ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

[Mihalis_Lambrou]

Αυτό μάλιστα αποτελεί την Πρόταση που πρότεινα για απόδειξη. Πιστεύω ότι θα έχει δοθεί τότε και η απόδειξή της.
...
Περιμένω αποδείξεις της.

.
Στο ποστ #391 έχω δώσει δύο αποδείξεις σε μορφή εικόνας από το πρωτότυπο, αλλά έχω δώσει και την ακριβή ιστοσελίδα με τα ίδια τα πρωτότυπα ώστε να αντληθεί ευκρινέστερη εικόνα.

Από εκεί και πέρα η μετάφραση με Google είναι εύκολη, αλλά και στο ποστ #398 ο αρψ2400 προτείνει και άλλον έναν τρόπο απλής διαδικασίας για μετάφραση. Οπότε το θέμα μπορεί εύκολα να το διευθετήσει ο καθένας σύμφωνα με τις ανάγκες του. Το ίδιο έκανα και ο ίδιος για το Γερμανικό κείμενο του Blaschke, παραπάνω, για να διευκρινίσω μια-δυο λέξεις για τις οποίες ήθελα να βεβαιωθώ για την ακριβή τους μετάφραση.

[ΝΙΚΟΣ]

α. Η δημοσίευση του παραπάνω ποστ 391 δε με βοηθά, γιατί δε μπορώ να βγάλω κάποιο συμπέρασμα, αφού δεν είναι στα Ελληνικά, δε μπορώ να τα κατεβάσω και γενικά δεν ικανοποιούν αυτά που πρέπει και που αναφέρονται στο ποστ 393.
Αν κάποιος φίλος μπορεί να βοηθήσει ευχαρίστως θα τον ακούσουμε. Εξυπακούεται όμως ότι πρέπει υπεύθυνα να κινηθεί στο πνεύμα του ποστ 393.

β. Και η δημοσίευση του παραπάνω ποστ 392 δε με βοηθά, γιατί το Πρόβλημα που αναφέρεται εκεί, είναι άσχετο με την Πρόταση που έχω προτείνει στο ποστ 390, καθώς εκείνο που εγώ προτείνω είναι Πρόταση στην οποία ζητείται να αποδειχθεί ότι σε δύο τετράπλευρα, τοποθετημένα με ορισμένο τρόπο, τα βαρύκεντρά τους συμπίπτουν, ενώ εκείνο που αναφέρεται στο ποστ 392 είναι πρόβλημα και ζητά να ευρεθεί το κέντρο βάρους κάθε τετράπλευρου.
Αν κάποιος φίλος θέλει να πάρει θέση σε αυτά που γράφω, ευχαρίστως θα τον ακούσουμε. Εξυπακούεται όμως ότι πρέπει υπεύθυνα να κινηθεί στο πνεύμα του ποστ 393 και αμερόληπτα, μακριά από συναδερφική αλληλεγγύη (Προς άρση παρεξηγήσεων. προφανώς η λύση του Προβλήματος αυτού, είναι σωστή και πολύ γνωστή, αλλά δε μας βοηθά).


Νίκος Κυριαζής

Το απόσπασμα (W. Wittenbauer) λέει το εξής, :
Για ένα κυρτό τετράπλευρο επίπεδο χωρίο 𝐵 με ομοιόμορφη κατανομή μάζας:
– Χωρίζουμε κάθε πλευρά του τετραπλεύρου σε τρία ίσα μέρη.
– Ενώνουμε διαδοχικά τα γειτονικά σημεία διαίρεσης.
– Οι τέσσερις αυτές ευθείες σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο (ή “Spateck”).
– Το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου είναι το κέντρο βάρους του τετραπλεύρου χωρίου.

Προφανώς η διατύπωση αυτή δεν αποτελεί ακριβώς την δική μου διατύπωση της Πρότασης Α48. Όμως αν την είχα δει τότε θα την είχα δεχθεί ανεπιφύλακτα. Τώρα όμως έχω δεχθεί τη μετάφραση που έδωσε ο κ. Μ. Λάμπρου (ποστ 400), που μοιάζει περισσότερο στη δική μου διατύπωση.
Πάντως σας ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σας εδώ και την προσπάθειά σας να βοηθήσετε.

