίκος Κυριαζής.
Ο Κάντ γράφει ότι: «Τα μαθηματικά βρήκαν στον θαυμαστό λαό των Ελλήνων τον ασφαλή δρόμο της επιστήμης».

#390

Νέα Πρόταση Γεωμετρίας.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη την παρακάτω νέα Πρόταση Γεωμετρίας. Α48:

Α48. Δοσμένου κυρτού τετράπλευρου τριχοτομούμε με σημεία τις πλευρές του και κατασκευάζουμε τετράπλευρο με πλευρές, τις τέσσερις ευθείες που η κάθε μία περνά από τα δύο πλησιέστερα σε κάθε μία κορυφή του δοσμένου τετράπλευρου από τα παραπάνω σημεία. Να αποδειχθεί ότι το κέντρο βάρους της επιφάνειας του δοσμένου τετράπλευρου, συμπίπτει με την τομή των διαγώνιων του κατασκευασμένου τετράπλευρου.

Παρακαλώ για τις νέες δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Ο Heath Thomas, ομολογεί ότι:
Οι Έλληνες, σε αντίθεση με οποιονδήποτε άλλο λαό της αρχαιότητας κατέχονταν από τον έρωτα της γνώσης, για χάρη της γνώσης..."

#391

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 07, 2025 10:15 am
Νέα Πρόταση Γεωμετρίας.

Α48. Δοσμένου κυρτού τετράπλευρου τριχοτομούμε με σημεία τις πλευρές του και κατασκευάζουμε τετράπλευρο με πλευρές, τις τέσσερις ευθείες που η κάθε μία περνά από τα δύο πλησιέστερα σε κάθε μία κορυφή του δοσμένου τετράπλευρου από τα παραπάνω σημεία. Να αποδειχθεί ότι το κέντρο βάρους της επιφάνειας του δοσμένου τετράπλευρου, συμπίπτει με την τομή των διαγώνιων του κατασκευασμένου τετράπλευρου.

Για την ιστορική ακρίβεια η κατασκευή είναι κάθε άλλο παρά νέα. Αντιθέτως είναι πάρα πολλή γνωστή, και υπάρχει σε πάμπολλα βιβλία Γεωμετρίας εδώ και πάνω από 100 χρόνια. Οφείλεται στον Αυστριακό Μηχανικό Ferdinand Wittenbauer (1857-1922). Για βιογραφικά του στοιχεία βλέπε στην Wikipedia

εδώ

Το εν λόγω αποτέλεσμα ονομάζεται Wittenbauer's Theorem ή Wittenbauer's parallelogram.

Αν βάλετε στο Google τις φράσεις αυτές, θα σας βγάλει πάμπολλες ιστοσελίδες.

Δεν έχω βρει ηλεκτρονική μορφή του αρχικού άρθρου του Wittenbauer (προ αιώνος και βάλε) αλλά θα παραπέμψω σε άρθρα και βιβλία προ 60 ή 70 ετών.

Στην απίθανη περίπτωση που κάποιος χρειαστεί μεταφράσεις στα παρακάτω, ας μου το πει.

Επίσης μπορώ να του στείλω με e-mail όλα άρθρα και βιβλία τα οποία παραθέτω, αν και μπορεί ο καθένας να τα κατεβάσει μόνος του από τους τόπους που παραπέμπω:

1) Για παράδειγμα στην περίφημη Προβολική Γεωμετρία του Blaschke, Projective Geometrie, έκδοση 1954 στην σελίδα 13 με παραπομπή στον Wittenbauer περιγράφει την μέθοδο. Συγκεκριμένα, ακριβώς όπως στο προταθέν πρόβλημα, εργάζεται με τριχοτόμηση το πλευρών και των σχηματισμό του σχετικού παραλληλογράμμου του οποίου η διαγώνιες τέμνονται στο κέντρο βάρους του τετραπλεύρου. Παραθέτω το σχετικό χωρίο:
.

: Blaschke 1.png (109.22 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές

.

