Λόγος για αριθμητική πρόοδο

KARKAR · #1

: Λόγος για αριθμητική πρόοδο.png (4.31 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές

Στην προέκταση της πλευράς

του ορθογωνίου ABCD

θεωρούμε σημείο

και φέρουμε τις SC , SD

. Σκαρώστε το σχήμα έτσι , ώστε να είναι : $\dfrac{SC}{SD}=\dfrac{2}{3}$

και τα SB , BA , AD

, να είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 23, 2026 9:52 pm
Λόγος για αριθμητική πρόοδο.pngΣτην προέκταση της πλευράς του ορθογωνίου θεωρούμε σημείο

και φέρουμε τις . Σκαρώστε το σχήμα έτσι , ώστε να είναι : $\dfrac{SC}{SD}=\dfrac{2}{3}$

και τα , να είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου .

Πρώτα-πρώτα το

πρέπει να ανήκει στην ευθεία

. Θα ανήκει και στο Απολλώνιο κύκλο

του οποίου όλα τα σημεία έστω

έχουν την ιδιότητα , $\dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{2}{3}$ . Έτσι η ακτίνα του $R = \dfrac{{DC}}{{|\dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{2}|}} = \dfrac{{6AB}}{5}$ .

: Λόγος για αριθμητική πρόοδο.png (20.06 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές

Αν θέσω

θα είναι : $DE = 3m\,\,,\,\,EC = 2m\,\,,\,\,CL = 4m\,\,\,,\,\,EL = 6m$ . (

η εσωτερική διχοτόμος του $\vartriangle SCD$ )

Επειδή όμως απαιτούμε , x + y = 10m

υπάρχει μια , (επί της ουσία) λύση .

Με $AB = 5m\,\,$ θα είναι $SB = 4m\,\,,\,\,BC = AD = 6m$ και ο κύκλος εφάπτεται της

στο σημείο

.

Nikitas K. · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 23, 2026 9:52 pm
Λόγος για αριθμητική πρόοδο.png Στην προέκταση της πλευράς του ορθογωνίου θεωρούμε σημείο

και φέρουμε τις . Σκαρώστε το σχήμα έτσι , ώστε να είναι : $\dfrac{SC}{SD}=\dfrac{2}{3}$

και τα , να είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου .

Θέτοντας

,

και

τότε:

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle BSC$ έχουμε:
$(a+x)^2 + (a-x)^2 = (2k)^2 \Leftrightarrow a^2 + x^2 = 2k^2 \quad \color{blue} (0)$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle ADS$ έχουμε:
$(a+x)^2 + (a+a-x)^2 = (3k)^2\Leftrightarrow 5a^2 + 2x^2 = 9k^2 + 2ax \quad \color{blue} (1)$

Η σχέση $\color{blue} (1)$ λόγω της σχέσης $\color{blue} (0)$ γίνεται:
$3a^2 + 4k^2 = 9k^2 + 2ax\Leftrightarrow x = \dfrac{3a^2-5k^2}{2a} \quad \color{blue} (2)$

Επιστρέφοντας στη σχέση $\color{blue} (0)$ έχουμε ότι:
$4a^4 + (2ax)^2 = 8a^2k^2 \overset{{\color{blue}(2)}}\Leftrightarrow 4a^4 + (3a^2-5k^2)^2 = 8 a^2k^2\Leftrightarrow 13a^4 + 25k^4 = 38 a^2k^2$

Θέτοντας $y = \dfrac{a^2}{k^2}$ παίρνουμε ότι:

$13y + \dfrac{25}{y} = 38$ με προφανή ρίζα το

Με χρήση του σχήματος Horner στο τριώνυμο 13y^2 -38y + 25

προκύπτει ότι η άλλη ρίζα είναι $\dfrac{25}{13}$

Στην πρώτη περίπτωση όπου η ρίζα είναι το

παίρνουμε ότι k = a

τότε

λόγω της σχέσης $\color{blue} (2)$ οπότε AD = 0

που είναι άτοπο.

Στη δεύτερη περίπτωση όπου η ρίζα είναι το $\dfrac{25}{13}$ έχουμε ότι $k = \dfrac{a\sqrt{13}}{5}$ συνεπάγεται ότι $x=\dfrac{a}{5}$ οπότε $AD = \dfrac{6a}{5}$ , AB = a

και $BS = \dfrac{4a}{5}$

Κατασκευή:

: Λόγος για αριθμητική πρόοδο.png (33.52 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

abgd · #4

Nikitas K. έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 24, 2026 3:49 am

Θέτοντας , , και τότε:

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle BSC$ έχουμε:
$(a+x)^2 + (a-x)^2 = (2k)^2 \Leftrightarrow a^2 + x^2 = 2k^2 \quad \color{blue} (0)$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle ADS$ έχουμε:
$(a+x)^2 + (a+a-x)^2 = (3k)^2\Leftrightarrow 5a^2 + 2x^2 = 9k^2 + 2ax \quad \color{blue} (1)$