Μπορείτε πατώντας μαζί shift , το σύμβολο με το παράθυρο των windows και το s να κάνετε αντιγραφή μέρους της οθόνης και μετά με επικόληση στο chatgpt να έχετε τη μετάφραση.
Αγαπητοί φίλοι δε θα ήθελα να εμπλακώ με μεταφράσεις, γιατί δεν έχω χρόνο και γιατί στα Μαθηματικά δεν είναι ακριβείς όσο πρέπει.
Για τους λόγους αυτούς, και όχι μόνο, στην αρχή του θρεντ αυτού (ποστ 1), έχω θέσει κάποιες προϋποθέσεις τις οποίες πρέπει να λαμβάνει υπόψη του για την απρόσκοπτη συμμετοχή του εδώ.

Τα παραπάνω αφορούν στο ποστ 391.

Θα ήθελα όμως κυρίως την άποψή σας για το αναφερόμενο Πρόβλημα στο ποστ 392 και την Πρόταση του ποστ 390, που αναφέρονται ότι αποτελούν την ίδια άσκηση. Έχετε και εσείς την ίδια γνώμη, ή όχι;
Η δική μου άποψη είναι:
Και η δημοσίευση του παραπάνω ποστ 392 δε με βοηθά, γιατί το Πρόβλημα που αναφέρεται εκεί, είναι άσχετο με την Πρόταση που έχω προτείνει στο ποστ 390, καθώς εκείνο που εγώ προτείνω είναι Πρόταση στην οποία ζητείται να αποδειχθεί ότι σε δύο τετράπλευρα, τοποθετημένα με ορισμένο τρόπο, τα βαρύκεντρά τους συμπίπτουν, ενώ εκείνο που αναφέρεται στο ποστ 392 είναι πρόβλημα και ζητά να ευρεθεί το κέντρο βάρους κάθε τετράπλευρου.


Με εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

α. Η δημοσίευση του παραπάνω ποστ 391 δε με βοηθά, γιατί δε μπορώ να βγάλω κάποιο συμπέρασμα, αφού δεν είναι στα Ελληνικά, δε μπορώ να τα κατεβάσω και γενικά δεν ικανοποιούν αυτά που πρέπει και που αναφέρονται στο ποστ 393.
Αν κάποιος φίλος μπορεί να βοηθήσει ευχαρίστως θα τον ακούσουμε. Εξυπακούεται όμως ότι πρέπει υπεύθυνα να κινηθεί στο πνεύμα του ποστ 393.

Νίκος Κυριαζής

b]Μπορώ να πιστοποιήσω υπεύθυνα ότι τα αποσπάσματα από τα ξένα βιβλία που παραθέτει
ο Μιχάλης στο ποστ 391, αφορούν στην ίδια ακριβώς πρόταση Α48 του Νίκου στο ποστ 390.
Αγαπητέ Γιώργο Καλημέρα.
Συγνώμη που δε σου απάντησα όταν έπρεπε, καθώς τότε, όπως θα γνωρίζεις, είχα πολλές άλλες επείγουσες υποχρεώσεις. Όμως όπως βλέπεις δε σε ξέχασα.΄

Καταρχήν σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου εδώ και την προσπάθειά σου να βοηθήσεις.
Τώρα όμως έχω δεχθεί τη μετάφραση που έδωσε ο κ. Μ. Λάμπρου (ποστ 400), που είναι όμοια με τη δική μου διατύπωση.

Ακόμα κι αν κάποιος δεν γνωρίζει ξένες γλώσσες, τα σχήματα είναι ξεκάθαρα.
Γιώργο τα σχήματα μόνο, δε μου λένε τίποτα, γιατί πολλές προτάσεις και προβλήματα μπορεί να αναφέρονται στο ίδιο σχήμα (Βλέπε βιβλίο μου "ΑΡΜΟΝΙΚΉ ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ"), εδώ:
https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... 3fonbUWkMQ
Όσο για τις μεταφράσεις δε θα ήθελα να μπλέξω με αυτές, γιατί δεν έχω χρόνο και γιατί στα Μαθηματικά δεν είναι ακριβείς όσο πρέπει και εγώ θα ήθελα.
Για τους λόγους αυτούς, και όχι μόνο, στην αρχή του θρεντ αυτού (ποστ 1), έχω θέσει κάποιες προϋποθέσεις τις οποίες πρέπει να λαμβάνει υπόψη του όποιος θα ήθελε την απρόσκοπτη συμμετοχή του εδώ και στις οποίες παραπέμπω σε κάθε ανάρτησή μου (εδώ).

Τα παραπάνω αφορούν στο ποστ 391.