2) Στο Mathematical Gazette, τόμος 42, του 1958, σελίς 55 ο Welch ανακαλύπτει εκ νέου την ίδια ακριβώς κατασκευή, με πλήρη λύση. 'Ολο το άρθρο είναι μισή σελίδα.
.

: Welch 3.png (402.71 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές

.
Mπορεί κανείς να κατεβάσει δωρεάν όλο το τεύχος του περιοδικού από

εδώ

3) Ένα χρόνο μετά το Mathematical Gazette, τόμος 43, του 1959, σελίς 46 ο Foss δημοσίευσε μία διαφορετική απόδειξη της ίδιας κατασκευής.
.

: Foss 3.png (283.31 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές

.
Μπορεί κανείς να κατεβάσει δωρεάν όλο το τεύχος του περιοδικού από

εδώ

4) Το 1961 o Coxeter στην πολυδιαβασμένη Γεωμετρία του Introduction to Geometry παραθέτει ακριβώς την ίδια κατασκευή ως άσκηση στην σελίδα 216, και δίνει παραπομπές στα παραπάνω άρθρα των Welch και Foss στο Mathematical Gazette. Μπορεί εύκολα να βρει κανείς το βιβλίο, αλλά για διευκόλυνση του αναγνώστη παραθέτω την άσκηση όπως την καταγράφει στο βιβλίo του ο Coxeter to 1961.
.

: Coxeter 4.png (78.33 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές

.
Κάποια στιγμή θα παραθέσω και μία διαφορετική, απλή, κατασκευή του κέντρου βάρους του τετραπλεύρου. Βασίζεται σε τελείως άλλη ιδέα.

#392

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 10, 2025 8:54 pm

.
Κάποια στιγμή θα παραθέσω και μία διαφορετική, απλή, κατασκευή του κέντρου βάρους του τετραπλεύρου. Βασίζεται σε τελείως άλλη ιδέα.

.

: κεντρ τετρ.png (36.26 KiB) Προβλήθηκε 837 φορές

.
Γράφω την δεύτερη μέθοδο εύρεσης του βαρύκεντρου, όπως είχα υποσχεθεί. Την βλέπει κανείς σε Γεωμετρίες πριν από το 1750

.

Χωρίζουμε το τετράπλευρο ABCD

σε δύο τρίγωνα φέροντας την διαγώνιο

(σχήμα πάνω αριστερά). Βρίσκουμε με χρήση διαμέσων τα βαρύκεντρα G_1, G_2

των δύο τριγώνων, των ABD, CBD

. Ξέρουμε, λοιπόν, ότι το ζητούμενο βαρύκεντρο είναι στην ευθεία G_1G_2

Κάνουμε το ίδιο ως προς την δεύτερη διαγώνιο

βρίσκοντας τα βαρύκεντρα G_3, G_4

των δύο τριγώνων, των ABC, ACD

. Άρα το ζητούμενο βαρύκεντρο είναι στην ευθεία G_3G_4

(σχήμα πάνω δεξιά, το οποίο σχεδίασα χωριστά μόνο για λόγους εποπτείας).

Κοιτάμε τώρα το πλήρες σχήμα: το κάτω.

Εφόσον το ζητούμενο βαρύκεντρο είναι στην ευθεία G_1G_2

και στην

, θα είναι το σημείο τομής τους

. Τελειώσαμε.

#393

Στην αρχή του παρόντος θρεντ (ποστ 1), στο οποίο και παραπέμπω σε κάθε μου ανάρτηση Πρότασης κτλ, διευκρινίζεται ότι:
Σ’ αυτό εδώ τον χώρο, θα σας παρουσιάζουμε στο εξής, σημαντικές κατά την γνώμη μας Προτάσεις -Προβλήματα-γ.τ. Γεωμετρίας, συνήθως με τις αποδείξεις τους, τις οποίες έχουμε επινοήσει κατά το παρελθόν και τις οποίες δεν είχαμε συναντήσει μέχρι τότε, σαν Προτάσεις, στη γνωστή μας βιβλιογραφία (πρωτοεμφανιζόμενες), άσχετα αν εκ των υστέρων έχουμε συναντήσει κάποιες απ’ αυτές.

Γι’ αυτές τις νέες Προτάσεις, κτλ, θα θέλαμε να μας γνωρίζετε συγκεκριμένα αν τις έχετε συναντήσει, που, πότε και να κάνετε την σχετική καλοπροαίρετη κριτική σας.
Ακόμη για αυτές τις νέες Προτάσεις, κτλ, θα θέλαμε να μας αναρτάτε εδώ τις ίδιες με τις αποδείξεις τους, αλλά και τις μεταφράσεις τους στα Ελληνικά με τις αποδείξεις τους.
Όλα τα παραπάνω στοιχεία μας είναι απαραίτητα προκειμένου να μάθουμε τελικά την αλήθεια την οποία αναζητούμε (Αν είναι πραγματικά πρωτοεμφανιζόμενες, ή όχι), όσο το δυνατό συντομότερα, ώστε να κάνουμε και τις σχετικές διορθώσεις.

Αυτά μόνο,
για τα παραπάνω ποστ 391 και 392.

Νίκος Κυριαζής

#394

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 12, 2025 8:29 am

Γι’ αυτές τις νέες Προτάσεις, κτλ, θα θέλαμε να μας γνωρίζετε συγκεκριμένα αν τις έχετε συναντήσει, που, πότε και να κάνετε την σχετική καλοπροαίρετη κριτική σας.

.
Ακριβώς αυτό έκανα δίνοντας

παραδείγματα προγενέστερης εμφάνισης. Έδωσα πηγή, ημερομηνίες και ακριβή παράθεση με εικόνα όλου του σκηνικού.
.

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 12, 2025 8:29 am
Ακόμη για αυτές τις νέες Προτάσεις, κτλ, θα θέλαμε να μας αναρτάτε εδώ τις ίδιες με τις αποδείξεις τους, αλλά και τις μεταφράσεις τους στα Ελληνικά με τις αποδείξεις τους.

.
Έχω δώσει τις πλήρεις αποδείξεις σε δύο από τις

περιπτώσεις. Όσο για τις μεταφράσεις, θα τις παραθέσω κάποια στιγμή αν και το θεωρώ υπερβολή: Ο καθένας μπορεί να ρωτήσει κάποιον στο περιβάλλον του για να πιστοποιήσει την ακρίβεια στην παράθεσή μου, και το Google επίσης μπορεί να διευκολύνει. Είναι αυτονόητο ότι οι παραπομπές σε κείμενα σε κεντρικές ευρωπαϊκές γλώσσες όπως τα Γερμανικά και Αγγλικά παραπάνω, είναι συνηθισμένη πρακτική και δεν χρειάζεται περισσότερη πιστοποίηση. Θα κάνω όμως τις μεταφράσεις, κατά παρέκκλιση, για να πάψουν οι αμφισβητήσεις.
.
Εν τω μεταξύ παρακαλώ τους γλωσσομαθείς αναγνώστες να πιστοποιήσουν, έστω προσωρινά, την ακρίβεια των τεσσάρων παραθέσεών μου.
.

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 12, 2025 8:29 am
Όλα τα παραπάνω στοιχεία μας είναι απαραίτητα προκειμένου να μάθουμε τελικά την αλήθεια την οποία αναζητούμε (Αν είναι πραγματικά πρωτοεμφανιζόμενες, ή όχι), όσο το δυνατό συντομότερα, ώστε να κάνουμε και τις σχετικές διορθώσεις.

.
Η αλήθεια είναι πρόδηλη και τα στοιχεία αδιάσειστα. Θα ήθελα να ήξερα αν κάποιο τρίτο μέλος του φόρουμ αμφισβητεί τα στοιχεία που παραθέτω.

#395

α. Η δημοσίευση του παραπάνω ποστ 391 δε με βοηθά, γιατί δε μπορώ να βγάλω κάποιο συμπέρασμα, αφού δεν είναι στα Ελληνικά, δε μπορώ να τα κατεβάσω και γενικά δεν ικανοποιούν αυτά που πρέπει και που αναφέρονται στο ποστ 393.
Αν κάποιος φίλος μπορεί να βοηθήσει ευχαρίστως θα τον ακούσουμε. Εξυπακούεται όμως ότι πρέπει υπεύθυνα να κινηθεί στο πνεύμα του ποστ 393.

β. Και η δημοσίευση του παραπάνω ποστ 392 δε με βοηθά, γιατί το Πρόβλημα που αναφέρεται εκεί, είναι άσχετο με την Πρόταση που έχω προτείνει στο ποστ 390, καθώς εκείνο που εγώ προτείνω είναι Πρόταση στην οποία ζητείται να αποδειχθεί ότι σε δύο τετράπλευρα, τοποθετημένα με ορισμένο τρόπο, τα βαρύκεντρά τους συμπίπτουν, ενώ εκείνο που αναφέρεται στο ποστ 392 είναι πρόβλημα και ζητά να ευρεθεί το κέντρο βάρους κάθε τετράπλευρου.
Αν κάποιος φίλος θέλει να πάρει θέση σε αυτά που γράφω, ευχαρίστως θα τον ακούσουμε. Εξυπακούεται όμως ότι πρέπει υπεύθυνα να κινηθεί στο πνεύμα του ποστ 393 και αμερόληπτα, μακριά από συναδερφική αλληλεγγύη (Προς άρση παρεξηγήσεων. προφανώς η λύση του Προβλήματος αυτού, είναι σωστή και πολύ γνωστή, αλλά δε μας βοηθά).

Νίκος Κυριαζής

#396

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 12, 2025 4:22 pm
α. Η δημοσίευση του παραπάνω ποστ 391 δε με βοηθά, γιατί δε μπορώ να βγάλω κάποιο συμπέρασμα, αφού δεν είναι στα Ελληνικά, δε μπορώ να τα κατεβάσω και γενικά δεν ικανοποιούν αυτά που πρέπει και που αναφέρονται στο ποστ 393.
Αν κάποιος φίλος μπορεί να βοηθήσει ευχαρίστως θα τον ακούσουμε. Εξυπακούεται όμως ότι πρέπει υπεύθυνα να κινηθεί στο πνεύμα του ποστ 393.

Νίκος Κυριαζής

Μπορώ να πιστοποιήσω υπεύθυνα ότι τα αποσπάσματα από τα ξένα βιβλία που παραθέτει
ο Μιχάλης στο ποστ 391, αφορούν στην ίδια ακριβώς πρόταση Α48 του Νίκου στο ποστ 390.
Ακόμα κι αν κάποιος δεν γνωρίζει ξένες γλώσσες, τα σχήματα είναι ξεκάθαρα.

#397

Ο επιστημονικός διάλογος στα μαθηματικά γίνεται με παράθεση βιβλιογραφικών παραπομπών ή άρθρων κάτι που έγινε παραπάνω πολλαπλά και ξεκαθαρίζει με τον πλέον αδιαμφισβήτητο τρόπο την πρότερη ύπαρξη της συγκεκριμένης πρότασης Α48. Το να αγνοεί κάποιος την ύπαρξη των παραπομπών είναι λογικό και ανθρώπινο. Το να τις αγνοεί όμως ενώ κάποιος του τις παραθέτει (κάτι που έχει συμβεί και στο παρελθόν), αυτό ξεφεύγει από τα όρια του επιστημονικού διαλόγου και είναι κάτι που είναι έξω από το πνεύμα του mathematica.gr. Για το λόγο αυτό παραπέμπουμε στο άρθρο 11 του κανονισμού (παράγραφοι I, IX, XI, XII) καθώς και στους κανόνες δεοντολογίας που βρίσκονται στο τέλος αυτού.

Τονίζουμε ότι σύμφωνα με το άρθρο 4 του κανονισμού: "Τα μη διευθύνοντα μέλη και οι επισκέπτες του mathematica χρησιμοποιούν τον ιστότοπο «ως έχει» και είναι αναρμόδιοι για θέματα λειτουργίας του mathematica."

Στο εξής οποιοδήποτε μήνυμα στο παρόν θέμα έχει οποιαδήποτε αναφορά σε μη μαθηματικό θέμα, θα διαγράφεται και θα ενεργοποιείται το άρθρο 11.ΧΙΙ.

αρψ2400 · #398

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 12, 2025 4:22 pm
α. Η δημοσίευση του παραπάνω ποστ 391 δε με βοηθά, γιατί δε μπορώ να βγάλω κάποιο συμπέρασμα, αφού δεν είναι στα Ελληνικά, δε μπορώ να τα κατεβάσω και γενικά δεν ικανοποιούν αυτά που πρέπει και που αναφέρονται στο ποστ 393.
Αν κάποιος φίλος μπορεί να βοηθήσει ευχαρίστως θα τον ακούσουμε. Εξυπακούεται όμως ότι πρέπει υπεύθυνα να κινηθεί στο πνεύμα του ποστ 393.

β. Και η δημοσίευση του παραπάνω ποστ 392 δε με βοηθά, γιατί το Πρόβλημα που αναφέρεται εκεί, είναι άσχετο με την Πρόταση που έχω προτείνει στο ποστ 390, καθώς εκείνο που εγώ προτείνω είναι Πρόταση στην οποία ζητείται να αποδειχθεί ότι σε δύο τετράπλευρα, τοποθετημένα με ορισμένο τρόπο, τα βαρύκεντρά τους συμπίπτουν, ενώ εκείνο που αναφέρεται στο ποστ 392 είναι πρόβλημα και ζητά να ευρεθεί το κέντρο βάρους κάθε τετράπλευρου.
Αν κάποιος φίλος θέλει να πάρει θέση σε αυτά που γράφω, ευχαρίστως θα τον ακούσουμε. Εξυπακούεται όμως ότι πρέπει υπεύθυνα να κινηθεί στο πνεύμα του ποστ 393 και αμερόληπτα, μακριά από συναδερφική αλληλεγγύη (Προς άρση παρεξηγήσεων. προφανώς η λύση του Προβλήματος αυτού, είναι σωστή και πολύ γνωστή, αλλά δε μας βοηθά).

Νίκος Κυριαζής

Το απόσπασμα (W. Wittenbauer) λέει το εξής, :

Για ένα κυρτό τετράπλευρο επίπεδο χωρίο 𝐵 με ομοιόμορφη κατανομή μάζας:
– Χωρίζουμε κάθε πλευρά του τετραπλεύρου σε τρία ίσα μέρη.
– Ενώνουμε διαδοχικά τα γειτονικά σημεία διαίρεσης.
– Οι τέσσερις αυτές ευθείες σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο (ή “Spateck”).
– Το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου είναι το κέντρο βάρους του τετραπλεύρου χωρίου.

Μπορείτε πατώντας μαζί shift , το σύμβολο με το παράθυρο των windows και το s να κάνετε αντιγραφή μέρους της οθόνης και μετά με επικόληση στο chatgpt να έχετε τη μετάφραση.

#399

Αναρτώ, όπως υποσχέθηκα, τις μεταφράσεις των τεσσάρων χωρίων που παρέθεσα. Υπόψη ότι υπάρχουν πάμπολλες άλλες ανάλογες παραπομπές, παλαιότερες και νεότερες.

.

: Blascke μεταφ.png (24.19 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

.

1) Blaschke, Projektive Geometrie, έκδοση 1954 σελίς 13.

Και ένα δεύτερο παράδειγμα έρχεται από την Αφηνική Γεωμετρία. Το πρόβλημα είναι να βρεθεί το κέντρο βάρους ενός κυρτού τετραπλεύρου στο επίπεδο το οποίο αποτελείται από μία επιφάνεια ομογενούς μάζας. Σύμφωνα με τον F. Wittenbauer (1857-1922) το πρόβλημα επιλύεται ως εξής (βλέπε σχ. 3). Χωρίζουμε κάθε μία από τις 4 πλευρές του τετραπλεύρου Β σε 3 ίσα μέρη. Οι τέσσερις ευθείες που ορίζονται από γειτονικά τέτοια σημεία σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο. Το σημείο e τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου συμπίπτει με το ζητούμενο κέντρο βάρους του Β.

