Άναψε πράσινο

KARKAR · #1

: Άναψε πράσινο.png (16.74 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

, η βάση

είναι σταθερή , ενώ το ύψος AD=x

μεταβάλλεται .

Φέρω τα κάθετα τμήματα AS , BP

προς τις διαγωνίους BD , AC

αντίστοιχα . Για ποια τιμή του

μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τετραπλεύρου SABP

και πόσο είναι αυτό το μέγιστο ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2026 12:31 pm
Άναψε πράσινο.pngΣτο ορθογώνιο , η βάση είναι σταθερή , ενώ το ύψος μεταβάλλεται .

Φέρω τα κάθετα τμήματα προς τις διαγωνίους αντίστοιχα . Για ποια τιμή του

μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τετραπλεύρου και πόσο είναι αυτό το μέγιστο ;

: άναψε πράσινο.png (24.81 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές

Φέρνουμε τις κάθετες SE, PF

στην βάση. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ABD

πλευρών $x,a,\sqrt {x^2+a^2}$ και το ύψος τοy

, και όμοια από το SAB

και το ύψος του

, εύκολα βλέπουμε από έτοιμους γνωστούς τύπους ότι

$AS= \dfrac {ax}{\sqrt {x^2+a^2} }, \, AE= \dfrac {ax^2}{x^2+a^2},\, SE= \dfrac {a^2x}{x^2+a^2}$ και άρα

$SP=EF= a-2AE=\dfrac {a^3-ax^2}{x^2+a^2}$ . Έπεται

$(SABP)= \dfrac {1}{2} (a+SP)SE= \dfrac {1}{2} \left (a+ \dfrac {a^3-ax^2}{x^2+a^2}\right )\dfrac {a^2x}{x^2+a^2}=\dfrac {a^5x}{(x^2+a^2)^2}$

Έχει παράγωγο $\dfrac {a^5(a^2-3x^2)}{(x^2+a^2)^3}$ που μηδενίζεται για $\boxed {x=\dfrac {a\sqrt 3}{3}}$ . Η δε τιμή του μεγίστου είναι

$\boxed { (SABP)_{max} = \dfrac {3a^2\sqrt 3}{16}}$

#3

H κατάσταση με την αργή επικοινωνία με το φόρουμ καθώς διαβάζω ή αναρτώ ποστ είναι, τουλάχιστον με την δική μου εμπειρία, δραματική.

Ο πάροχος γνωρίζει το μέγεθος του προβλήματος, ή πιστεύει ότι το διευθέτησε επαρκώς;

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2026 12:31 pm
Στο ορθογώνιο , η βάση είναι σταθερή , ενώ το ύψος μεταβάλλεται .

Φέρω τα κάθετα τμήματα προς τις διαγωνίους αντίστοιχα . Για ποια τιμή του

μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τετραπλεύρου και πόσο είναι αυτό το μέγιστο ;

Καλησπέρα...

Τα ίδια πράγματα έκανα κι εγώ αλλά με επένδυση του λογισμικού Geogebra

Προέκυψε το ακόλουθο σχήμα:

: Άναψε το πράσινο 1png.png (77.57 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές

Στο σχήμα αυτό έχω συμπτύξει και το σύστημα αξόνων για τη συνάρτηση του εμβαδού

κι ακόμα έχω αναγράψει όλα τα ευρήματα που χρειάστηκαν για να γίνει.

Ακολούθως αναρτώ κι ένα δυναμικό σχήμα γιατί πιστεύω ότι η χάρη των μαθηματικών όταν

αυτή υποκρύπτουν μια κινητικότητα θα πρέπει να την φανερώνουμε....

https://www.geogebra.org/m/qgynybgt

Κώστας Δόρτσιος

Nikitas K. · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2026 12:31 pm
Άναψε πράσινο.pngΣτο ορθογώνιο , η βάση είναι σταθερή , ενώ το ύψος μεταβάλλεται .

Φέρω τα κάθετα τμήματα προς τις διαγωνίους αντίστοιχα . Για ποια τιμή του

μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τετραπλεύρου και πόσο είναι αυτό το μέγιστο ;

: Άναψε πράσινο (όμοια τρίγωνα).png (122.85 KiB) Προβλήθηκε 279 φορές

Στο $x = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ έχουμε το μέγιστο εμβαδόν ίσο με $\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{16}$

Πρώτος υπολογισμός τετμημένη.