Θα ήθελα όμως κυρίως την άποψή σου για το αναφερόμενο Πρόβλημα στο ποστ 392 και την Πρόταση του ποστ 390, που αναφέρεται ότι αποτελούν την ίδια άσκηση. Έχεις και εσύ την ίδια γνώμη, ή όχι;
Η δική μου άποψη είναι ότι:
Το Πρόβλημα που αναφέρεται στο ποστ 392, είναι άσχετο με την Πρόταση που έχω προτείνει στο ποστ 390, καθώς εκείνο που εγώ προτείνω είναι Πρόταση στην οποία ζητείται να αποδειχθεί ότι σε δύο τετράπλευρα, τοποθετημένα με ορισμένο τρόπο, τα βαρύκεντρά τους συμπίπτουν, ενώ εκείνο που αναφέρεται στο ποστ 392 είναι πρόβλημα και ζητά να ευρεθεί το κέντρο βάρους κάθε τετράπλευρου. Τι λες;


Με εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής

[george visvikis]

Θα ήθελα όμως κυρίως την άποψή σου για το αναφερόμενο Πρόβλημα στο ποστ 392 και την Πρόταση του ποστ 390, που αναφέρεται ότι αποτελούν την ίδια άσκηση. Έχεις και εσύ την ίδια γνώμη, ή όχι;
Η δική μου άποψη είναι ότι:
Το Πρόβλημα που αναφέρεται στο ποστ 392, είναι άσχετο με την Πρόταση που έχω προτείνει στο ποστ 390, καθώς εκείνο που εγώ προτείνω είναι Πρόταση στην οποία ζητείται να αποδειχθεί ότι σε δύο τετράπλευρα, τοποθετημένα με ορισμένο τρόπο, τα βαρύκεντρά τους συμπίπτουν, ενώ εκείνο που αναφέρεται στο ποστ 392 είναι πρόβλημα και ζητά να ευρεθεί το κέντρο βάρους κάθε τετράπλευρου. Τι λες;


Με εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητέ Νίκο

Προφανώς, το πρόβλημα στο ποστ 392 δεν δεν έχει σχέση με την Πρόταση Α48 του ποστ 390. Πουθενά όμως δεν αναφέρεται ότι αποτελούν την ίδια άσκηση.

Στο τέλος του ποστ 391 ο Μιχάλης γράφει: Κάποια στιγμή θα παραθέσω και μία διαφορετική, απλή, κατασκευή του κέντρου βάρους του τετραπλεύρου. Βασίζεται σε τελείως άλλη ιδέα.

Στο ποστ 392 απλώς απαντάει σε αυτό που είχε ήδη προαναγγείλει, αλλά δεν λέει ότι πρόκειται για την ίδια άσκηση, αφού έχει τονίσει ότι βασίζεται σε τελείως άλλη ιδέα.

Με εκτίμηση
Γιώργος Βισβίκης

[ΝΙΚΟΣ]

Θα ήθελα όμως κυρίως την άποψή σου για το αναφερόμενο Πρόβλημα στο ποστ 392 και την Πρόταση του ποστ 390, που αναφέρεται ότι αποτελούν την ίδια άσκηση. Έχεις και εσύ την ίδια γνώμη, ή όχι;
Η δική μου άποψη είναι ότι:
Το Πρόβλημα που αναφέρεται στο ποστ 392, είναι άσχετο με την Πρόταση που έχω προτείνει στο ποστ 390, καθώς εκείνο που εγώ προτείνω είναι Πρόταση στην οποία ζητείται να αποδειχθεί ότι σε δύο τετράπλευρα, τοποθετημένα με ορισμένο τρόπο, τα βαρύκεντρά τους συμπίπτουν, ενώ εκείνο που αναφέρεται στο ποστ 392 είναι πρόβλημα και ζητά να ευρεθεί το κέντρο βάρους κάθε τετράπλευρου. Τι λες;


Με εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητέ Νίκο

Προφανώς, το πρόβλημα στο ποστ 392 δεν δεν έχει σχέση με την Πρόταση Α48 του ποστ 390. Πουθενά όμως δεν αναφέρεται ότι αποτελούν την ίδια άσκηση.

Στο τέλος του ποστ 391 ο Μιχάλης γράφει: Κάποια στιγμή θα παραθέσω και μία διαφορετική, απλή, κατασκευή του κέντρου βάρους του τετραπλεύρου. Βασίζεται σε τελείως άλλη ιδέα.

Στο ποστ 392 απλώς απαντάει σε αυτό που είχε ήδη προαναγγείλει, αλλά δεν λέει ότι πρόκειται για την ίδια άσκηση, αφού έχει τονίσει ότι βασίζεται σε τελείως άλλη ιδέα.

Με εκτίμηση
Γιώργος Βισβίκης

Αγαπητέ Γιώργο,
Εγώ στο ποστ 390, είμαι πολύ συγκεκριμένος. Πάντως δε ζητώ να ευρεθεί το κέντρο βάρους κάθε τετράπλευρου, Άλλωστε την σωστή απάντηση μας την είχε δώσει με το ποστ 391.


Με εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α48.
.
Αγαπητοί φίλοι,
Απόδειξή μου, θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 9, Σελίδα βιβλίου 463, ή διαδικτυακά ;, Πρόταση 9ι(169).

Ή, πιο εύκολα, τις αποδείξεις μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1lDlt67 ... oRZbu/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 463, ή ψηφιακά , παράγραφος 9ι(169).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά και ταπεινά.
Νίκος Κυριαζής. Ο Κάντ γράφει ότι: «Τα μαθηματικά βρήκαν στον θαυμαστό λαό των Ελλήνων τον ασφαλή δρόμο της επιστήμης».

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για λύση την παρακάτω νέα μου κατασκευή, Α49:

Διχοτόμος ΜΟΝΟ με τη χρήση πλήρους τετράπλευρου.

Α49. Δίνονται οι ευθείες (α) και (β), των οποίων η τομή Ε, βρίσκεται έξω από το χαρτί σχεδιάσεως. ΜΟΝΟ με τη χρήση πλήρους
τετράπλευρου, να αχθεί η διχοτόμος της γωνίας των ευθειών αυτών.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε λύσεις που δεν τηρούν αυτή την προϋπόθεση.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Για την χώρα μας η Ευκλείδεια Γεωμετρία αποτελεί μεγάλη κληρονομιά - παράδοση και με αυτή έχει προβληθεί σε όλο τον κόσμο. Υποχρέωσή μας, ως Έλληνες. είναι όλοι να την υπερασπιζόμαστε και να εργαζόμαστε γι' αυτήν .

[ΝΙΚΟΣ]

Λύση της παραπάνω Κατασκευής Α49.
.
Αγαπητοί φίλοι,
Λύση μου, θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 10, Σελίδα βιβλίου 273, ή διαδικτυακά 281, Πρόταση 10ι(117).

Ή, πιο εύκολα, τη λύση μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1Z9FNcE ... g4sW5/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 273, ή ψηφιακά 281, παράγραφος 10ι(117).

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε λύσεις που δεν τηρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά και ταπεινά.
Νίκος Κυριαζής.
Ο "Η Γεωμετρία είναι ο μοναδικός κλάδος των μαθηματικών του οποίου το περιεχόμενο παρουσιάζει τόσο μεγάλη διαχρονικότητα. Ερωτήματα που τέθηκαν πριν από 2.500 χρόνια εξακολουθούν και σήμερα να μας καταπλήσσουν και κείμενα που γράφτηκαν σε πάπυρους και περγαμηνές εξακολουθούν να αναζωογονούν τη σκέψη μας".

[Mihalis_Lambrou]

.
ΝΕΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ.

προτείνω για λύση την παρακάτω νέα μου κατασκευή, Α49:

Διχοτόμος ΜΟΝΟ με τη χρήση πλήρους τετράπλευρου.

Δίνονται οι ευθείες (α) και (β), των οποίων η τομή Ε, βρίσκεται έξω από το χαρτί σχεδιάσεως. ΜΟΝΟ με τη χρήση πλήρους
τετράπλευρου, να αχθεί η διχοτόμος της γωνίας των ευθειών αυτών.

.
Ας επισημάνω ότι η εν λόγω κατασκευή απέχει πολύ από το να είναι νέα.

Για την ιστορική ακρίβεια, η ίδια κατασκευή, με πλήρες τετράπλευρο, (και παράλληλα με άλλες χωρίς πλήρες τετράπλευρο, αλλά θα μείνω σε κατασκευές όπως ακριβώς ζητείται παραπάνω) υπάρχει σε πάρα πολλές Γεωμετρίες και σε βιβλία Διασκεδαστικών Μαθηματικών από το και εφεξής, εδώ και τουλάχιστον χρόνια. Μία πολυδιαβασμένη τέτοια πηγή είναι το περίφημο τετράτομο έργο του Ozanam, Récréations mathématiques et physiques. Βλέπε

εδώ

για την Γαλλική επανέκδοση του 1778 (με προσθήκες του Montucla) αλλά υπάρχει και παλαιότερη, πάνω 50 χρόνια νωρίτερα: O συγγραφέας Jacques Ozanam έζησε .

Από το παραπάνω λινκ μπορείτε να κατεβάσετε και τους 4 τόμους, αλλά εδώ μας αφορά ο τόμος 1, σελίδες 277-278 (ηλεκτρονικά σ. 153). Βλέπε τα τρία σπονδυλωτά προβλήματα (με κοινά στοιχεία) από τα οποία το είναι αυτό που συζητάμε (εύρεση διχοτόμου γωνίας με απρόσιτη κορυφή, κάνοντας χρήση πλήρους τετραπλεύρου).

Τα σχήματα είναι στο τέλος του βιβλίου (ηλεκτρονικά στην σελίδα 230) βλέπε σχ. 13 και 14. Το πλήρες τετράπλευρο στο σχήμα 14 είναι το , όπου το απρόσιτο σημείο.

Συγκεκριμένα, το πρόβλημα δίνει δύο ευθείες που τέμονται σε σημείο εκτός χαρτιού, και ένα σημείο (εντός ή εκτός της γωνίας) και ζητά να αχθεί η ,

To πρόβλημα ζητά να βρεθούν από ένα σημείο στις ευθείες του προηγούμενου προβλήματος έτσι ώστε να ισχύει .

Και το πρόβλημα χρησιμοποιεί το προηγούμενο για να κατασκευαστεί η διχοτόμος της γωνίας με την απρόσιτη κορυφή.

Όλα τα παραπάνω τα παραθέτω σε ότι ακολουθεί. Ο Οzanam δίνει δύο κατασκευές της διχοτόμου, από τις οποίες η δεύτερη είναι ακριβώς η ίδια με του ποστ της παραπομπής εκτός από την τετριμμένη διαφορά ότι αντί για βοηθητικό γενικό εγγράψιμο τετράπλευρο χρησιμοποιεί (και άρα ευκολύνει την κατασκευή) ένα με τις δύο απέναντι γωνίες του ορθές.
.

Ozanam 1.png (80.23 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

.

Ozanam 2.png (123.3 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

.

Ozanam 3.png (136.98 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

.

Ozanam 4.png (107.72 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

.
Συνεχίζω στο επόμενο ποστ γιατί δεν χωράνε όλα εδώ.

.

[Mihalis_Lambrou]

Συνεχίζω το προηγούμενο.

Επίσης υπάρχει αγγλική μετάφραση του έργου του Ozanam, που έγινε το . Είναι εξ ίσου πολυδιαβασμένη, της οποίας επισυνάπτω τις σχετικές σελίδες , βλέπε προβλήματα

Μπορεί να κατεβάσει κανείς ολόκληρο το βιβλίο, ένας θησαυρός σελίδων, από

εδώ

Ας προσθέσω ότι υπάρχουν ΠΑΡΑ πολλά άλλα βιβλία με την ίδια ή απλούστερες κατασκευές. Εν ευθέτω χρόνω θα παραθέσω τρεις (γνωστές). Σημειώνω μόνο ότι τις βρίσκει κανείς ευρύτατα, ακόμα και σε παλιά βιβλία Πρακτικής Γεωμετρίας. Ένα ενδιαφέρον προ αιώνος και βάλε είναι το

H. T. Lilley, Geometrical Drawing for Army Candidates (1893)

που απευθύνεται, όπως λέει ο τίτλος του, σε υποψήφιους Στρατιωτικών Σχολών, και άρα τα Μαθηματικά που απαιτεί είναι κάπως απλούστερα. Ένα παρóμοιο είναι του

Wilson, Geometrical Drawing: For the Use of Candidates for Army Examinations (1888).

Νομίζω ότι με τα παραπάνω ολοκλήρωσα το χρέος μου ως προς την παράθεση στοιχείων που αποκαθιστούν την ιστορική ακρίβεια. Άλλωστε πολύ σωστά γράφουν οι Γενικοί Συντονιστές λίγα ποστ πιο πάνω για μία ανάλογη περίπτωση:

Ο επιστημονικός διάλογος στα μαθηματικά γίνεται με παράθεση βιβλιογραφικών παραπομπών ή άρθρων κάτι που έγινε παραπάνω πολλαπλά και ξεκαθαρίζει με τον πλέον αδιαμφισβήτητο τρόπο την πρότερη ύπαρξη της συγκεκριμένης πρότασης Α48. Το να αγνοεί κάποιος την ύπαρξη των παραπομπών είναι λογικό και ανθρώπινο. Το να τις αγνοεί όμως ενώ κάποιος του τις παραθέτει (κάτι που έχει συμβεί και στο παρελθόν), αυτό ξεφεύγει από τα όρια του επιστημονικού διαλόγου και είναι κάτι που είναι έξω από το πνεύμα του mathematica.gr.

.

Ozanam μεταφ 1.png (30.92 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

.

Ozanam μεταφ 2.png (85.14 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

.

Ozanam μεταφ 3.png (88.68 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Για την ιστορική ακρίβεια, η ίδια κατασκευή, με πλήρες τετράπλευρο ... υπάρχει σε πάρα πολλές Γεωμετρίες και σε βιβλία Διασκεδαστικών Μαθηματικών από το και εφεξής, εδώ και τουλάχιστον χρόνια. Μία πολυδιαβασμένη τέτοια πηγή είναι το περίφημο τετράτομο έργο του Ozanam, Récréations mathématiques et physiques.

.
Για διευκόλυνση του αναγνώστη αντιγράφω την κατασκευή του Ozanam από την Γαλλική επανέκδοση του , και ξανά από την Αγγλική μετάφραση του Τα ίδια τα πρωτότυπα τα έχω δώσει στα παραπάνω ποστ. Συγκεκριμένα:

Δίνονται δύο ευθείες οι οποίες τέμνονται σε απρόστιτο σημείο . Θέλουμε, με χρήση πλήρους τετραπλεύρου, να κατασκευάσουμε την διχοτόμο της σχηματιζόμενης γωνίας.
.

Ozanam.png (29.49 KiB) Προβλήθηκε 808 φορές

.
Από σημείο έξω από την γωνία φέρνουμε την κάθετο στην και την κάθετο στην . Επίσης φέρνουμε την διχοτόμο της , οπότε , και έστω ότι τέμνει τις ευθείες στα . Ισχύει τότε η ισότητα γωνιών διότι η μεν πρώτη από το ορθογώνιο τρίγωνο είναι συμπληρωματική της και η δεύτερη, από το ορθογώνιο τρίγωνο , είναι συμπληρωματική της ίσης της . Συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε η ζητούμενη διχοτόμος είναι η μεσοκάθετος του . Τελειώσαμε.

Σχόλια: Παρατηρεί κανείς ότι η κατασκευή του Ozanam είναι ακριβώς η ίδια με την προταθείσα στο ποστ #408, με μόνη διαφορά ότι η κατασκευή του Ozanam περιέχει μερικά απλούστερα και καλύτερα βήματα σε σύγκριση με τον εκεί συλλογισμό. Για παράδειγμα αντί για τυχαίο εγγράψιμο τετράπλευρο , ο Ozanam λαμβάνει ένα τετράπλευρο με δύο απένατι γωνίες, τις , ορθές. Έτσι απλοποιείται κάποιο βήμα.

Παρόμοια κατασκευή υπάρχει σε πολλά άλλα σημεία της βιβλιογραφίας. Επίσης υπάρχουν και άλλες κατασκευές (με ή χωρίς πλήρη τετράπλευρα). Σύντομα θα αναρτήσω μερικές ακόμη, με χρήση πλήρους τετραπλεύρου.

[ΝΙΚΟΣ]

Για την ιστορική ακρίβεια, η ίδια κατασκευή, με πλήρες τετράπλευρο ... υπάρχει σε πάρα πολλές Γεωμετρίες και σε βιβλία Διασκεδαστικών Μαθηματικών από το και εφεξής, εδώ και τουλάχιστον χρόνια. Μία πολυδιαβασμένη τέτοια πηγή είναι το περίφημο τετράτομο έργο του Ozanam, Récréations mathématiques et physiques.

.
Για διευκόλυνση του αναγνώστη αντιγράφω την κατασκευή του Ozanam από την Γαλλική επανέκδοση του , και ξανά από την Αγγλική μετάφραση του Τα ίδια τα πρωτότυπα τα έχω δώσει στα παραπάνω ποστ. Συγκεκριμένα:

Δίνονται δύο ευθείες οι οποίες τέμνονται σε απρόστιτο σημείο . Θέλουμε, με χρήση πλήρους τετραπλεύρου, να κατασκευάσουμε την διχοτόμο της σχηματιζόμενης γωνίας.
.
Ozanam.png
.
Από σημείο έξω από την γωνία φέρνουμε την κάθετο στην και την κάθετο στην . Επίσης φέρνουμε την διχοτόμο της , οπότε , και έστω ότι τέμνει τις ευθείες στα . Ισχύει τότε η ισότητα γωνιών διότι η μεν πρώτη από το ορθογώνιο τρίγωνο είναι συμπληρωματική της και η δεύτερη, από το ορθογώνιο τρίγωνο , είναι συμπληρωματική της ίσης της . Συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε η ζητούμενη διχοτόμος είναι η μεσοκάθετος του . Τελειώσαμε.

Σχόλια: Παρατηρεί κανείς ότι η κατασκευή του Ozanam είναι ακριβώς η ίδια με την προταθείσα στο ποστ #408, με μόνη διαφορά ότι η κατασκευή του Ozanam περιέχει μερικά απλούστερα και καλύτερα βήματα σε σύγκριση με τον εκεί συλλογισμό. Για παράδειγμα αντί για τυχαίο εγγράψιμο τετράπλευρο , ο Ozanam λαμβάνει ένα τετράπλευρο με δύο απένατι γωνίες, τις , ορθές. Έτσι απλοποιείται κάποιο βήμα.

Παρόμοια κατασκευή υπάρχει σε πολλά άλλα σημεία της βιβλιογραφίας. Επίσης υπάρχουν και άλλες κατασκευές (με ή χωρίς πλήρη τετράπλευρα). Σύντομα θα αναρτήσω μερικές ακόμη, με χρήση πλήρους τετραπλεύρου.

Αυτή μάλιστα είναι σωστή λύση του δοσμένου προβλήματος Α49 (ποστ 407), συμβατή και με το παραπάνω ποστ 1. Συνεπώς στο εξής δε θα την θεωρώ πρωτοεμφανιζόμενη, Ενώ θα γίνουν και οι σχετικές διορθώσεις.
Σχόλια.
α. Η λύση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση της λύσης του ποστ 408, καθώς το τετράπλευρο ABDC είναι ειδικό εγγράψιμο, οπότε και το πλήρες τετράπλευρο είναι ειδικό. Άρα και η λύση του μπορεί να βασιστεί στη λύση του ποστ 408.
β. Όταν αποφάσισα να ασχοληθώ με την μελέτη-έρευνα στη Γεωμετρία, γνώριζα ότι έμπαινα σε ξένα αλλά και πολύ δύσκολα μονοπάτια, επειδή δεν είμαι Μαθηματικός και επειδή οι λεωφόροι στον τομέα αυτό έχουν διανυθεί από όλες τις μεγάλες προσωπικότητες, όλων των εποχών ,για χιλιάδες χρόνια τώρα. Γι’ αυτό πραγματικά, σήμερα είναι πολύ δύσκολο να ανακαλύψει κανείς κάτι καινούργιο στον τομέα αυτό.
Πολύ περισσότερο επειδή "Φύσις κρύπτεσθαι φίλει", όπως ο Ηράκλειτος έλεγε.
γ. Είναι γεγονός όμως ότι όταν αποδεικνύεται ότι κάποια επινόησή μου υπήρχε από πριν με λυπεί, αλλά από την άλλη με παρηγοράει και με κολακεύει το ότι είχα και εγώ την ίδια έμπνευση με κάποια μεγάλη μαθηματική προσωπικότητα που υπήρξε πριν από μένα.
δ. Είναι δυνατό αντί καθέτων, να φέραμε ισοκλινείς ευθείες στις δοθείσες, οπότε θα είχαμε μια γενικότερη λύση.
ε. Σχετική Ελληνική βιβλιογραφία εδώ:
ΝΕΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
https://drive.google.com/file/d/1YBEELC ... Lkre9/view
Σελίδα 38, κατασκευή 1ε(24).
ΠΠΕΡΙΟΔΙΚΑ
ΑΠΟΛΩΝΙΟΣ
https://drive.google.com/file/d/1ceZgAY ... dFj7R/view
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ
Τεύχος 2, σελίδα 79.


Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για λύση την παρακάτω νέα μου κατασκευή, Α50:

Κατασκευή Ζεύγους Τριγώνων Τετραπλά Ομολογικών.
Α50. Να κατασκευασθεί ζεύγος συνεπίπεδων τριγώνων τετραπλά ομολογικών, αν μας δίνεται το ένα απ’ αυτά.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δύο δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε λύσεις που δεν τηρούν αυτή την προϋπόθεση.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !

[ΝΙΚΟΣ]

Δύο Λύσεις της παραπάνω Κατασκευής Α50.
.
Αγαπητοί φίλοι,
Δύο Λύσεις μου, θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΕΛ ΒΙΒΛ. 31, ή διαδικτυακά 36, Κατασκευή 10ι(144).

Ή, πιο εύκολα, δύο λύσεις μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1Z9FNcE ... g4sW5/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 327, ή ψηφιακά 335, παράγραφος 10ι(144), και λάβετε υπόψη σας για τα κριτήρια και τις παραγράφους το βιβλίο αυτό εδώ:
https://drive.google.com/file/d/1AkcT_a ... YcmZp/view

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε λύσεις που δεν τηρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά και ταπεινά.
Νίκος Κυριαζής.
"Με την Γεωμετρία αναπτύσσεται η ερευνητική ικανότητα, η κρίση και η λογική σκέψη. Είναι ίσως η μόνη επιστήμη που ασκεί το πνεύμα με απόλυτη αυστηρότητα."

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη την παρακάτω νέα μου Πρόταση, Α51:

Α51. Τα τρία παράλληλα τμήματα στις αντίστοιχες πλευρές τριγώνου, που έχουν τα άκρα τους στις πλευρές του τριγώνου αυτού και περνούν από το ισοτομιιό του έγκεντρου του αντισυμπληρωματικού τριγώνου, του τριγώνου αναφοράς, είναι τρία τμήματα ίσα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε λύσεις που δεν τηρούν αυτή την προϋπόθεση.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Οι μεγαλύτεροι μαθηματικοί της αρχαιότητας, που ασχολήθηκαν με την Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν Έλληνες, όπως ο Πυθαγόρας, ο Θαλής, ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, ο Απολλώνιος, ο Πάππος, ο Πτολεμαίος, ο Μενέλαος, η Υπατία και πολλοί άλλοι.

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΚΥΡΟ

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για λύση το παρακάτω νέο μου Πρόβλημα, Α52:

Α52. Να κατασκευασθεί πεντάδα διατεταγμένων συνευθειακών σημείων , , , , της οποίας δίνονται τα τρία σημεία και έχει: .

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε λύσεις που δεν τηρούν αυτή την προϋπόθεση.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Οι Μάρξ, Αϊστάϊν, Ναπολέων και άλλοι, δεν είναι τυχαίο, που όπως οι ίδιοι έλεγαν, προτού ασχοληθούν με κάποιο σοβαρό πρόβλημα, μελετούσαν Γεωμετρία.

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρΑπάνω Πρότασης Α52.
.
Αγαπητοί φίλοι,
Απόδειξή μου, θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 10, Σελίδα βιβλίου 475, ή διαδικτυακά 483, Πρόταση 10ι(199).

Ή, πιο εύκολα, τις αποδείξεις μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1Z9FNcE ... g4sW5/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 475, ή ψηφιακά 483, παράγραφος 10ι(199).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε λύσεις που δεν τηρούν αυτή την προϋπόθεση.


Φιλικά και ταπεινά.
Νίκος Κυριαζής. Επέλεξα να ασχοληθώ με την Γεωμετρία, επειδή γνώριζα ότι αυτή χαρίζει απλόχερα γοητεία και δεν σε προδίδει ποτέ, αν αφοσιωθείς σ’ αυτήν και ασχοληθείς σοβαρά μαζί της, αλλά και επειδή πίστευα ότι μπορώ να προσφέρω στον τομέα αυτό.

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη την παρακάτω νέα μου Πρόταση, Α53:

Α53. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο, το ίχνος του ύψους του στην υποτείνουσα αποτελή χρυσή τομή της υποτείσας, τότε και μόνο τότε, τα μήκη των πλευρών του τριγώνου αυτού, αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε λύσεις που δεν τηρούν αυτή την προϋπόθεση.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Με κολακεύει η ανακάλυψη κάποιας άγνωστης μέχρι τώρα αλήθειας στη Γεωμετρία, σημαντικής ή μη, που μέχρι τώρα κανένας άλλος δεν την γνώριζε. Ακόμη, με κολακεύει το γεγονός ότι κατέχω τα κλειδιά της λύσης άλυτων μέχρι τώρα προβλημάτων.

[KARKAR]

ρίζα φ.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

Με Π.Θ. εύκολα βρίσκουμε για τον λόγο της προόδου , ότι : .

Από : βρίσκουμε : , όμοια : .

Παρατηρούμε ότι : , q.e.d. Αντίστροφα : ( αφήνεται ...)