Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

#1

Καλημέρα σε όλους. Σε αυτήν την ανάρτηση ας τεθούν για συζήτηση μερικά από τα νέα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α' Λυκείου, που αναρτήθηκαν τον Σεπτέμβριο 2025, ΕΔΩ.

Τα θέματα αναπτύχθηκαν στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στο μάθημα της Άλγεβρας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου», οπότε, προφανώς, θέλουν να προσομοιάζουν με το ύφος των θεμάτων του προγράμματος PISA. Κάποια εξ αυτών είναι θέματα του PISA με κάποιες παραλλαγές και προσθήκες.

Κάποια σχόλια, ενστάσεις, ιδέες και προτάσεις θα ακολουθήσουν σε επόμενες αναρτήσεις (αν και εφόσον υπάρχει ενδιαφέρον να γίνει συζήτηση, όπως είχαμε κάνει το 2014 στην πρώτη παρουσίαση της Τράπεζας θεμάτων).

Θα ξεκινήσω με ένα απλό στη διατύπωση θέμα, για το οποίο θα ήθελα τη γνώμη και τις γνώσεις σας σε δύο σημεία:

: 38846 (a).jpg (220.02 KiB) Προβλήθηκε 3240 φορές

: 38846 (b).jpg (156.26 KiB) Προβλήθηκε 3240 φορές

1ον) Εφόσον η αθλήτρια, προφανώς δεν εκτοξεύεται από το νερό στο σημείο Β, ποιος ο λόγος να δοθεί στους μαθητές η τιμή $f(1,19) \cong 3$ ;

2ον) Οι θέσεις της αθλήτριας κατά τη διάρκεια μιας βουτιάς μπορούν να θεωρηθούν σημεία πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης που δίνεται. Οι τεταγμένες των σημείων δίνουν το ύψος στο οποίο βρίσκεται η αθλήτρια (ας δεχτούμε ότι μπορεί να θεωρηθεί σημείο) κατά τη διάρκεια της βουτιάς.
Αναρωτιέμαι, η τετμημένη

ποιο φυσικό μέγεθος παριστάνει; Χρόνο άραγε; Με αρνητικές τιμές; Ή κάτι άλλο;

kostas.zig · #2

Γιώργο καλό μεσημέρι, όπως και σε όλους τους συναδέλφους!
Δεν είχα μπει στη διαδικασία να δω νέα θέματα. Ευχαριστούμε που το έκανες Γιώργο και δίνεις ιδέες για συζήτηση.

Πιστεύω για το ερώτημα 1) ότι πράγματι δεν έπρεπε να δοθεί. Για το 2) εκτιμώ ότι ο θεματοδότης χρησιμοποιεί την τροχιά ως σχήμα που η κίνηση (μάλλον με τον χρόνο θα ήταν αυτής της μορφής). Εκτιμώ ότι αυτό το σχήμα το δίνει πάνω σε ένα σύστημα αξόνων (κάπου θεωρεί ότι υπάρχει αρχή) και ένας χάρτης που δείχνει την θέση σε σχεση με αυτό ως συντεταγμένες στον χάρτη με οριζόντιο άξονα την επιφάνεια του νερού και κατακόρυφο; ( μάλλον έπρεπε να δοθεί τι θα παριστάνει στην προσομοίωση).

Οι παρατηρήσεις σου εύστοχες, όπως πάντα Γιώργο! Θα μπορούσε να είναι και ερωτήσεις από έναν μαθητή είτε αυθόρμητα είτε μετά από κάποιο αναστοχασμό. Ας δώσει και κάποιος άλλος συνάδελφος τις σκέψεις του πάνω στα ερωτήματα του Γιώργου.

VASILIS_VLH · #3

Γειά σας,
Καλό θα ήταν για λόγους ευκολίας η γραφική παράσταση να ήταν μετατοπισμένη μια μονάδα δεξιά, ώστε να μην υπάρχουν
αρνητικές τιμές για το x. Επιπλέον, να μην συνεχίζεται πέρα απο το Β, που είναι το σημείο εξόδου, όπως προαναφέρθηκε.
Κατά τα άλλα, ωραίο θέμα.

Φιλικά, Βασίλης

#4

Καλησπέρα σας. Ευχαριστώ τον Κώστα και τον Βασίλη για την ενασχόληση.

Η μετατόπιση δεξιά θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη του

, για να μην έχουμε αρνητικό χρόνο, που προφανώς παριστάνει το

.

Δυστυχώς, όμως, δεν μπορεί να γίνει η μετατόπιση ώστε η βουτιά να ξεκινά σε χρόνο

, γιατί οι ακριβείς συντεταγμένες του

είναι $\displaystyle A\left( \frac{-1}{\sqrt{\frac{3}{-1+\sqrt[3]{\frac{133}{2}-\frac{3\sqrt{1965}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left( 133+3\sqrt{1965} \right)}}}},3 \right)$ , οπότε ο τύπος της συνάρτησης θα ήταν εξωπραγματικός...

Η παρατήρησή μου είναι ότι το θέμα αυτό, απλό στο μαθηματικό του περιεχόμενο (σχετικά με άλλα της ίδιας ομάδας), ΔΕΝ είναι στο ύφος των θεμάτων του PISA, εφόσον δεν απεικονίζει μια ρεαλιστική κατάσταση και αφήνει αναπάντητη τη φυσική ερμηνεία των μεταβλητών που χρησιμοποιεί. Π.χ. απαντάμε στο ερώτημα βii ότι η αθλήτρια είναι εκτός του νερού όταν $-1,19 \le x <-1)$ . Και λοιπόν; Τι σημαίνει αυτό; Πώς συνδέεται με κάποια πραγματική κατάσταση που υποτίθεται ότι περιγράφει;

Να σημειώσω και κάτι άλλο: Στο τελευταίο ερώτημα ζητείται απόσταση σημείων με γνωστές συντεταγμένες. Όμως οι οδηγίες διδασκαλίας είναι σαφείς:
Η συζήτηση της «Απόστασης σημείων» αναδεικνύει τη χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος και μπορεί να βοηθήσει στην κατανόηση πλευρών του συστήματος συντεταγμένων (σύνδεση του μήκους τμήματος με τις συντεταγμένες σημείου). Ωστόσο, η εξάσκηση των μαθητών/-τριών σε πράξεις και αλγεβρικούς υπολογισμούς με αφορμή τον τύπο της απόστασης δεν υποστηρίζει αυτή την κατανόηση και προτείνεται η αποφυγή της.

