Πολύ πολυώνυμο

KARKAR · #1

Δίνεται το πολυώνυμο : P(x)=8x^4-16x^3+224x^2-152x+250

. α) Υπολογίστε το P(3)

.

β) Γράψτε το πολυώνυμο ως άθροισμα τετραγώνων δύο τριωνύμων με ακέραιους συντελεστές .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 11, 2025 1:10 pm
Δίνεται το πολυώνυμο : . α) Υπολογίστε το .

β) Γράψτε το πολυώνυμο ως άθροισμα τετραγώνων δύο τριωνύμων με ακέραιους συντελεστές .

α)

. H αλήθεια είναι ότι πρώτα έλυσα το β) και μετά (από την εκεί απάντηση) βρήκα το P(3)

(λιγότερες πράξεις).

β) $\boxed {P(x)= (2x^2+6x+9)^2+(2x^2−10x+13)^2}$ . Έλεγχος

(2x^2+6x+9)^2= 4x^4+24x^3+72x^2+108x+81

, και προσθέτουμε.

Πώς σκέφτηκα; Δεν είναι τόσο δύσκολο γιατί ξεκινάμε με P(x)= (ax^2+bx+c)^2+(dx^2+ex+f)^2

και συγκρίνουμε συντελεστές. Π.χ. είναι

a^2 + d^2=8

και

.

Η πρώτη έχει μόνο τις λύσεις $8=(\pm 2)^2+(\pm 2)^2$ (*). H δεύτερη μόνο τις $250=(\pm 9)^2+(\pm 13)^2 =(\pm 5)^2+(\pm 15)^2$ . Τώρα οι επιλογές περιορίστηκαν πολύ, και με λίγες δοκιμές στο ίδιο μήκος κύματος βρίσκουμε και τους άλλους συντελεστές.

(*) Χωρίς βλάβη (λόγω των τετραγώνων) μπορούμε να υποθέσουμε ότι a=d=+2

, οπότε ο κόπος μειώμενεται δραστικά.

KARKAR · #3

Η άσκηση βασίστηκε στις εξής παρατηρήσεις : 2026=45^2+1^2=(6^2+3^2)^2+(1^2+0^2)^2

.

Για : x=3

, γίνεται : $\left((x+3)^2+x^2\right)^2+\left((x-2)^2+(x-3)^2\right)^2=2026$ , δηλαδή :

$\boxed {P(x)= (2x^2+6x+9)^2+(2x^2−10x+13)^2}$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 12, 2025 6:32 am
Η άσκηση βασίστηκε στις εξής παρατηρήσεις : (*).

Για : , γίνεται : $\left((x+3)^2+x^2\right)^2+\left((x-2)^2+(x-3)^2\right)^2=2026$ , δηλαδή :

$\boxed {P(x)= (2x^2+6x+9)^2+(2x^2−10x+13)^2}$ .

.
Θανάση, ας με συγχωρείς αλλά ο συλλογισμός είναι ακροβατικός. Δεν στέκει. Για παράδειγμα για x=3

μετέτρεψες/είδες το 6^2+3^2

ως

που δίνει την ίδια τιμή. Να όμως που καθένα από τα (x-9)^2+(x-6)^2

ή

και μύρια άλλα επίσης δίνουν την ίδια τιμή 6^2+3^2

. Ποιο επιλέγεις και γιατί;

Κοινώς: Αν ακολουθούσα την ίδια λογική, θα έγραφα αβίαστα (για παράδειγμα) P(x)= [(17x-45)^2+(2x-3)^2]^2 +[(2x-5)^2+(x-3)^2]^2

μόνο και μόνο διότι για x=3

δίνουν ακριβώς την (*), δηλαδή P(3)= (6^2+3^2)^2+(1^2+0^2)^2

. Αλλά το αποτέλεσμα είναι οικτρά εσφαλμένο.

Ας τονίσω άλλη μία φορά, ότι η παράθεση της άσκησης στον φάκελο Διασκεδαστικά Μαθηματικά, δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα.

KARKAR · #5

Μιχάλη , το σχόλιό μου δεν αναφέρεται στην λύση σου , η οποία είναι αναλυτικότατη και ευχαριστώ . Απλά ήθελα να περιγράψω

πως κατασκεύασα την άσκηση . Δεν σου κρύβω πώς δοκίμασα όλα τα $x \in \{3,4,5,6 ,7,8,9,10\}$ και κατέληξα στο x=3

.

Όσο για την τοποθέτηση του θέματος στα "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" , είναι φανερό ότι έχουμε κάποια διάσταση απόψεων για

το είδος των ασκήσεων ανήκουν στον φάκελο . Μπορούμε να ζήσουμε μ' αυτό ...