2) Welsch, Mathematical Gazette, τόμος 42, του 1958, σελίς 55

2758. Ένα κέντρο βάρους.

Tο κέντρο βάρους ενός ομογενούς φύλου μετάλλου σε σχήμα τετραπλεύρου μπορεί να προσδιοριστεί ως εξής: Έστω A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2, D_1D_2

τα σημεία που τριχοτομούν τις πλευρές AB, BC, CD, DA

αντίστοιχα, έτσι ώστε το A_1

να είναι πλησιέστερα στο

από ότι το A_2

, και ούτω καθεξής. Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο PQRS

με πλευρές επί των ευθειών D_2A_1, A_2B_1, B_2C_1, C_2D_1

. Τότε το σημείο

όπου τέμνονται οι διαγώνιες αυτού του παραλληλογράμμου συμπίπτει με το κέντρο βάρους τετραπλεύρου.
Απόδειξη. Αν η

τέμνει την

στο

...

.

: Foss μεταφ.png (47.88 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

.
3) Foss, Mathematical Gazette, τόμος 43, του 1959, σελίς 46.

2824. Κέντρο βάρους τετραπλεύρου.

Το ότι συμπίπτει το κέντρο βάρους του τετραπλεύρου και του παραλληλογράμμου που συζητήθηκε από τον J.J. Welsch στην παράγραφο 2758 μπορεί να αποδειχθεί με ένα απλό γεωμετρικό επιχείρημα: Χρησιμοποιώντας τον ίδιο συμβολισμό όπως στο εν λόγω σχήμα, έστω

το μέσον της

...

.

: Coxeter μεταφ.png (12.18 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

.
4) Coxeter, Introduction to Geometry, 1961 (β' εκδοση 1964) σελίς 216.

Το κέντρο βάρος μιας τετράπλευρης επιφάνειας συμπίπτει με το κέντρο του παραλληλογράμμου του οποίου οι πλευρές συνδέουν γειτονικά σημεία με τα οποία τριχοτομούνται οι πλευρές του τετραπλεύρου, όπως δείχνει το Σχήμα 13.6b. Αυτό το θεώρημα ανήκει στον F. Wittenbauer (1857-1922) (βλέπε Blaschke 2, σελίς 13), και ανακαλύφθηκε εκ νέου από τον J.J. Wells και τον V.W. Foss.

#400

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 13, 2025 8:42 am
Αναρτώ, όπως υποσχέθηκα, τις μεταφράσεις των τεσσάρων χωρίων που παρέθεσα. Υπόψη ότι υπάρχουν πάμπολλες άλλες ανάλογες παραπομπές, παλαιότερες και νεότερες.

.
Coxeter μεταφ.png
.
4) Coxeter, Introduction to Geometry, 1961 (β' εκδοση 1964) σελίς 216.

Το κέντρο βάρος μιας τετράπλευρης επιφάνειας συμπίπτει με το κέντρο του παραλληλογράμμου του οποίου οι πλευρές συνδέουν γειτονικά σημεία με τα οποία τριχοτομούνται οι πλευρές του τετραπλεύρου, όπως δείχνει το Σχήμα 13.6b. Αυτό το θεώρημα ανήκει στον F. Wittenbauer (1857-1922) (βλέπε Blaschke 2, σελίς 13), και ανακαλύφθηκε εκ νέου από τον J.J. Wells και τον V.W. Foss.

Αυτό μάλιστα αποτελεί την Πρόταση που πρότεινα για απόδειξη. Πιστεύω ότι θα έχει δοθεί τότε και η απόδειξή της.
Επομένως στο εξής δε θα την θεωρώ Πρωτοεμφανιζόμενη, αυτή και την απόδειξή της.
Περιμένω αποδείξεις της. Δική μου απόδειξη θα δώσω σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Ν. Κυριαζής

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Μέλη σε σύνδεση