Είναι ηθικά σωστό να ζητά η Τράπεζα Θεμάτων κάτι που οι οδηγίες μάς λένε να αποφύγουμε να διδάξουμε;

Ας περάσουμε όμως σε ένα επόμενο θέμα.

: πλεκτό a.jpg (78.27 KiB) Προβλήθηκε 3100 φορές

: πλεκτό b.jpg (69.75 KiB) Προβλήθηκε 3100 φορές

Δεν δίνω ακόμα την αρίθμησή του. Προτείνω σε όποιον συνάδελφο διδάσκει Α΄ Λυκείου (ή και όχι ...) να δοκιμάσει να δώσει πλήρη απάντηση, κάνοντας τις πράξεις ΔΙΧΩΣ κομπιουτεράκι και να χρονομετρήσει τη λύση του. Οι δύσκολες πράξεις δίνονται στην εκφώνηση.

Θα χαρώ να διαβάσω τα σχόλια σας.

kostas.zig · #5

Αναρτώ μια απάντηση, στο 2ο θέμα που έβαλε ο Γιώργος. Το θέμα το έλυσα, "υποψιαζόμενος" το σκεπτικό του θεματοδότη. Μου πήρε περίπου 15-20 λεπτά, χαλαρά έκανα και κάτι άλλο. Τώρα, όταν γράφω το παραπάνω, αναφέρομαι κυρίως στην αιτιολόγηση.

Δεν μπορώ να κάνω αιτιολόγηση αφού μιλάμε για την Α' Λυκείου όπου η απόδειξη είναι το ζητούμενο (η υποψία μέσα από ένα μοτίβο δεν μπορεί να είναι αποδεκτή).

Θα χαιρόμουν να ακούσω τις απόψεις και άλλων συναδέλφων!

#6

Kαλησπέρα σε όλους. Το παραπάνω θέμα ήταν το 38804 της τράπεζας θεμάτων. Θα γράψω μερικά σχόλια σχετικά με αυτό, επειδή με ανησυχεί η απαθής αντιμετώπιση εκ μέρους της μαθηματικής κοινότητας ως προς την ουσία των διαφαινόμενων αλλαγών στο περιεχόμενο της μαθηματικής μας εκπαίδευσης.

Ελπίζω να διαψευστώ σύντομα και η αντίδραση των μάχιμων εκπαιδευτικών που έρχονται σε επαφή με τους μαθητές μας καθημερινά να επαναφέρει την απαιτούμενη ισορροπία, την οποία, πιστεύω ότι, αλλοιώνει η προσθήκη των νέων θεμάτων στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου, που υποτίθεται ότι είναι στο πνεύμα του problem solving και του ύφους του PISA.

Να σημειώσω εδώ ότι σε πλήρη αντίθεση με τα παραπάνω, τα μαθηματικά θέματα που έχω δει (όλα νομίζω) του ιστότοπου skills4life και αφορούν τό ίδιο αντικείμενο, βρίσκονται όλα ανεξαιρέτως στο πνεύμα του PISA, είναι εξαιρετικό εργαλείο ενίσχυσης της κριτικής ικανότητας των μαθητών και τα συνιστώ ανεπιφύλακτα για χρήση σε τάξεις όχι μόνο της Α΄Λυκείου, αλλά και του Γυμνασίου.

Ας ασχοληθούμε με το πρόβλημα. Θα συνιστούσα, πρώτα να απαντήσετε στις ερωτήσεις του θέματος και κατόπιν να διαβάσετε τα παρακάτω, για να μην επηρεαστεί η κρίση σας.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#7

Στο θέμα με το πλέξιμο ,στο γ ii) τι εννοεί με τη φράση : " ...και επιπλέον κάποια μεμονωμένα σχήματα..." ;

#8

Θέμα 38791

: 38791 (a).jpg (141.08 KiB) Προβλήθηκε 2825 φορές

Θα ήθελα από όποιον θα ήθελε να απαντήσει μια διευκρίνηση στην παραπάνω εκφώνηση:

Ο αριθμός

των πωλήσεων αφορά μηνιαίες πωλήσεις ή όχι; ΔΕΝ διευκρινίζεται στην εκφώνηση. Αν όχι, τότε η εκφώνηση ΔΕΝ στέκει, αφού το κόστος είναι μηνιαίο. Αν όμως αφορά μηνιαίες πωλήσεις, τότε η εκφώνηση λέει πώς ο μαραγκός υπολογίζει την τιμή πώλησης των τραπεζιών, γνωρίζοντας πόσα πούλησε. Πώς γίνεται αυτό; Πώς τα πουλάει, αν δεν ξέρει πόσο τα πουλάει;

Δηλαδή αν αγοράσω ένα, θα μού πει τον άλλο μήνα πόσο κοστίζει, ανάλογα με το πόσα θα πουλήσει εκείνο το μήνα; Προφανώς αυτό δεν είναι εκφώνηση ρεαλιστικού προβλήματος. Δεν αντανακλά καμία πραγματική κατάσταση.