Πάντως στο τέλος κάθε χρονιάς συνηθίζεται να τοποθετούνται εδώ , θέματα που χρησιμοποιούν την επερχόμενη χρονιά , δηλαδή

το 2026

. Αυτό έχει από μόνο του την πλάκα του

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 12, 2025 12:18 pm
Μιχάλη , το σχόλιό μου δεν αναφέρεται στην λύση σου , η οποία είναι αναλυτικότατη και ευχαριστώ . Απλά ήθελα να περιγράψω

πως κατασκεύασα την άσκηση . Δεν σου κρύβω πώς δοκίμασα όλα τα $x \in \{3,4,5,6 ,7,8,9,10\}$ και κατέληξα στο .

Όσο για την τοποθέτηση του θέματος στα "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" , είναι φανερό ότι έχουμε κάποια διάσταση απόψεων για

το είδος των ασκήσεων ανήκουν στον φάκελο . Μπορούμε να ζήσουμε μ' αυτό ...

Πάντως στο τέλος κάθε χρονιάς συνηθίζεται να τοποθετούνται εδώ , θέματα που χρησιμοποιούν την επερχόμενη χρονιά , δηλαδή

το . Αυτό έχει από μόνο του την πλάκα του

Θανάση, ευχαριστώ για τις διευκρινίσεις. Να 'σαι καλά.

Ας προσθέσω ότι το σχόλιό μου αφορά την λύση σου, όχι τη μέθοδο κατασκευής της άσκησης. Η εν λόγω λύση δεν μου φαίνεται σωστή και γι' αυτό έγραψα με λεπτομέρεια την αντίρρησή μου.

Όσο για το τι είναι "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" δεν είναι της ώρας αλλά ας πω ότι θεωρώ την άσκηση (όπως φαίνεται από τη λύση που έδωσα) ως μία ενδιαφέρουσα άσκηση στα "Καθαρά" Μαθηματικά, χωρίς τον προσδιορισμό "Διαδιασκεδαστικά" .

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 12, 2025 12:18 pm

Όσο για την τοποθέτηση του θέματος στα "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" , είναι φανερό ότι έχουμε κάποια διάσταση απόψεων για

το είδος των ασκήσεων ανήκουν στον φάκελο . Μπορούμε να ζήσουμε μ' αυτό ...

.
Θανάση, με την ευκαιρία ας το εξετάσουμε αυτό λίγο πιο προσεκτικά.

Ας δούμε πρώτα απ' όλα αν η συγκεκριμένη άσκηση μπορεί να θεωρηθεί ως ανήκουσα στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά.

Το εν λόγω πολυώνυμο, το οποίο είναι άθροισμα τετραγώνων, είναι γνήσια θετικό και άρα οι ρίζες του είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί. Συνεπώς γράφεται στη μορφή,

P(x)=[x-(a+bi)][x-(a-bi)][x-(c+di)][x-(c-di)= [(x-a)^2+b^2][(x-c)^2+d^2]

που είναι της μορφής

(A^2+B^2)(C^2+D^2)= (AC+BD)^2 + (AD-BC)^2

Δηλαδή γράφεται ως γινόμενο τετραγώνων και από εκεί συμπεραίνουμε ότι γράφεται επίσης, ως άθροισμα τετραγώνων, και αντίστροφα.

Με άλλα λόγια, η εύρεση των ριζών του πολυωνύμου (εδώ όλες μιγαδικοί αριθμοί) είναι ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ (το τονίζω αυτό) με την γραφή του ως αθροίσματος τετραγώνων, που είναι αυτό που ζητά η εν λόγω άσκηση.

Το λοιπόν: όπως και αν το προσμετρήσω, όσο διασταλτικά και αν δω την κατάσταση, το ερώτημα της εύρεσης των ριζών ενός πολυωνύμου ΔΕΝ ΕΜΠΙΠΤΕΙ στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Όσο κι αν το τραβήξω.

Θα τελειώσω με κάτι που έχω πει πολλές φορές: Το τι είναι Διασκεδαστικά Μαθηματικά δεν είναι θέμα γνώμης. Όπως όλοι οι συμφωνούμε τι είναι Γεωμετρία διότι είναι καθιερωμένο και καταγεγραμμένο, το ίδιο συμβαίνει και για τους υπόλοιπους κλάδους των Μαθηματικών.

Τα Διασκεδαστικά Μαθηματικά (Recreational Mathematics) έχουν σαφή ορισμό στην κατηγοριοιποίηση των Μαθηματικών (Subject Classification). Ο εγκυρότερος (τον οποίο ακολουθούν οι πάντες, σε όλα τα μήκη και πλάτη) είναι του Mathematical Reviews της American Mathematical Society σε συνεργασία με το Zentralblatt MATH. Βλέπε λίγα λόγια εδώ. Τα Recreational Mathematics έρχονται στην κατηγορία (δηλαδή αρίθμηση)

και μετά υποκατηγορία 00Α08, και επίσης ένα τμήμα υπάρχει στην 97Α20. Βλέπε εδώ.