Δεύτερος υπολογισμός τεταγμένη.

KARKAR · #6

: Άναψε πράσινο.png (23.59 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές

Λίγο διαφορετικά η εύρεση του εμβαδού : $\dfrac{b}{a}=\dfrac{OS}{OB}$ , δηλαδή : $\dfrac{b+a}{a}=\dfrac{OS+OB}{OB}=\dfrac{\dfrac{a^2}{\sqrt{x^2+a^2}}}{\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{2}}=\dfrac{2a^2}{x^2+a^2}$ .

Συνεπώς : $\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{a^3}{x^2+a^2}$ , οπότε : $E=\dfrac{a+b}{2}h=\dfrac{a^5x}{(x^2+a^2)^2}$ .

Σπουδαία παρατήρηση : Κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης είναι : $\widehat{ABD}=30^0$ και : $AS=SP=PB=\dfrac{a}{2}$

δηλαδή το τετράπλευρο είναι κανονικό ημιεξάγωνο !

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2026 12:31 pm
Στο ορθογώνιο , η βάση είναι σταθερή , ενώ το ύψος μεταβάλλεται .

Φέρω τα κάθετα τμήματα προς τις διαγωνίους αντίστοιχα . Για ποια τιμή του

μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τετραπλεύρου και πόσο είναι αυτό το μέγιστο ;

: πράσινο 2.png (25.23 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές

.
Ας το δούμε και τριγωνομετρικά, που είναι ευκολότερο. Άλλωστε η αρχική μου λύση ήταν τριγωνομετρική αλλά προτίμησα την αλγεβρική που έγραψα στο ποστ #2 γιατί είναι πιο κοντά στο Σχολικό πνεύμα.

Θέτουμε $\widehat {ABD} = \theta$ , οπότε και $\widehat {ASE} = \theta$ . Είναι τότε $AS= a\sin \theta, \, AE= a\sin ^2\theta,\, SE= a\sin \theta \cos \theta$ . Άρα

$(SABP)= \dfrac {1}{2} (AB+SP)SE=\dfrac {1}{2} (a+a-2a\sin ^2 \theta)SE= a\sin \theta \cos \theta=$

$=a^2(1-\sin ^2\theta) \sin \theta \cos \theta= \boxed {a^2 \sin \theta \cos ^3 \theta }$

Έχει παράγωγο $\cos ^2 \theta(\cos ^2 \theta- 3\sin ^2 \theta)$ , οπότε $\cos \theta- \sqrt {3}\sin \theta$ , ισοδύναμα $\tan \theta = \dfrac {\sqrt 3}{3}$ , δηλαδή $\boxed { \theta = 30 ^o}$ . Έπεται αμέσως ότι το αντίστοιχο $x=a\tan 30= \dfrac {a\sqrt 3}{3}$ και $(SABP)_{max}= \dfrac {3a\sqrt 3}{16}$

#8

Άλλη εκφώνηση με πολύ απλούστερη λύση.

: Άλλη εκφώνηση.png (12.31 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές

Η βάση ισοσκελούς τραπεζίου είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου

κύκλου. Να βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου.

#9

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 04, 2026 12:56 pm
Άλλη εκφώνηση με πολύ απλούστερη λύση. Άλλη εκφώνηση.png

Η βάση ισοσκελούς τραπεζίου είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου

κύκλου. Να βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου.

: άναψε πράσινο 2.png (22.68 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές

.
Μπορεί να αντιμετωπιστεί ως πόρισμα της αρχικής άσκησης στο ποστ #1, αλλά θα την κάνω ανεξάρτητα, πλην όμως στο ίδιο μήκος κύματος όπως στο ποστ #7.

Φέρνουμε τις κάθετες SE, PF

προς την βάση.