Αυτό που θέλουμε είναι οι μαθητές να μάθουν Άλγεβρα για να μπορούν, μεταξύ των άλλων, να λύνουν προβλήματα. Όχι να σκαρφιζόμαστε αλλοπρόσαλλα σενάρια, για να διδάξουμε Άλγεβρα ή ακόμα χειρότερα, για να εξετάσουμε αν ξέρουν τα παιδιά Άλγεβρα.

: 38791 (b).jpg (119.55 KiB) Προβλήθηκε 2825 φορές

: 38791 (c).jpg (81.79 KiB) Προβλήθηκε 2825 φορές

Κατά τα άλλα, τα ερωτήματα που αφορούν τη μελέτη του γραφήματος είναι καλά και χρήσιμα. Θα θέλαμε όμως και τα σενάρια να μην είναι εξωπραγματικά.

kostas.zig · #9

Γιώργο, είμαι σίγουρος ότι όλη η προσπάθεια και τα σχόλια-παρατηρήσεις που κάνεις είναι καλοπροαίρετα, με βαθιά αγάπη για τα Μαθηματικά, την ορθή διατύπωση, διόρθωση ασαφειών ή ακόμα και λαθών που περιέχουν. Σε περίπτωση "ακαταλληλότητας", σαφώς τα θέματα πρέπει να αποσύρονται.

Δεν ήμουν σίγουρος για τον τρόπο που συνεχίζανε να ανεβαίνουν θέματα (αυτά που αναφέρεις είναι νομίζω του Σεπτεμβρίου 2025) και του τρόπου ελέγχου τους (το έψαξα μόλις στο ΙΕΠ). Σίγουρα, ΔΕΝ δοκιμάζονται σε Πειραματικά ή Πρότυπα Λύκεια... Δεν είναι υποχρεωτικό και δεν το ζητάνε από το ΙΕΠ.

Χαίρομαι, που καταβάλλεις προσπάθεια να συζητηθούν στην εδώ Μαθηματική κοινότητα.

Πληροφορίες μπορεί κάποιος να βρει εδώ: https://www.iep.edu.gr/ypovoli-thematon-scholion/ όπως επίσης να κάνει σχετικά σχόλια.
Αν και δεν είσαι υποχρεωμένος, μπορείς να συμβάλλεις και εκεί με τα σχόλιά σου.

Φυσικά, θα έπρεπε να είχαν ελεγχθεί πριν ανέβουν!

#10

Καλησπέρα σε όλους.
Κώστα, οι παρατηρήσεις μου δεν αφορούν απλώς λεκτικές, συντακτικές ή έστω αριθμητικές διορθώσεις.
Αναφέρονται στην ουσία των ερωτημάτων, τα οποία κρίνω ακατάλληλα για θέματα εξετάσεων Α΄ Λυκείου και προσπαθώ να τεκμηριώσω την άποψή μου. Γι' αυτό δεν έχει καμία αξία να στείλω διορθώσεις στην ιστοσελίδα του ΙΕΠ. Άλλωστε και παλαιότερα ενημερώσαμε π.χ. για το ακατάλληλο θέμα 14477 (ΔΕΣ ΕΔΩ) με λάθος σχήμα (ετήσια έξοδα παριστάνονται με συνεχή ευθεία) και απάντηση δεν πήραμε. Μάλιστα κάπου αλλού είχαμε κάνει εκτενή συζήτηση για το θέμα αυτό.
Δυστυχώς, όταν το ΛΑΘΟΣ παραμένει για καιρό σε επίσημο διδακτικό ιστότοπο, μπορεί να αλλοιώσει και να υπονομεύσει την επιστημονική αλήθεια, αν καθιερωθεί ως επίσημα αποδεκτή λύση.

Π.χ. στο παρακάτω θέμα 38917 που έχει λάθος διατύπωση στην απάντηση, δεν επιδιώκω να διορθωθεί, αλλά να αποσυρθεί (μαζί με δεκάδες άλλα) λόγω ακαταλληλότητας.

: 38917 (a).jpg (96.96 KiB) Προβλήθηκε 2688 φορές

: 38917 (b).jpg (93.16 KiB) Προβλήθηκε 2688 φορές

Δίνω και την επίσημη απάντηση του θέματος:

: 38917 (c).jpg (124.47 KiB) Προβλήθηκε 2688 φορές

: 38917 (d).jpg (145.61 KiB) Προβλήθηκε 2688 φορές

Τυπικά το θέμα είναι εντός ύλης (6.2 γραφική παράσταση συνάρτησης). Ουσιαστικά, όμως, αφορά μελέτη παραβολών, οπότε θα είχε μεγαλύτερη αξία αν συνδυαζόταν με τη γραφική παράσταση παραβολής και αν τα ερωτήματα τίθονταν με την αξιοποίηση των γραφικών παραστάσεων. Θα ήταν πολύ ευκολότερα αν χρησιμοποιούνταν πρόγραμμα δυναμικής γεωμετρίας.

Ζητούνται ερωτήματα γεωμετρικών εννοιών (αποστάσεις) δίχως σχήμα, απλά με την επίλυση δύσκολων εξισώσεων δίχως κομπιουτεράκι. Έτσι κάνουν τα εύκολα δύσκολα.

Η ερώτηση (αii) είναι δίχως ουσιαστικό περιεχόμενο. Τι μάς απασχολεί, «πόσα ακόμα μέτρα θα πρέπει να διανύσει οριζόντια το νερό, ώστε να φτάσει στο έδαφος, από τη στιγμή που το νερό είναι σε ύψος τεσσάρων μέτρων;». Δηλαδή ζητά (με μπλεγμένη διατύπωση) την απόσταση των τετμημένων x_1, x_2

όταν

. Γιατί άραγε; Προσπαθήστε να αντιληφθείτε ρεαλιστικά τη φράση: "Το νερό, που (μη ξεχνάμε, κινείται σε παραβολική τροχιά), θα διανύσει οριζόντια 8,8 m

ή

".

