Επίκυκλος

KARKAR · #1

: Επίκυκλος.png (19.77 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές

Στην χορδή CD=8

, η οποία είναι παράλληλη προς την διάμετρο AB=10

του ημικυκλίου μας ,

κινείται σημείο

. Οι

, ξανατέμνουν το τόξο , στα σημεία Q,P

, αντίστοιχα .

Υπολογίστε την διάμετρο του κύκλου ( P , S , Q )

, συναρτήσει του

. Εφαρμογή για : SD=3

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 12, 2026 5:16 pm
Επίκυκλος.pngΣτην χορδή , η οποία είναι παράλληλη προς την διάμετρο του ημικυκλίου μας ,

κινείται σημείο . Οι , ξανατέμνουν το τόξο , στα σημεία , αντίστοιχα .

Υπολογίστε την διάμετρο του κύκλου , συναρτήσει του . Εφαρμογή για : .

.

: επικ.png (29.96 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές

.
Θέτουμε SD=a

. Aν

το μέσον της

τότε

και $MO=SG= \sqrt {5^2-4^2}=3$ . Eπίσης OG=MS=4-a

και

.

Επειδή $\theta =\phi$ (γωνίες στο ίδιο τόξο) και $\phi=\omega$ (παραλληλία), είναι $\theta = \omega$ , οπότε ο κύκλος PSQ

εφάπτεται της

.

Φέρνουμε $SG\perp AB$ και την προεκτείνουμε μέχρι το

στον κύκλο. Άρα η

ως κάθετη της

διέρχεται από το

.

(Υπόψη ότι οι KG, AQ, BC

είναι τα ύψη του τριγώνου ΚΑΒ

και

το ορθόκεντρο, αλλά δεν θα το χρησιμοποιήσω.)

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων KGB, ASG

έχουμε $\dfrac {KG}{GB}= \dfrac {AG}{GS}$ , ισοδύναμα $\dfrac {KG}{1+a}= \dfrac {9-a}{3}$ .

Άρα η ζητούμενη διάμετρος $SK= KG-SG= \dfrac {(9-a)(1+a)}{3}-3= \boxed {\dfrac {8a-a^2}{3}}$ , εδώ

.

KARKAR · #3

Πρόκειται για λύση - μοντέλο

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 12, 2026 5:16 pm
Επίκυκλος.pngΣτην χορδή , η οποία είναι παράλληλη προς την διάμετρο του ημικυκλίου μας ,

κινείται σημείο . Οι , ξανατέμνουν το τόξο , στα σημεία , αντίστοιχα .

Υπολογίστε την διάμετρο του κύκλου , συναρτήσει του . Εφαρμογή για : .

Επειδή

εγγράψιμμο, ο κύκλος (P,S,Q)

περνά από το

κι επειδή

ορθόκεντρο του

τριγώνου ABE

θα είναι $ES \bot AB\Rightarrow ES \bot CD$

Είναι ND=NC=4

κι από Π.Θ στο $\triangle ODN \Rightarrow ON =3$ .

Είτε το

είναι δεξιά του

είτε αριστερά του θα είναι NS=4-m=OL

Επειδή οι πράσινες σημειωμένες γωνίες του σχήματος προφανώς είναι ίσες,η

εφάπτεται του κύκλου (K,r)

άρα $OP \bot PK$

Με Π.Θ στο τρίγωνο $KPO \Rightarrow r^2+25=KO^2=(3+r)^2+(4-m)^2 \Rightarrow 2r= \dfrac{8m-m^2}{3}$

Για την εφαρμογή , 2r=5

: Επίκυκλος.png (46.84 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 12, 2026 5:16 pm
Επίκυκλος.pngΣτην χορδή , η οποία είναι παράλληλη προς την διάμετρο του ημικυκλίου μας ,

κινείται σημείο . Οι , ξανατέμνουν το τόξο , στα σημεία , αντίστοιχα .

Υπολογίστε την διάμετρο του κύκλου , συναρτήσει του . Εφαρμογή για : .

Έστω

η διάμετρος του ζητούμενου κύκλου. Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

$\displaystyle S{L^2} = C{E^2} = AE \cdot EB = 9 \Leftrightarrow SL = CE = 3.$ Είναι ακόμα,

$\displaystyle a(8 - a) = AS \cdot SQ = BS \cdot SP \Leftrightarrow {a^2}{(8 - a)^2} = (SA \cdot SB)(SP \cdot SQ)$

: Επίκυκλος.Κ.png (22.56 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές

Άρα, $\displaystyle SA \cdot SB = \frac{{{a^2}{{(8 - a)}^2}}}{{SP \cdot SQ}}.$ Αλλά λόγω ομοιότητας των τριγώνων SAB, SPQ,

$\displaystyle \frac{{(SAB)}}{{(SPQ)}} = \frac{{SA \cdot SB}}{{SP \cdot SQ}} = \frac{9}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}{{(8 - a)}^2}}}{{{{(SP \cdot SQ)}^2}}} = \frac{9}{{{x^2}}} \Leftrightarrow a(8 - a) = \frac{{3SP \cdot SQ}}{x} = \frac{{3 \cdot 2Rx}}{x},$

απ' όπου $\displaystyle 2R = \frac{{a(8 - a)}}{3}\mathop = \limits^{a = 3} 5$

Επίκυκλος

Επίκυκλος

Re: Επίκυκλος

Re: Επίκυκλος

Re: Επίκυκλος

Re: Επίκυκλος

Μέλη σε σύνδεση