Θέτουμε $\widehat {ABS} = \theta$ , οπότε και $\widehat {ASE} = \theta$ . Είναι τότε $AS= a\sin \theta, \, AE= a\sin ^2\theta,\, SE= a\sin \theta \cos \theta$ . Άρα

$(SABP)= \dfrac {1}{2} (AB+SP)SE=\dfrac {1}{2} (a+a-2a\sin ^2 \theta)SE= a\sin \theta \cos \theta=$

$=a^2(1-\sin ^2\theta) \sin \theta \cos \theta= \boxed {a^2 \sin \theta \cos ^3 \theta }$

Έχει παράγωγο $\cos ^2 \theta(\cos ^2 \theta- 3\sin ^2 \theta)$ , οπότε $\cos \theta- \sqrt {3}\sin \theta$ , ισοδύναμα $\tan \theta = \dfrac {\sqrt 3}{3}$ , δηλαδή $\boxed { \theta = 30 ^o}$ . Έπεται αμέσως ότι $(SABP)_{max}= \dfrac {3a^2\sqrt 3}{16}$

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 04, 2026 2:05 pm
...

$... \boxed {a^2 \sin \theta \cos ^3 \theta }$

Έχει παράγωγο $\cos ^2 \theta(\cos ^2 \theta- 3\sin ^2 \theta)$ , οπότε $\cos \theta- \sqrt {3}\sin \theta$ , ισοδύναμα $\tan \theta = \dfrac {\sqrt 3}{3}$ , δηλαδή $\boxed { \theta = 30 ^o}$ .

Για χρήση σε άλλο θρέντ, ας δούμε χωρίς χρήση παραγώγων την εύρεση του μεγίστου της $A=\sin \theta \cos ^3 \theta$ , όπου $\theta$ στο πρώτο τεταρτημόριο:

Από ανισότητα A.M-Γ.M. έχουμε

$A^2= \sin ^2 \theta \cos ^6 \theta = 27 \sin ^2 \theta \cdot \dfrac {\cos ^2 \theta }{3} \cdot \dfrac {\cos ^2 \theta }{3} \cdot \dfrac {\cos ^2 \theta }{3} \le$

$\le 27 \left (\dfrac {\sin ^2 \theta + \dfrac {\cos ^2 \theta }{3} + \dfrac {\cos ^2 \theta }{3} + \dfrac {\cos ^2 \theta }{3} }{4} \right ) ^4= \dfrac {27} {4^4}$

Άρα $A \le \dfrac {3\sqrt 3} {16}$ με ισότητα όταν $\theta = 30 ^ ο$ . Ολοκληρώσαμε.

#11

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 04, 2026 12:56 pm
Άλλη εκφώνηση με πολύ απλούστερη λύση. Άλλη εκφώνηση.png

Η βάση ισοσκελούς τραπεζίου είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου

κύκλου. Να βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου.

Αλλιώς. Θέτω a=2r

και με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

$\displaystyle (ABPS) = (y + r)h = f(y) = (y + r)\sqrt {{r^2} - {y^2}} ,0 < y < r,$ με $\displaystyle f'(y) = \frac{{(r + y)(r - 2y)}}{{\sqrt {{r^2} - {y^2}} }}$

Άρα η συνάρτηση

παρουσιάζει μέγιστο όταν r=2y.

Tότε όμως το τραπέζιο αποτελείται από τρία ίσα ισόπλευρα

: Άλλη εκφώνηση.β.png (21.15 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές

τρίγωνα και θα είναι $\displaystyle {(ABPS)_{\max }} = 3(OSP) = \frac{{3{r^2}\sqrt 3 }}{4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{a = 2r}$ $\boxed{{(ABPS)_{\max }} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}}$

Ας επανέλθουμε τώρα στην άσκηση του Θανάση. Όπως καθίσταται πλέον φανερό, οι προσκείμενες στη μεγάλη βάση γωνίες του

τραπεζίου είναι $60^\circ$ η καθεμία. Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ADB

είναι $A\widehat DB=60^\circ,$ οπότε $\boxed{x = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}}$

#12

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 04, 2026 12:56 pm
Άλλη εκφώνηση με πολύ απλούστερη λύση. Άλλη εκφώνηση.png

Η βάση ισοσκελούς τραπεζίου είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου

κύκλου. Να βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου.

Καλησπέρα σε όλους. Μια Αλγεβρική λύση, όπως θα την ζητούσαν στις εισαγωγικές του 1933 στη Σχολή Ευελπίδων, που δόθηκε αυτό το θέμα.

: 04-03-2026 Γεωμετρία.jpg (26.5 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

$\displaystyle E = \frac{{2r + 2y}}{2}h = \left( {r + y} \right)h$ , $\displaystyle h = \sqrt {{r^2} - {y^2}}$ άρα $\displaystyle E = \left( {r + y} \right)\sqrt {\left( {r - y} \right)\left( {r + y} \right)} = \sqrt {\left( {r - y} \right){{\left( {r + y} \right)}^3}}$

Έχουμε μέγιστο εμβαδόν, όταν το γινόμενο $\displaystyle \left( {r - x} \right){\left( {r + x} \right)^2}$ γίνει μέγιστο.

Επειδή οι όροι r-x, r+x

έχουν σταθερό άθροισμα

, το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν γίνουν ανάλογοι των εκθετών τους,

δηλαδή όταν $\displaystyle \frac{{r + y}}{3} = r - y \Leftrightarrow y = \frac{r}{2}$ . Τότε $\displaystyle {E_{\max }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{r^2}$

Τότε το τραπέζιο είναι το μισό κανονικού εξαγώνου.

#13

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 04, 2026 5:56 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 04, 2026 12:56 pm
Άλλη εκφώνηση με πολύ απλούστερη λύση. Άλλη εκφώνηση.png

Η βάση ισοσκελούς τραπεζίου είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου

κύκλου. Να βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου.
Καλησπέρα σε όλους. Μια Αλγεβρική λύση, όπως θα την ζητούσαν στις εισαγωγικές του 1933 στη Σχολή Ευελπίδων, που δόθηκε αυτό το θέμα.

04-03-2026 Γεωμετρία.jpg

$\displaystyle E = \frac{{2r + 2y}}{2}h = \left( {r + y} \right)h$ , $\displaystyle h = \sqrt {{r^2} - {y^2}}$ άρα $\displaystyle E = \left( {r + y} \right)\sqrt {\left( {r - y} \right)\left( {r + y} \right)} = \sqrt {\left( {r - y} \right){{\left( {r + y} \right)}^3}}$

Έχουμε μέγιστο εμβαδόν, όταν το γινόμενο $\displaystyle \left( {r - x} \right){\left( {r + x} \right)^2}$ γίνει μέγιστο.

Επειδή οι όροι έχουν σταθερό άθροισμα , το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν γίνουν ανάλογοι των εκθετών τους,

δηλαδή όταν $\displaystyle \frac{{r + y}}{3} = r - y \Leftrightarrow y = \frac{r}{2}$ . Τότε $\displaystyle {E_{\max }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{r^2}$

Τότε το τραπέζιο είναι το μισό κανονικού εξαγώνου.

Τι μου θύμισες Γιώργο! Να 'σαι καλά!

#14

Δύο άλλες ιδέες για την λύση σύμφωνα με την εκφώνηση του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου.
1) ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ
Έστω $x=\angle{SOP}$ . Τότε $E(x)=\frac{r^2}{2}(sinx+2sin(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})=\frac{r^2}{2}(sinx+2cos(\frac{x}{2}))$ .
Παραγωγίζοντας έχουμε:
$E'(x)=\frac{r^2}{2}(cosx-sin(\frac{x}{2}))=\frac{r^2}{2}(1-2sin^2\frac{x}{2}-sin(\frac{x}{2}))$ .
Με πίνακα προσήμων και μονοτονίας, καταλήγουμε σε μέγιστη τιμή για $x=\frac{\pi}{3}$ .
2) ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ
Θεωρούμε το εξάγωνο που προκύπτει εφαρμόζοντας συμμετρία του τραπεζίου ως προς την διάμετρο. Από όλα τα εξάγωνα εγγεγραμμένα σε σταθερό κύκλο, το μέγιστο εμβαδόν το έχει το κανονικό εξάγωνο. Το τελευταίο προκύπτει άμεσα, καθώς εάν το μέγιστο είχε δύο άνισες πλευρές έστω AB<BC

θα υπήρχε μεγαλύτερο εμβαδόν αν παίρναμε αντί για

το μέσο

του τόξου

καθώς το ισοσκελές τρίγωνο AMC

έχει μεγαλύτερο ύψος από το ABC

.

Άναψε πράσινο

Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Re: Άναψε πράσινο

Μέλη σε σύνδεση