Η ερώτηση που θα είχε αξία είναι: «τι παριστάνει το u(0);

». Θα δούμε παρακάτω γιατί.

Παρατηρήστε ότι στο ερώτημα (α), είναι u(0) = 3

, άρα η εκτόξευση γίνεται από μάνικα σε ύψος

μέτρων, όπως φαίνεται στην εικόνα.
Όμως στο ερώτημα (β) η συνάρτηση αλλάζει. Τώρα γίνεται h(x) = –x^2 + 10x

, οπότε

, δηλαδή τώρα η μάνικα εκτοξεύει το νερό από το επίπεδο του εδάφους. Πώς γίνεται αυτό;

Στο ερώτημα (βi) στην απάντηση λέει: «… θα πρέπει το πυροσβεστικό να τοποθετηθεί στις θέσεις

, για τις οποίες ισχύει $h(x) \ge 9$ …».
Λάθος. Το πυροσβεστικό, τοποθετείται σύμφωνα με την εκφώνηση στη θέση h(0) = 0

. To

παριστάνει «την οριζόντια απόσταση της δέσμης από το πυροσβεστικό όχημα». Είναι τόσο άσκοπα μπλεγμένη η διατύπωση, που και οι ίδιοι κάνουν λάθος διατύπωση στην απάντηση.

Πολύ κακό για το τίποτα. Ένα θέμα που θα ήταν ενδιαφέρον να μελετηθεί με τη βοήθεια του Geogebra, που θα έδινε τις αποστάσεις στο σχήμα, καθώς και τη μελέτη της παραβολής στο δυναμικά μεταβαλλόμενο σχήμα, πνίγεται σε άσκοπες πράξεις δυνάμεων δεκαδικών, προσεγγιστικών τιμών, όλα με το χέρι και με ανούσια ερωτήματα, εκτός του τελευταίου, που ζητά την αλγεβρική εύρεση της μέγιστης τιμής της παραβολής.

kostas.zig · #11

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 13, 2025 10:57 pm
Καλησπέρα σε όλους.
Κώστα, οι παρατηρήσεις μου δεν αφορούν απλώς λεκτικές, συντακτικές ή έστω αριθμητικές διορθώσεις.
Αναφέρονται στην ουσία των ερωτημάτων, τα οποία κρίνω ακατάλληλα για θέματα εξετάσεων Α΄ Λυκείου και προσπαθώ να τεκμηριώσω την άποψή μου. Γι' αυτό δεν έχει καμία αξία να στείλω διορθώσεις στην ιστοσελίδα του ΙΕΠ.

Γιώργο, το γνωρίζω και νομίζω αυτό έγραψα, ότι αναφέρεσαι κυρίως σε θέματα ουσίας και σαφώς ένα θέμα λάθος πρέπει να αποσυρθεί. Μελέτησα το τελευταίο θέμα που έβαλες. Συμφωνώ με τις παρατηρήσεις σου. Θα μπορούσε να αξιοποιηθεί το θέμα α (χωρίς το aii) όπως λες με πρόγραμμα δυναμικής γεωμετρίας και φυσικά να μην είναι θέμα της τράπεζας θεμάτων.

Εάν, τώρα, λάβουν ή όχι σοβαρά από το ΙΕΠ το διάλογο εδώ, μένει να το δούμε. Εγώ, ελπίζω πως ναι.

Εύχομαι όσοι είναι σήμερα στο συνέδριο να έχουν ωραίες παρουσιάσεις και ομιλίες ή συναντήσεις. Ας δούνε και θέματα ουσίας που αφορούν τη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση και τα Μαθηματικά και με προσοχή αναλύει ο Γιώργος εδώ.

#12

Καλημέρα σε όλους. Αναρτώ ένα ακόμα θέμα της νέας τράπεζας θεμάτων και σχολιάζω κάποια σημεία, που νομίζω ότι είναι προβληματικά, όχι μόνον ως προς το επίπεδο δυσκολίας και ασυμβατότητας με την ύλη που διδάσκονται οι μαθητές της Α΄ Λυκείου, αλλά κρύβουν και λανθασμένη αντίληψη βασικών μαθηματικών εννοιών.

Οφείλω να παρατηρήσω ότι η έλλειψη συμμετοχής στην παρούσα συζήτηση, με κάνει να ανησυχώ για τη χαλάρωση των αντανακλαστικών μας στα τεκταινόμενα στη μαθηματική μας εκπαίδευση με ότι αυτό συνεπάγεται.
Τα θέματα των εξετάσεων καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό τη διδασκαλία μας σε βάθος χρόνου.
Αν αρχίσουμε να "διδάσκουμε" άκριτα, ότι περιέχεται στο επίσημο υλικό της τράπεζας θεμάτων, θα κυριαρχήσει, ως επικρατούσα άποψη, το «αλάθητο» των επίσημων αναρτημένων λύσεων με απρόβλεπτες συνέπειες. Δίχως, βέβαια, να διεκδικώ κι εγώ το "αλάθητο", θέλω με τις αναρτήσεις αυτές να συμβάλλω σε έναν διάλογο, δίχως αφορισμούς και κορώνες, όπως συνηθίζεται σε forum, όπου πολλοί γράφουν τη γνώμη τους σε dt, δίχως καν να διαβάζουν ή να σκέπτονται τι έχει γραφεί. Με χαρά θα δεχτώ κάθε τεκμηριωμένο αντίλογο σ' ότι αναφέρω παρακάτω.

Θέμα 38922

: 38922 a.jpg (120.8 KiB) Προβλήθηκε 2452 φορές

: 38922 b.jpg (65.33 KiB) Προβλήθηκε 2452 φορές

Το θέμα ξεκινά ως κλασικό πρόβλημα κίνησης, τα οποία, δυστυχώς, απουσιάζουν από τα σχολικά βιβλία τις τελευταίες δεκαετίες. Παλαιότερα ήταν συνηθισμένα θέματα στην επίλυση εξισώσεων με τη χρήση του τύπου u=S/t

της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης.

Ζητά να βρούμε την ταχύτητα κίνησης παρατηρώντας το σχήμα (1).
Στο σχήμα, υπάρχει ένα ατόπημα που, πιστεύω ότι, θα προκαλέσει σύγχυση στους μαθητές: Στο σημείο (0,0)

είναι το λιμάνι Α και στο σημείο (0,40)

είναι το λιμάνι Β. Η εκφώνηση αναφέρει ότι στο σχήμα «φαίνεται η απόσταση του πλοίου από το λιμάνι Α, καθώς κινείται προς το λιμάνι Β, σε σχέση με το χρόνο».

Αυτό που βλέπουν οι μαθητές είναι η πλάγια γραμμή από το (0,0)

στο

και είναι λογικό να τους δημιουργηθεί η απορία αν έχει λοξοδρομήσει το πλοίο από τον προορισμό του. Το γράφημα παριστάνει τη συνάρτηση , που δίνει σε κάθε σημείο της τη συνάρτηση θέσης του πλοίου, ως προς το χρόνο , που αυτό κινείται . Δηλαδή η απόσταση του πλοίου από το λιμάνι Α τη χρονική στιγμή είναι η τεταγμένη του σημείου του γραφήματος που έχει τετμημένη . Εδώ, επειδή έχουμε ομαλή κίνηση με θετική ταχύτητα, η μετατόπιση από το Α ταυτίζεται με την απόσταση του πλοίου από το Α.

Βάζοντας στο σημείο (0,0)

το λιμάνι Α δημιουργούμε σύγχυση στους μαθητές. Υπάρχει κίνδυνος να αντιληφθούν την απόσταση του πλοίου από το λιμάνι Α ως το μήκος του πλάγιου ευθύγραμμου τμήματος, που είναι το γράφημα της συνάρτησης y = 20x

.
Το σωστό είναι ότι το λιμάνι Α «κινείται» στον οριζόντιο άξονα και το λιμάνι Β «κινείται» στην ευθεία y = 40

αντίστοιχα. Αυτό συμβαίνει επειδή το σύστημα αξόνων έχει στον οριζόντιο άξονα το χρόνο και στον κατακόρυφο άξονα την απόσταση. Άρα για οποιαδήποτε τιμή του

το λιμάνι Α είναι πάνω στον άξονα x’x

των τετμημένων, στο σημείο (t,0)

και το Β, στην ευθεία που απέχει 40 Km

από τον άξονα x’x

, δηλαδή στο (t, 40)

.
Αν ήθελε να παραστήσει τα λιμάνια με σημεία οι άξονες όφειλαν να παριστάνουν μήκος και οι δύο, ώστε να προκύπτουν συντεταγμένες σημείων. Μιλάμε, όμως, για εντελώς διαφορετική εκφώνηση.

Άντε να το εξηγήσεις αυτό σε μαθητές Α΄ Λυκείου, οι οποίοι έχουν μέχρι στιγμής διδαχθεί τη συνάρτηση θέσης κινητού μόνον στο μάθημα της Φυσικής, (σελ. 44), όπου λέει ότι «πειραματικά, παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση ομαλής κίνησης είναι ευθεία, που είναι αναμενόμενο, αφού έχουμε ανάλογα ποσά». Στα Μαθηματικά σχετική αναφορά βρίσκουμε στο βιβλίο της Γ΄Λυκείου, στην παρουσίαση της έννοιας της παραγώγου (σ. 91).

: 38922 d.jpg (60.18 KiB) Προβλήθηκε 2452 φορές

Εδώ όμως εξετάζουμε κατά κύριο λόγο την ύλη Μαθηματικών της Α΄ Λυκείου. Δεν είναι υποχρεωμένοι οι μαθητές να διαβάσουν και την ύλη Φυσικής πριν τις εξετάσεις της Άλγεβρας.

Για να απαντήσουν στο (βi) οι μαθητές πρέπει να αιτιολογήσουν ότι το γράφημα της κίνησης της επιστροφής είναι επίσης ευθεία. Στις απαντήσεις γράφεται: «Επειδή η απόσταση που διανύει το πλοίο, όταν κινείται με σταθερή ταχύτητα, είναι ανάλογη το χρόνου, η γραφική παράσταση είναι ευθεία.» Φοβάμαι ότι θα το παραβλέψουν, ως αυτονόητο, αφού το γράφημα που τους δόθηκε βλέπουν ότι είναι ευθεία.

: 38922 c.jpg (75.59 KiB) Προβλήθηκε 2452 φορές

Νομίζω, θα ήταν πιο απλό θα ήταν να ζητηθεί η εξίσωση κίνησης, από το Α στο Β: $y = 20t, 0 \le t \le 2$ ή να ζητηθεί αιτιολόγηση γιατί το γράφημα της κίνησης είναι ευθεία.
Θα πρότεινα το παρακάτω σχήμα να αντικαταστήσει το αρχικό. Έτσι θα είναι ευκολότερη και η απάντηση στο (βii).

: 38922 e.jpg (29.72 KiB) Προβλήθηκε 2452 φορές

Ενδιαφέρον θέμα για διαπραγμάτευση στην τάξη, φοβάμαι απρόσιτο ως θέμα εξετάσεων σε μαθητές που δεν έχουν προετοιμαστεί κατάλληλα. Το θέμα θα μπορούσε να μεταφερθεί στη Γ΄ Λυκείου, αφού διορθωθούν και συμπληρωθούν οι εκφωνήσεις με κατάλληλα ερωτήματα, π.χ. επειδή η ταχύτητα (παράγωγος της μετατόπισης) είναι σταθερή, η συνάρτηση θέσης του κινητού είναι γραμμική (της μορφής y = 20t

).

kostas.zig · #13

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 23, 2025 1:38 pm
Καλημέρα σε όλους. Αναρτώ ένα ακόμα θέμα της νέας τράπεζας θεμάτων και σχολιάζω κάποια σημεία, που νομίζω ότι είναι προβληματικά, όχι μόνον ως προς το επίπεδο δυσκολίας και ασυμβατότητας με την ύλη που διδάσκονται οι μαθητές της Α΄ Λυκείου, αλλά κρύβουν και λανθασμένη αντίληψη βασικών μαθηματικών εννοιών.

Οφείλω να παρατηρήσω ότι η έλλειψη συμμετοχής στην παρούσα συζήτηση, με κάνει να ανησυχώ για τη χαλάρωση των αντανακλαστικών μας στα τεκταινόμενα στη μαθηματική μας εκπαίδευση με ότι αυτό συνεπάγεται.

Μπράβο Γιώργο, συνεχίζεις και ψάχνεις με προσοχή τα θέματα, που όπως φαίνεται έχουν αρκετά προβλήματα. Ναι, η έλλειψη συμμετοχής στην παρούσα συζήτηση πρέπει να προβληματίζει έντονα!

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 23, 2025 1:38 pm

Θέμα 38922

Αυτό που βλέπουν οι μαθητές είναι η πλάγια γραμμή από το στο και είναι λογικό να τους δημιουργηθεί η απορία αν έχει λοξοδρομήσει το πλοίο από τον προορισμό του. Το γράφημα παριστάνει τη συνάρτηση , που δίνει σε κάθε σημείο της τη συνάρτηση θέσης του πλοίου, ως προς το χρόνο , που αυτό κινείται . Δηλαδή η απόσταση του πλοίου από το λιμάνι Α τη χρονική στιγμή είναι η τεταγμένη του σημείου του γραφήματος που έχει τετμημένη . Εδώ, επειδή έχουμε ομαλή κίνηση με θετική ταχύτητα, η μετατόπιση από το Α ταυτίζεται με την απόσταση του πλοίου από το Α.

Βάζοντας στο σημείο το λιμάνι Α δημιουργούμε σύγχυση στους μαθητές. Υπάρχει κίνδυνος να αντιληφθούν την απόσταση του πλοίου από το λιμάνι Α ως το μήκος του πλάγιου ευθύγραμμου τμήματος, που είναι το γράφημα της συνάρτησης .
Το σωστό είναι ότι το λιμάνι Α «κινείται» στον οριζόντιο άξονα και το λιμάνι Β «κινείται» στην ευθεία αντίστοιχα.
38922 d.jpg

Νομίζω, θα ήταν πιο απλό θα ήταν να ζητηθεί η εξίσωση κίνησης, από το Α στο Β: $y = 20t, 0 \le t \le 2$ ή να ζητηθεί αιτιολόγηση γιατί το γράφημα της κίνησης είναι ευθεία.
Θα πρότεινα το παρακάτω σχήμα να αντικαταστήσει το αρχικό. Έτσι θα είναι ευκολότερη και η απάντηση στο (βii).

Ενδιαφέρον θέμα για διαπραγμάτευση στην τάξη, φοβάμαι απρόσιτο ως θέμα εξετάσεων σε μαθητές που δεν έχουν προετοιμαστεί κατάλληλα. Το θέμα θα μπορούσε να μεταφερθεί στη Γ΄ Λυκείου, αφού διορθωθούν και συμπληρωθούν οι εκφωνήσεις με κατάλληλα ερωτήματα, π.χ. επειδή η ταχύτητα (παράγωγος της μετατόπισης) είναι σταθερή, η συνάρτηση θέσης του κινητού είναι γραμμική (της μορφής ).

Το θέμα κατά την άποψή μου μετά τις διορθώσεις και το ορθό σχήμα που προτείνει ο Γιώργος, μπορεί να είναι στην Α' Λυκείου σε επίπεδο διαπραγμάτευσης και συζήτησης, χρήση λογισμικού και κατάλληλου επιπρόσθετου υλικού π.χ. ένα μικρό βίντεο με την κίνηση ενός πλοίου στο οποίο θα απεικονίζεται η γραφική παράσταση της κίνησης, θα γίνονται κάποιες παύσεις για τα ερωτήματα ή κάτι παρόμοιο αλλά καλύτερα, ΟΧΙ στην τράπεζα θεμάτων! Νομίζω είναι ένα σημαντικό θέμα αν σκεφτούμε την βαρύτητα που δίνεται στο σχολείο η Ανάλυση, η σύνδεση με την Φυσική.

Χαιρετισμούς στην Κέρκυρα και στους ανθρώπους της, κουράγιο, που νομίζω δοκιμάζονται ξανά με τις έντονες βροχοπτώσεις και πολλές καταστροφές.

#14

Αναρτώ ένα ακόμα από τα νέα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων Α΄ Λυκείου. Είναι το 38850

: 38850 a.jpg (344.4 KiB) Προβλήθηκε 2178 φορές

: 38850 b.jpg (208.41 KiB) Προβλήθηκε 2178 φορές

Παρατήρηση (1η): Τα ερωτήματα (αi), (αii) 12 μονάδων είναι καθαρά ερωτήσεις Στερεομετρίας.

Παρατήρηση 2η: Δεν πρόκειται για πρόβλημα μοντελοποίησης, γιατί οι τύποι δίνονται έτοιμοι. Μάλιστα για τα "δύσκολα" μεγέθη του προβλήματος (σφαιρικοί τομείς) δίνονται έτοιμα τα αποτελέσματα. Το μόνο που πρέπει να γίνει είναι οι πράξεις. Στο ερώτημα (β) απλώς πρέπει να κάνουμε πράξεις.

Παρατήρηση 3η: Στο ερώτημα (βi) για να βρούμε ποιος κρίκος έχει περισσότερο ξύλο, θα μπορούσε κάποιος να πει ότι από το μάθημα της Φυσικής έμαθε ότι, αφού έχουν το ίδιο υλικό, άρα την ίδια πυκνότητα, αρκεί να τους ζυγίσουμε και η άσκηση τελειώνει εδώ, όσον αφορά τη ρεαλιστικότητα του σεναρίου.

: 38850 c.jpg (253.24 KiB) Προβλήθηκε 2178 φορές

Παρατήρηση 4η: Στο ερώτημα (βii) γενικεύουν το πρόβλημα για τυχαία σφαίρα με h= 4

και ακτίνα R>2

. Δίνουν τον τύπο έτοιμο, αφού ρώτησαν κάποιον φίλο τους. (Αν είναι κάποιος από την παρέα των γεωμετρών του

παρακαλώ να το ομολογήσει).

Ο τύπος είναι $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi R_1^3 - 4\pi \left( {R_1^3 - 4} \right) - \frac{4}{3}\pi {\left( {{R_1} - 2} \right)^2}\left( {{R_1} + 1} \right)$

και ζητά από τους μαθητές να κάνουν πράξεις για να αποδείξουν ότι για τυχαία ακτίνα ο όγκος του στερεού που απομένει είναι ο ίδιος.

ΕΡΩΤΗΣΗ: Τι σχέση έχει αυτό το πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα με τις εξετάσεις Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου;
Αν υπάρχει απάντηση - αντίλογος θα ήθελα να τον ακούσω.

ΣΧΟΛΙΟ-ΠΡΟΕΚΤΑΣΗ: Το πρόβλημα είναι πολύ ενδιαφέρον, αλλά όχι για όλους τους μαθητές και μάλιστα της Α΄ Λυκείου. Να το συζητήσουμε και να το αναλύσουμε σε Μαθηματικές ομάδες, για ομίλους με παιδιά που ενδιαφέρονται για κάτι παραπάνω. Όχι να το σπαταλάμε σε θέμα εξετάσεων ακόμα και για παιδιά που δεν θα επιλέξουν Μαθηματικά στη Β΄Λυκείου.
Αξίζει να συνδεθεί με το ιστορικό του υπόβαθρο και τις προεκτάσεις του:

Πρόκειται για το παράδοξο Napkin ring
Από οποιαδήποτε σφαίρα αν αφαιρέσουμε δύο συμμετρικούς σφαιρικούς τομείς και έναν κεντρικό κύλινδρο φτιάχνουμε ένα δαχτυλίδι σαν αυτά με τα οποία τυλίγουμε χαρτοπετσέτες και πετσέτες φαγητού, από όπου και πήρε το όνομά του.

: napkin ring.jpg (58.4 KiB) Προβλήθηκε 2178 φορές

Ο όγκος του είναι ανεξάρτητος της ακτίνας της σφαίρας και εξαρτάται μόνο από το ύψος του.

Δίνω παρακάτω μια απόδειξη για τυχαία ακτίνα

και ύψος κυλίνδρου h<R

. Ελπίζω να μην έχω λάθη.

Ο όγκος του στερεού που απομένει είναι $displaystyle V = \frac{{\pi {h^3}}}{6}$

Απόδειξη (με το σχήμα που δίνεται παραπάνω):

Όγκος σφαίρας: $\displaystyle \frac{4}{3}\pi {R^3}$

Όγκος κυλίνδρου: $\displaystyle \pi h\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)$

Όγκος σφαιρικού τομέα: $\displaystyle \frac{1}{3}\pi {\left( {R - \frac{h}{2}} \right)^2}\left( {2R + \frac{h}{2}} \right)$

Οπότε ο όγκος του στερεού που μένει είναι:

$\displaystyle \begin{array}{l} V = \frac{4}{3}\pi {R^3} - \pi h\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right) - \frac{2}{3}\pi {\left( {R - \frac{h}{2}} \right)^2}\left( {2R + \frac{h}{2}} \right) = \\ = \frac{4}{3}\pi {R^3} - \pi h{R^2} + \frac{1}{4}\pi {h^3} - \frac{2}{3}\pi \left( {{R^2} - Rh + \frac{{{h^2}}}{4}} \right)\left( {2R + \frac{h}{2}} \right)\\ = \frac{4}{3}\pi {R^3} - \pi h{R^2} + \frac{1}{4}\pi {h^3} - \frac{2}{3}\pi \left( {2{R^3} - 2{R^2}h + \frac{{{R^2}h}}{2} + \frac{{{h^3}}}{8}} \right) = \frac{1}{6}\pi {h^3} \end{array}$

Ελπίζω τώρα να παρακινήσω το ενδιαφέρον των γεωμετρών του

και όσων ασχολούνται με την ιστορία των Μαθηματικών να σχολιάσουν το θέμα:

Αξίζει, έχει νόημα, προσφέρει κάτι στη μαθηματική μας εκπαίδευση να σπαταλώνται τέτοια θέματα (αποκομμένα από τις βιβλιογραφικές τους πηγές) και την ομορφιά του παραδόξου που παράγουν, ως τετριμμένα θέματα αντικατάστασης έτοιμων δεδομένων σε τύπους;

#15

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 08, 2025 11:06 pm
Ο όγκος του είναι ανεξάρτητος της ακτίνας της σφαίρας και εξαρτάται μόνο από το ύψος του.

Δίνω παρακάτω μια απόδειξη για τυχαία ακτίνα και ύψος κυλίνδρου . Ελπίζω να μην έχω λάθη.

