ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

[Ιωάννης Μελισσουργός]

Ένας άλλος τρόπος για το 2ο της Γ Λυκείου

Έστω ότι μπορούμε να διαμερίσουμε το στα με

Τότε

Όμως

Άρα πρέπει ένας άρτιος να ισούται με έναν περιττό, πράγμα άτοπο. Συνεπώς δε μπορούμε να διαμερίσουμε το ώστε να ικανοποιείται το πρόβλημα.

[Fotis34]

Γ Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Έχουμε:























Άρα, αφού

[Hristaras]

Ερώτηση για πρόβλημα 2 Γ Γυμνασίου.

[Fotis34]

Ερώτηση για πρόβλημα 2 Γ Γυμνασίου.

Ναι!

[add2math]

ευκλείδης β λυκειου 2026.png (25.65 KiB) Προβλήθηκε 1302 φορές

α) Έχω (ως εξωτερική στο τρίγωνο ΑΔΓ).
Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε:
Άρα . και ομοίως στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΕΓ έχω .
Αλλά ως κατακορυφήν συνεπώς .
Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΔΓ είναι ίσα (ΠΓΠ) άρα και συνεπώς , δηλαδή τα σημεία Β,Ι και Γ είναι ομοκυκλικά με κέντρο το Ε.
Άρα η εγγεγραμμένη , συνεπώς η BI είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΒΔ και το σημείο Ι είναι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.
β) Από το τρίγωνο ΙΒΔ έχω και επειδή το τρίγωνο ΒΙΕ είναι ισοσκελές () θα είναι και ισόπλευρο.

[Hristaras]

Στο πρόβλημα 2 της Γ Γυμνασίου έβγαλα ότι δεν υπάρχει κατάλληλος ν ώστε ο Α να είναι τετράγωνο ακεραίου και ο Β κύβος ακεραίου. Είμαι σχεδόν σίγουρος ότι το έχω κάνει λάθος όμως θέλω να το επιβεβαίωσω. Παρόλα αυτά τα υπόλοιπα προβλήματα τα έλυσα σχετικά ευκολα

[Fotis34]

Στο πρόβλημα 2 της Γ Γυμνασίου έβγαλα ότι δεν υπάρχει κατάλληλος ν ώστε ο Α να είναι τετράγωνο ακεραίου και ο Β κύβος ακεραίου. Είμαι σχεδόν σίγουρος ότι το έχω κάνει λάθος όμως θέλω να το επιβεβαίωσω. Παρόλα αυτά τα υπόλοιπα προβλήματα τα έλυσα σχετικά ευκολα

Ναι, και εγώ πιστεύω , ότι σε σχέση με άλλες χρονιές ήταν λίγο πιο δύσκολο. Αν γνωρίζεις mod, νομίζω μπορείς να βγάλεις κάτι. Προσπαθώ τώρα...

[Ιωάννης Μελισσουργός]

Στο πρόβλημα 2 της Γ Γυμνασίου έβγαλα ότι δεν υπάρχει κατάλληλος ν ώστε ο Α να είναι τετράγωνο ακεραίου και ο Β κύβος ακεραίου. Είμαι σχεδόν σίγουρος ότι το έχω κάνει λάθος όμως θέλω να το επιβεβαίωσω. Παρόλα αυτά τα υπόλοιπα προβλήματα τα έλυσα σχετικά ευκολα

Η ελάχιστη τιμή είναι . Αυτό το βλέπεις αν γράψεις τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:
και και από εκεί προχωράς

[Hristaras]

Δεν μου πέρασε καθόλου από το μυαλό η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Πραγματικά, ήταν το πρώτο που θα έπρεπε να σκεφτώ.

[Mihalis_Lambrou]

Γ λυκείου 2ο
Το σύνολο Α έχει 1013 περιττούς κ 1012 άρτιους
Κάθε περιττός στην γραφή του ως άθροισμα μπορεί να περιέχει 1 ή 3 περιττούς
Κάθε άρτιος 2 ή 4 ή 0
Δηλαδή σε κάθε περίπτωση γίνεται χρήση απ' το σύνολο Α άρτιου αριθμού περιττών αριθμών
Εάν μπορούσε να διαχωριστούν κατά την εκφώνηση θα ίσχυε
1013 αρτιος
άτοπο

Μπορείτε να γράψετε την λύση πιο αναλυτικά διότι δεν καταλαβαίνω τους ισχυρισμούς με κόκκινο.

.
Νομίζω ότι είναι εντάξει. Ο ίδιος θα έδινα πλήρεις μονάδες στον μαθητή.

Για να διευκολύνω, γράφω το ίδιο λίγο αναλυτικότερα αν και, τονίζω, κατά την γνώμη μου ο μαθητής έχει γράψει (έστω συνοπτικά) όλα όσα απαιτούνται.

Κοιτάμε μία από τις πεντάδες. Αν ο αριθμός που γράφεται ως άθροισμα των υπολοίπων είναι περιττός, τότε οι προσθετέοι περιέχουν ή περιττούς (άμεσο). Άρα η πεντάδα αυτή περιέχει συνολικά ή περιττούς.

Αν ο αριθμός που γράφεται ως άθροισμα των υπολοίπων είναι άρτιος, τότε οι προσθετέοι περιέχουν ή ή άρτιους (άμεσο). Άρα η πεντάδα αυτή περιέχει συνολικά ή ή άρτιους και άρα ή ή περιττούς.

Δηλαδή σε κάθε περίπτωση πεντάδας γίνεται χρήση απ' το σύνολο άρτιου πλήθους περιττών αριθμών, και άρα συνολικά είναι άρτιο το πλήθος τους. Άτοπο, γιατί υπάρχουν περιττοί.

[Σωτ.Μαζ]

Ποια λύση θα προτείνατε για το τέταρτο θέμα της β γυμνασίου; Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλους τους συμμετέχοντες και καλή πορεία στις επόμενες φάσεις

[Fotis34]

Η ιδέα, πίσω από το Πρόβλημα 3 της Β και Γ Γυμνασίου ( με μικρή διαφορά ). Είναι και αυτό που παρουσιάζω στην εικόνα, και μετά λύνοντας το σύστημα, για το (β) ερώτημα. Για το (α) ερώτημα αφού το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές και η ΑΖ διχοτόμος, άρα και διάμεσος προς τη βάση ΒΕ και ύψος του τριγώνου. Αφού είναι διάμεσος το Ζ είναι το μέσο του ΒΕ δηλαδή ισαπέχει από τα σημεία Β και Ε, και άρα ΒΖ=ΖΕ.

[Fotis34]

Ποια λύση θα προτείνατε για το τέταρτο θέμα της β γυμνασίου;

Δες στο ποστ #12.

[ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ]

Θα μπορούσε κάποιος να αναρτήσει την λύση για τα θέματα 3 και 2 της Β' Γυμνασίου; Έλυσα και τα 4 θέματα και αυτά τα δύο είναι τα μόνα που δεν είμαι 100% σίγουρος πως τα έλυσα σωστά, ειδικά το θέμα 2.
Ευχαριστώ

[Σωτ.Μαζ]

Αστοχία μου μεγάλη ,δεν το είχα διαβάσει. Ευχαριστώ πολύ

[Τσιαλας Νικολαος]

Καλησπέρα σε όλους. Λίγο "κλασικά" τα θέματα σήμερα. Ίσως μπορούσε να επιλεχθεί κάποιο άλλο για πρώτο θέμα της Γ' λυκείου μιας και έχει πέσει ίδιο στον Ευκλείδη το 2012. Καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά!

[NewMember]

Στο θέμα της γεωμετρίας της Β γυμνασίου βρήκατε τιμή γωνίας ή αποτέλεσμα σε σχέση με την γωνία ω? Θεωρώ ότι τα θέματα της Β τάξης ήταν εύκολα και της Γ πιο δύσκολα. Σε κάθε όμως περίπτωση θα πρέπει κάποιος να έχει δουλέψει παλιότερα θέματα.

[ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ]

Στη Β Γυμνασίου στην γεωμετρία βρήκα κανονική τιμή γωνίας, όχι σε συνάρτηση του ω, αφού το πρόβλημα ζητούσε να βρεθεί το μέτρο της γωνίας και όχι να βρεθεί το μέτρο της γωνίας συναρτήσει του ω.

[NewMember]

Η ιδέα, πίσω από το Πρόβλημα 3 της Β και Γ Γυμνασίου ( με μικρή διαφορά ). Είναι και αυτό που παρουσιάζω στην εικόνα, και μετά λύνοντας το σύστημα, για το (β) ερώτημα. Για το (α) ερώτημα αφού το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές και η ΑΖ διχοτόμος, άρα και διάμεσος προς τη βάση ΒΕ και ύψος του τριγώνου. Αφού είναι διάμεσος το Ζ είναι το μέσο του ΒΕ δηλαδή ισαπέχει από τα σημεία Β και Ε, και άρα ΒΖ=ΖΕ.

Και το β ερώτημα?

[NewMember]

Στη Β Γυμνασίου στην γεωμετρία βρήκα κανονική τιμή γωνίας, όχι σε συνάρτηση του ω, αφού το πρόβλημα ζητούσε να βρεθεί το μέτρο της γωνίας και όχι να βρεθεί το μέτρο της γωνίας συναρτήσει του ω.

Σωστά! Ίση με 10 μοίρες?.