Νικήτα στο σημείο αυτό, νομίζω, επέλεξες μια δύσκολη διαδρομή για την επίλυση. Θα μπορούσες να κάνεις και αυτό:

Στις ισότητες $\color{blue} (1)$ και $\color{blue} (0)$ επιλύοντας ως προς k^2

προκύπτει η ισότητα

$\boxed{a^2-4ax-5x^2=0}$

Επιλύοντας ως προς

έχουμε:

και έτσι θα είναι: AB = 5x

,

και το ζητούμενο έπεται εύκολα για οποιοδήποτε x>0

.

abgd · #5

Μία διαφορετική προσέγγιση...

Θέτοντας AB = a

,

τότε: Αν υπάρχουν a,x

τέτοια ώστε

$\dfrac{BS}{AD}=\dfrac{BC}{AS}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow\dfrac{a-x}{a+x}=\dfrac{a+x}{2a-x}=\dfrac{2}{3}$ , τότε από την ομοιότητα των τριγώνων BSC, ADS

, θα έχουμε το ζητούμενο.

Εύκολα βρίσκουμε ότι αυτό συμβαίνει για a=5x, x>0

....

#6

Στο αρχικό σχήμα του Θανάση, θέτω BS=a-x, AB=a, AD=a+x

και με Π.Θ στα τρίγωνα BSC, ADS

έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} S{C^2} = 2{a^2} + 2{x^2} \\ S{D^2} = 2{x^2} - 2ax + 5{a^2} \\ \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\frac{{SC}}{{SD}} = \frac{2}{3}} \frac{{2{a^2} + 2{x^2}}}{{2{x^2} - 2ax + 5{a^2}}} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow 5{x^2} + 4ax - {a^2} = 0,$

απ' όπου $x=\dfrac{a}{5}$ και $\boxed{AB=a, AD=\frac{6a}{5}, BS=\frac{4a}{5}}$

Nikitas K. · #7

abgd έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 24, 2026 10:18 am

Nikitas K. έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 24, 2026 3:49 am

Θέτοντας , , και τότε:

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle BSC$ έχουμε:
$(a+x)^2 + (a-x)^2 = (2k)^2 \Leftrightarrow a^2 + x^2 = 2k^2 \quad \color{blue} (0)$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle ADS$ έχουμε:
$(a+x)^2 + (a+a-x)^2 = (3k)^2\Leftrightarrow 5a^2 + 2x^2 = 9k^2 + 2ax \quad \color{blue} (1)$

Νικήτα στο σημείο αυτό, νομίζω, επέλεξες μια δύσκολη διαδρομή για την επίλυση. Θα μπορούσες να κάνεις και αυτό:

Στις ισότητες $\color{blue} (1)$ και $\color{blue} (0)$ επιλύοντας ως προς προκύπτει η ισότητα

$\boxed{a^2-4ax-5x^2=0}$

Επιλύοντας ως προς έχουμε: και έτσι θα είναι: , , και το ζητούμενο έπεται εύκολα για οποιοδήποτε .

κ. Κώστα έχετε δίκιο και σας ευχαριστώ που το επισημάνατε!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 23, 2026 9:52 pm
Λόγος για αριθμητική πρόοδο.pngΣτην προέκταση της πλευράς του ορθογωνίου θεωρούμε σημείο

και φέρουμε τις . Σκαρώστε το σχήμα έτσι , ώστε να είναι : $\dfrac{SC}{SD}=\dfrac{2}{3}$

και τα , να είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου .

Το τραπέζιο DEZC

είναι ισοσκελές κι ο Πτολεμαίος δίνει

$y(2x+y)+m^2= \dfrac{9m^2}{4} \Rightarrow 4y(2x+y)=m^2=z^2+x^2$

Θέτοντας $y= \dfrac{x+z}{2}$ κι εκτελώντας απλές πράξεις καταλήγουμε στην $z= \dfrac{3x}{2}$ κι εύκολα τώρα $\dfrac{z}{y}= \dfrac{6}{5}$

: Λόγος για αριθμητική πρόοδο.png (31.17 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές

Λόγος για αριθμητική πρόοδο

Λόγος για αριθμητική πρόοδο

Re: Λόγος για αριθμητική πρόοδο

Re: Λόγος για αριθμητική πρόοδο

Re: Λόγος για αριθμητική πρόοδο

Re: Λόγος για αριθμητική πρόοδο

Re: Λόγος για αριθμητική πρόοδο

Re: Λόγος για αριθμητική πρόοδο

Re: Λόγος για αριθμητική πρόοδο

Μέλη σε σύνδεση