Συνάρτηση με δύο ρίζες

#1

Μια πραγματική συνάρτηση

ικανοποιεί f(20−x) = f(22+x)

για κάθε πραγματικό αριθμό

. Είναι γνωστό ότι η

έχει ακριβώς δύο ρίζες. Πόσο είναι το άθροισμα των δύο αυτών ριζών;

Tolaso J Kos · #2

Γεια σας,

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 04, 2026 7:10 pm
Μια πραγματική συνάρτηση ικανοποιεί για κάθε πραγματικό αριθμό . Είναι γνωστό ότι η έχει ακριβώς δύο ρίζες. Πόσο είναι το άθροισμα των δύο αυτών ριζών;

μία προσέγγιση... μπορεί να κάνω και λάθος. Από τη σχέση που μας δίδεται θέτοντας t=20-x

παίρνουμε

$\displaystyle{f(t) = f \left( 42 - t \right) \quad \quad \text{\gr διά κάθε} \;\; t \in \mathbb{R}}$
Άρα λοιπόν η $\mathcal{C}_f$ είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x=21

. Συνεπώς, x_1 + x_2 =42

.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 04, 2026 8:03 pm
μία προσέγγιση... μπορεί να κάνω και λάθος. Από τη σχέση που μας δίδεται θέτοντας παίρνουμε
$\displaystyle{f(t) = f \left( 42 - t \right) \quad \quad \text{\gr διά κάθε} \;\; t \in \mathbb{R}}$ Άρα λοιπόν η $\mathcal{C}_f$ είναι συμμετρική ως προς την ευθεία . Συνεπώς, .

Το ουσιαστικό μέρος της λύσης είναι σωστό, αλλά λείπει κάτι για να γίνει πλήρης: Πρέπει να εξασφαλίσεις ότι η ρίζα x_2

που χρησιμοποιείς δεν είναι η ίδια με την x_1

(δηλαδή ότι δεν μέτρησες δύο φορές την ίδια ρίζα).

#4

Καλησπέρα σε όλους. Να συμπληρώσω την απάντηση του Τόλη

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 04, 2026 7:10 pm
Μια πραγματική συνάρτηση ικανοποιεί για κάθε πραγματικό αριθμό . Είναι γνωστό ότι η έχει ακριβώς δύο ρίζες. Πόσο είναι το άθροισμα των δύο αυτών ριζών;

Έστω $\displaystyle {\rho _1},\;{\rho _2}$ οι ρίζες της

με $\displaystyle {\rho _1} \ne \;{\rho _2}$ .

Τότε $\displaystyle f\left( {{\rho _1}} \right) = f\left( {{\rho _2}} \right) = 0$ .

Έστω $\displaystyle {\rho _1} = 20 - t$ , οπότε $\displaystyle f\left( {{\rho _1}} \right) = f\left( {20 - t} \right) = f\left( {22 + t} \right) = 0 \Rightarrow 22 + t = {\rho _2}$

Αν t = -1

, τότε $\displaystyle {\rho _1} = {\rho _2}$ αδύνατο, λόγω της υπόθεσης. Άρα δεν μπορεί να είναι t=-1

.

Τότε $\displaystyle {\rho _1} \ne {\rho _2}$ και $\displaystyle {\rho _1} + {\rho _2} = 42$

Συνάρτηση με δύο ρίζες

Συνάρτηση με δύο ρίζες

Re: Συνάρτηση με δύο ρίζες

Re: Συνάρτηση με δύο ρίζες

Re: Συνάρτηση με δύο ρίζες

Μέλη σε σύνδεση