Ο όγκος του στερεού που απομένει είναι $displaystyle V = \frac{{\pi {h^3}}}{6}$

.
Γιώργο, δεν κοίταξα τις λεπτομέρειες αυτών που γράφεις λόγω του περασμένου της ώρας και λόγω κούρασης, δεδομένου ότι είχα δύσκολη μέρα σήμερα.

Για το παραπάνω τυχαίνει να ξέρω ότι η απάντηση είναι $\dfrac {4}{3} \pi h^3$ , όχι όσο γράφεις.
.

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 08, 2025 11:06 pm
Ελπίζω τώρα να παρακινήσω το ενδιαφέρον των γεωμετρών του και όσων ασχολούνται με την ιστορία των Μαθηματικών να σχολιάσουν το θέμα:

.
Το παραπάνω βγαίνει εύκολα από την αρχή του Cavalieri. Προσθέτω ότι εξ όσων θυμάμαι (με επιφύλαξη) υπάρχει στο περίφημο βιβλίο του Geometria indivisibilibus continuorum (1627). Πάντως το διδάσκω στο μάθημά μου Ιστορία των Μαυηματικών ΙΙ.

#16

Μιχάλη καλησπέρα. Ευχαριστώ για τη συμμετοχή στη συζήτηση και τις ενδιαφέρουσες πληροφορίες.
Νομίζω ο τύπος είναι ο ίδιος, απλά το

στον τύπο που ανάφερα παραπάνω είναι όλο το ύψος, ενώ στον δικό σου τύπο είναι το μισό. Βάζοντας h/2

έχουμε ίδιο τύπο.

Νομίζω ο Keith Devlin εδώ χρησιμοποιεί αυτόν τον τύπο.

https://profkeithdevlin.org/wp-content/ ... inring.pdf

#17

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 09, 2025 5:40 pm
Μιχάλη καλησπέρα. Ευχαριστώ για τη συμμετοχή στη συζήτηση και τις ενδιαφέρουσες πληροφορίες.
Νομίζω ο τύπος είναι ο ίδιος, απλά το στον τύπο που ανάφερα παραπάνω είναι όλο το ύψος, ενώ στον δικό σου τύπο είναι το μισό. Βάζοντας έχουμε ίδιο τύπο.

Νομίζω ο Keith Devlin εδώ χρησιμοποιεί αυτόν τον τύπο.

https://profkeithdevlin.org/wp-content/ ... inring.pdf

Γιώργο καλημέρα...

Κάνοντας κάτι ανάλογο μ' αυτό του Keith Devlin καταλήγω στον δικό σου τύπο.

Ειδικότερα:

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Σφαιρα και κύλινδρος 3.png (88.48 KiB) Προβλήθηκε 2051 φορές

Ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων που αναγράφω στο σχήμα αυτό

είναι εύκολος και τελικά είναι:

$\displaystyle{V(S)=\frac{\pi h^3}{12} \ \ (1) }$

Όμως ο ζητούμενος όγκος είναι διπλάσιος αυτού και τελικά είναι:

$\displaystyle{V_1=\frac{\pi h^3}{6} \ \ (2) }$

Επέλεξα τα συγκεκριμένα όρια για ευκολία πράξεων...

Αναρτώ ακάμα κι ένα όμορφο σχήμα που δείχνει το στερεό αυτό, όχι όπως

στο πρώτο σχήμα που είναι ένα επίπεδο σχήμα κι όχι στερεό!

: Σφαίρα και κύλινδρος 1png.png (123.13 KiB) Προβλήθηκε 2061 φορές

Κώστας Δόρτσιος

kkoudas · #18

: 619401028_2671443269868024_1995693354917913735_n.jpg (157.51 KiB) Προβλήθηκε 1368 φορές

Θεωρώ ότι τα θέματα https://users.sch.gr/fergadioti1/trapez ... 14490.html και https://users.sch.gr/fergadioti1/trapez ... 14651.html έχουν πρόβλημα, διότι από τους μαθητές ζητείται να βρουν ζεύγος λύσεων και τελικά προκύπτει μόνο μία λύση.

Η έννοια της διπλής λύσης δεν σημαίνει «δύο ίσες λύσεις». Εξηγούμαι:

(1) Δεν έχει λογικό νόημα η φράση «δύο ίσες λύσεις». Οι προτάσεις «x=5» και «x=5 ή x=5» λένε ακριβώς το ίδιο. Οποτεδήποτε υπάρχει μια λύση μόνο μία φορά, μπορούμε να τη δούμε και δύο φορές, αλλά και οποτεδήποτε έχουμε δύο φορές το ίδιο πράγμα μπορούμε να το δούμε και μόνο μία.

(2) Όταν λέμε ότι ο

είναι διπλή ρίζα της τάδε εξίσωσης, δεν εννοούμε ότι η εξίσωση έχει λύση ένα ζεύγος ίσων αριθμών (5,5)

, αλλά απλά και μόνο έναν αριθμό, το

, ο οποίος έχει μια κάποια ιδιότητα. Η ιδιότητα αυτή δεν εμπεριέχει την έννοια του πλήθους, αν και διαισθητικά πολλάκις το προσεγγίζουμε έτσι. Είναι απλά μια ιδιότητα του

σχετιζόμενη με την εξίσωση. Εν ολίγοις οι ρίζες της (x-5)^2=0

δεν περιέχουν περισσότερα

-άρια από τις ρίζες της 2x=10

.

(3) Στην άσκηση όπου δίνεται f(x)=(x-5)^2

και ζητείται το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f(x)=a

για τα διάφορα $a\in \mathbb{R}$ , ο μαθητής ΔΕΝ πρέπει να απαντήσει ότι για a=0

έχουμε δύο λύσεις.

Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Re: Νέα θέματα Άλγεβρας Α Λυκείου Σεπτ 2025

Μέλη σε σύνδεση