Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

KARKAR · #1

: Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.png (7.62 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Υπάρχει περίπτωση για κάποια ευθεία της μορφής y=mx

, να υπάρχει σημείο της

, τέτοιο

ώστε τα αθροίσματα : SA+SB

και

, να ελαχιστοποιούνται ταυτόχρονα ;

#2

Καλησπέρα σε όλους. Μάλλον κάτι δεν διακρίνω σωστά, γιατί με διαφορετικές τεχνικές καταλήγω σε αρνητική απάντηση, παρά την ευγενική υπόδειξη του Θανάση. Θα χαρώ να δω τι μού διαφεύγει.

: Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.png (7.62 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές

Έστω

σημείο της ευθείας. Έστω a>0

και

. Για

έχουμε το συμμετρικό σχήμα. Η περίπτωση m=0

δίνει τετριμμένο αποτέλεσμα.

Από Θ. Διαμέσων στο SAB

$\displaystyle S{A^2} + S{B^2} = 2S{M^2} + 8$ , με M(5,0)

.

Ελάχιστο

έχουμε όταν είναι κάθετο στην ευθεία, οπότε $\displaystyle \frac{{ma}}{{a - 5}} \cdot m = - 1 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{5 - a}}{a}$ (1) με 0 <a < 5

.

Η κάθετη από το

στην ευθεία y=mx

την τέμνει στο $\displaystyle K\left( {\frac{7}{{{m^2} + 1}},\;\frac{{7m}}{{{m^2} + 1}}} \right)$ , που είναι μέσο του B’B

, με $\displaystyle B'\left( {\frac{{7 - 7{m^2}}}{{{m^2} + 1}},\;\frac{{14m}}{{{m^2} + 1}}} \right)$ συμμετρικό του

ως προς την y=mx

.

To

γίνεται ελάχιστο όταν A, S, B’

συνευθειακά.

$\displaystyle AS:y = \frac{{ma}}{{a - 3}}\left( {x - 3} \right),\;\;a \ne 3$ . Το

ανήκει στην ευθεία ανν $\displaystyle 5a{m^2} + 5a - 21 = 0$ (2)

To σύστημα (1), (2) είναι αδύνατο. Δεν ελαχιστοποιούνται ταυτόχρονα.

2η λύση: Για τη θέση ελαχίστου του SA^2+SB^2

έχουμε $\displaystyle {m^2} = \frac{{5 - a}}{a}$

Τότε $\displaystyle SA + SB = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {m^2}{a^2}} + \sqrt {{{\left( {a - 7} \right)}^2} + {m^2}{a^2}} = \sqrt {9 - a} + \sqrt {49 - 9a}$

Η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left( {0,5} \right)$ ,άρα δεν έχει ελάχιστο.

Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

Re: Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση