Πέντε διαδοχικοί φυσικοί, με κάποια σειρά.

#1

.
Οι $A,\,B,\,C,\, D,\, E$ είναι πέντε διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, αλλά όχι απαραίτητα με αυτήν την σειρά. Αν ισχύει A+B=69

και

, ποιοι είναι οι πέντε αριθμοί;

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας).

Fotis34 · #2

Καλησπέρα!

Έστω οι πέντε διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί:
$\displaystyle{k,\; k+1,\; k+2,\; k+3,\; k+4}$ .

Αφού
$\displaystyle{A+B=69,}$ $\displaystyle{ \quad C+D=72 }$ με πρόσθεση κατά μέλη : $\displaystyle{A+B+C+D=141}$ , το άθροισμα των τεσσάρων.

Το άθροισμα και των πέντε:
$\displaystyle{ k+(k+1)+(k+2)+(k+3)+(k+4)=5k+10. }$

Επομένως προκύπτει η εξίσωση:
$\displaystyle 5k+10 = 141 + E, \quad E \in \{k,k+1,k+2,k+3,k+4\}.$

Θα δοκιμάσουμε κάθε περίπτωση:

• $\displaystyle{E=k}$ , τότε από την εξίσωση προκύπτει : $\displaystyle{k=32,75}$ , άτοπο αφού πρέπει να είναι φυσικός.
• $\displaystyle{E=k+1}$ , τότε από την εξίσωση προκύπτει : $\displaystyle{k=33}$ , το οποίο είναι δεκτό.
• $\displaystyle{E=k+2}$ , τότε από την εξίσωση προκύπτει : $\displaystyle{k=33,25}$ , άτοπο αφού πρέπει να είναι φυσικός.
• $\displaystyle{E=k+3}$ , τότε από την εξίσωση προκύπτει : $\displaystyle{k=33,5}$ , άτοπο αφού πρέπει να είναι φυσικός.
• $\displaystyle{E=k+4}$ , τότε από την εξίσωση προκύπτει : $\displaystyle{k=32,75}$ , άτοπο αφού πρέπει να είναι φυσικός.

Επομένως έχουμε μόνο μια δεκτή περίπτωση.

Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι : $\displaystyle{33,34,35,36,37}$ .

#3

εκτός από την μικρή προσθήκη ότι πρέπει να δείξεις ότι οι υποθέσεις A+B=69, C+D= 72

είναι εφεικτές.

Ακολουθεί παρόμοια λύση αλλά με λίγο λιγότερη περιπτωσιολογία:

Έστω οι πέντε διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί είναι οι $\displaystyle{k,\; k+1,\; k+2,\; k+3,\; k+4}$ .

Άρα $k + (k+1) \le A+B=69$ από όπου $k \le 34$ . Επίσης $(k+3) + (k+4) \ge C+D =72$ , από όπου $k \ge 32,5$ και άρα (ως ακέραιος) $k\ge 33$ .

Δηλαδή είναι k=33

ή

, που σημαίνει ότι οι αριθμοί είναι οι $33, \,34,\, 35,\, 36,\, 37,$ ή οι $34, \,35,\, 36,\, 37,\, 38$ .

Η δεύτερη απορρίπτεται γιατί υπάρχει μόνο ένας τρόπος να έχουμε άθροισμα

, ο

, αλλά τότε με τους υπόλοιπους αριθμούς, τους 36, 37, 38

δεν μπορούμε να έχουμε άθροισμα

(το μικρότερο δυνατό είναι το 36+37=73>72

.

H πρώτη εκδοχή είναι δεκτή γιατί μπορούμε να έχουμε A=33, B=36

οπότε

, και

με

, και

.

Πέντε διαδοχικοί φυσικοί, με κάποια σειρά.

Πέντε διαδοχικοί φυσικοί, με κάποια σειρά.

Re: Πέντε διαδοχικοί φυσικοί, με κάποια σειρά.

Re: Πέντε διαδοχικοί φυσικοί, με κάποια σειρά.

Μέλη σε σύνδεση