Το παραπάνω πρόβλημα είναι καθαρά Μαθηματικό. Καλό είναι να μην αποπροσανατολίζουμε τους αναγνώστες, ιδίως τους μαθητές μας, με πληροφορίες που δεν εστιάζουν με ακρίβεια. Το οφείλουμε ως Δάσκαλοι. Είναι απόλυτο χρέος μας να μεταλαμπαδεύουμε ακριβείς πληροφορίες και δεν θα κουραστώ να το λέω όποτε προκύπτει θέμα.

KARKAR · #8

Μιχάλη , αυτά που γράφεις είναι γνωστά και τα έχεις επαναλάβει ουκ ολίγες φορές .

Η δική μου άποψη είναι ότι είναι προσφορότερο να ερμηνεύσουμε τον ορισμό διασταλτικά , διότι έτσι

κερδίζουμε σωρεία χαριτωμένων θεμάτων , τα οποία οι θεματοδότες τους βρίσκουν ότι δεν μπορούν

να κατατάξουν σε άλλο φάκελο . Το παρόν το θέμα για παράδειγμα , δεν θα το δημοσίευα καν ,

αν δεν πίστευα ότι η παρουσία και μόνο του 2026

, του δίνει εισιτήριο για το εν λόγω φάκελο .

Ένα ακόμη παράδειγμα : Τι θα έλεγες για το θέμα αυτό ;

#9

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 16, 2025 11:04 pm
Μιχάλη , αυτά που γράφεις είναι γνωστά και τα έχεις επαναλάβει ουκ ολίγες φορές .

Θανάση, σωστά, αλλά όπως γράφω στην τελευταία γραμμή του ποστ μου "δεν θα κουραστώ να το λέω όποτε προκύπτει θέμα". Ποτέ, μα ποτέ.

Και αυτό γιατί το θεωρώ χρέος μου, όπως έχω αποδείξει πάρα πολλές φορές, να μεταλαμπαδεύω ΜΟΝΟ ορθές γνώσεις. Για παράδειμα, όποτε συναντήσω άτομο που μου μιλά για Αστρολογία ως να ήταν αληθινή επιστήμη, εγώ παραθέτω τα επιχειρήματά μου για να τον αντικρούσω. Έτσι κάνω με κάθε ανάλογο θέμα που γνωρίζω καλά. Π.χ. πίστεψέ με ότι γνωρίζω Αστρολογία άριστα, ιδίως την Ιστορία της, πολύ καλύτερα από επαγγελματίες του είδους, αλλά την απορρίπτω ως ψευδοεπιστήμη. Και δεν θα σταματήσω να διορθώνω όποιον επιχειρεί να αποπροσανατολίσει τους ανθρώπους. Είναι στάση ζωής. Ιεραποστολικό χρέος.
.

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 16, 2025 11:04 pm
Η δική μου άποψη είναι ότι είναι προσφορότερο να ερμηνεύσουμε τον ορισμό διασταλτικά , διότι έτσι

κερδίζουμε σωρεία χαριτωμένων θεμάτων

.
Δεν ευσταθεί αυτό. Αν κάτι ανήκει στα Διασκεδαστικά ή οποιαδήποτε άλλα Μαθηματικά το καθορίζει το περιεχόμενό του, ανεξάρτητα από τι νομίζει ο ίδιος.
.

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 16, 2025 11:04 pm
αν δεν πίστευα ότι η παρουσία και μόνο του , του δίνει εισιτήριο για το εν λόγω φάκελο .

.
Ούτε αυτό ευσταθεί. Είναι σαν να λες ότι σε δύο χρόνια, το 2027

, το εν λόγω θέμα που βαφτίστηκε "Διασκεδαστικό" λόγω της αριθμητικής του τιμής 2026

, θα πάψει να είναι Διασκεδαστικό. Η γνώμη μου, για το συγκεκριμένο θέμα ως άσκηση πολυωνύμων, δεν θα πάψει να ανήκει στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά γιατί απλούστατα ποτέ δεν ήταν Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Το τεκμηρίωσα αυτό. Είναι για τον φάκελο των πολυωνύμων.

Ας δούμε ένα κραυγαλεό παράδειγμα όπου η αριθμητική τιμή δεν είναι λόγος να βαφτίσουμε μία άσκηση ως Διασκεδαστικά Μαθηματικά: Σχεδόν κάθε χρόνο στην Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα πέφτει μία άσκηση που αναφέρει το τρέχον έτος. Θα την βάφτιζες κατ' ανάγκη Διασκεδαστικά Μαθηματικά! Ούτε συζήτηση. Είναι πάντα σκληρότατη, απρόσιτη και καθαρότατα άσκηση που δεν ανήκει στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Εξ ορισμού.

Πολύ πολυώνυμο

Πολύ πολυώνυμο

Re: Πολύ πολυώνυμο

Re: Πολύ πολυώνυμο

Re: Πολύ πολυώνυμο

Re: Πολύ πολυώνυμο

Re: Πολύ πολυώνυμο

Re: Πολύ πολυώνυμο

Re: Πολύ πολυώνυμο

Re: Πολύ πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση