Συνευθειακά σημεία...

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
giannimani
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Συνευθειακά σημεία...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Σάβ Δεκ 20, 2025 9:55 am

Στις πλευρές AB, AC ενός μη ισοσκελούς τριγώνου ABC θεωρούμε τα σημεία F, E αντίστοιχα, τέτοια ώστε BF=CE.
Συμβολίζουμε με P το σημείο τομής των ευθειών BE και CF. Έστω ότι η ευθεία AP τέμνει την BC στο σημείο D.
Από το A φέρουμε παράλληλη της EF που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του \triangle ABC για δεύτερη φορά στο σημείο Q.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία Q, D και το μέσο του τόξου BC (έστω L), που δεν περιέχει την κορυφή A, ανήκουν στην ίδια ευθεία.
through_middle_arc.png
through_middle_arc.png (36.16 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές


Λέξεις Κλειδιά:
ίσα-τμήματα
παράλληλία
τρίγωνο
Κορυφή
Dimessi
Δημοσιεύσεις: 379
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 10, 2023 3:48 pm

Re: Συνευθειακά σημεία...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimessi » Σάβ Δεκ 20, 2025 11:17 am

Είμαι εκδρομουλα σορυ για την απουσία σχήματος. :lol:
\angle QCB=\angle QAB\overset{QA\parallel EF}=\angle EFA\overset {\angle EAF=\angle CQB}\Rightarrow \vartriangle QCB \sim \vartriangle EAF \Rightarrow \frac{QC}{QB}=\frac{AF}{AE}.
Όμως λόγω Ceva και BF=CE, είναι \frac{AF}{AE}=\frac{DC}{DB}.
Όποτε \frac{QC}{QB}=\frac{DC}{DB}, δηλαδή QD διχοτόμος της γωνίας \angle CQB.
Όποτε θα περάσει από το L. ;)


Κορυφή
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2715
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συνευθειακά σημεία...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Δεκ 20, 2025 6:24 pm

giannimani έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 20, 2025 9:55 am
 Στις πλευρές AB, AC ενός μη ισοσκελούς τριγώνου ABC θεωρούμε τα σημεία F, E αντίστοιχα, τέτοια ώστε BF=CE.
Συμβολίζουμε με P το σημείο τομής των ευθειών BE και CF. Έστω ότι η ευθεία AP τέμνει την BC στο σημείο D.
Από το A φέρουμε παράλληλη της EF που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του \triangle ABC για δεύτερη φορά στο σημείο Q.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία Q, D και το μέσο του τόξου BC (έστω L), που δεν περιέχει την κορυφή A, ανήκουν στην ίδια ευθεία.
through_middle_arc.png
Εστω

FB=EC=x,AQ//EF,AF=c-x,AE=b-x,

Από το θεώρημα του Ceva στο τρίγωνο

ABC,\dfrac{BD}{DC}\dfrac{x}{b-x}\dfrac{c-x}{x}=1\Leftrightarrow \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{b-x}{c-x},(*)

Θα αποδειχθεί ότι η ευθεία QD διέρχεται από το μέσο L του τόξου BC

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCQ,\hat{EAB}=\hat{BCQ}=\nu και AQ//EF,\hat{EAF}=\hat{AFE}=\nu

Ομοίως από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AQCB,\hat{QAC}=\hat{QBC}=\theta

και EF//AQ,\hat{QAE}=\hat{AEF}=\theta Αρα τα τρίγωνα BQC,AEF είναι όμοια

Οπότε \dfrac{QC}{AF}=\dfrac{BQ}{AE}

Δηλαδή η QD είναι η διχοτόμος της γωνίας BQC
Συνημμένα
Συνευθειακά σημεία.png
Συνευθειακά σημεία.png (20.23 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες