Κλάσμα και ακέραιες τιμές, δεν πάνε...

Fotis34 · #1

Άλλη μια δικιά μου άσκηση.

Δίνετε ο αριθμός:

$\displaystyle N = \frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 12}{x^2 - 4x + 3} ,$

όπου $\displaystyle{x}$ ακέραιος.
Να προσδιορίσετε:
$\displaystyle{(a)}$ Όλες τις ακέραιες τιμές του $\displaystyle{x}$ ώστε ο αριθμός $\displaystyle{N}$ να είναι ακέραιος.
$\displaystyle{(b)}$ Όλες τις δυνατές ακέραιες τιμές του $\displaystyle{N.}$

#2

Παροτρύνω τους μαθητές μας να ασχοοληθούν με την άσκηση. Αλλιώς σε μία ή δύο μέρες θα βάλω λύση.

kfd · #3

Fotis34 · #4

kfd έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2026 2:52 pm
$x\neq 1,3:N=\frac{x^{2}(x-3)+4(x-3)}{(x-1)(x-3)}=\frac{(x^{2}+4)(x-3)}{(x-1)(x-3)}=\frac{x^{2}+4}{x-1}=\frac{x^{2}-1+5}{x-1}=x+1+\frac{5}{x-1}\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow (x-1)/5\Rightarrow x-1=\pm 1,\pm 5\Rightarrow x=0,2,6,-4\Rightarrow N=-4,8.$

Μόνο ένα μικρό τυπογραφικό (εκεί που λες $\displaystyle{(x-1)/5}$ πρέπει να γίνει $\displaystyle{(x-1) | 5}$ ) που δεν αλλάζει τίποτα.

Η δικιά μου λύση ήταν κατευθείαν διαίρεση πολυωνύμων, την οποία λογικά θα αναρτήσω αργότερα.

Fotis34 · #5

Fotis34 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 14, 2026 1:34 pm
Άλλη μια δικιά μου άσκηση.

Δίνετε ο αριθμός:

$\displaystyle N = \frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 12}{x^2 - 4x + 3} ,$

όπου $\displaystyle{x}$ ακέραιος.
Να προσδιορίσετε:
$\displaystyle{(a)}$ Όλες τις ακέραιες τιμές του $\displaystyle{x}$ ώστε ο αριθμός $\displaystyle{N}$ να είναι ακέραιος.
$\displaystyle{(b)}$ Όλες τις δυνατές ακέραιες τιμές του $\displaystyle{N.}$

Δίνεται

$\displaystyle N=\frac{x^3-3x^2+4x-12}{x^2-4x+3}, \quad x\in\mathbb{Z}.$

Κάνουμε διαίρεση πολυωνύμων:

$\displaystyle x^3-3x^2+4x-12=(x+1)(x^2-4x+3)+(5x-15).$

Άρα

$\displaystyle N=x+1+\frac{5x-15}{x^2-4x+3}.$

Παραγοντοποιούμε:

$\displaystyle 5x-15=5(x-3), \qquad x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$

Έτσι

$\displaystyle N=x+1+\frac{5(x-3)}{(x-1)(x-3)}.$

Για $x\neq1,3$ παίρνουμε

$\displaystyle N=x+1+\frac{5}{x-1}.$

Για να είναι ο

ακέραιος πρέπει

$\displaystyle \frac{5}{x-1}\in\mathbb{Z}.$

Άρα

$\displaystyle x-1 \mid 5.$

Οι διαιρέτες του

είναι

$\displaystyle \pm1,\pm5.$

Επομένως

$\displaystyle x-1=1,5,-1,-5$

και

$\displaystyle x=2,6,0,-4.$

Οι αντίστοιχες τιμές του

:

$\displaystyle x=2 \Rightarrow N=3+5=8$

$\displaystyle x=6 \Rightarrow N=7+1=8$

$\displaystyle x=0 \Rightarrow N=1-5=-4$

$\displaystyle x=-4 \Rightarrow N=-3-1=-4.$

Άρα

$\displaystyle x\in\{-4,0,2,6\}$

και

$\displaystyle N\in\{-4,8\}.$

#6

Φώτη, χάνω κάτι;

Ποια είναι η διαφορά της δικής σου λύσης από του kfd που λέει σε δύο γραμμές τα ίδια ακριβώς που λες και εσύ αλλά χρειάστηκες

γραμμές;

Fotis34 · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2026 11:59 pm
Φώτη, χάνω κάτι;

Ποια είναι η διαφορά της δικής σου λύσης από του kfd που λέει σε δύο γραμμές τα ίδια ακριβώς που λες και εσύ αλλά χρειάστηκες γραμμές;

Σωστά, καμία! Μόνο ότι εγώ τα γράφω πιο αναλυτικά.

Κλάσμα και ακέραιες τιμές, δεν πάνε...

Κλάσμα και ακέραιες τιμές, δεν πάνε...

Re: Κλάσμα και ακέραιες τιμές, δεν πάνε...

Re: Κλάσμα και ακέραιες τιμές, δεν πάνε...

Re: Κλάσμα και ακέραιες τιμές, δεν πάνε...

Re: Κλάσμα και ακέραιες τιμές, δεν πάνε...

Re: Κλάσμα και ακέραιες τιμές, δεν πάνε...

Re: Κλάσμα και ακέραιες τιμές, δεν πάνε...

Μέλη σε σύνδεση