Λόγος λόγων

KARKAR · #1

: Λόγος λόγων.png (9.21 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές

Σε σημείο

της διαμέτρου AB=d

ενός ημικυκλίου , πλησιέστερο του

, υψώνουμε

κάθετο τμήμα TS=TB

. Από το

διέρχεται χορδή

παράλληλη προς την

.

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\lambda=\dfrac{CS}{SD}$ , είναι πάντα μεγαλύτερος από τον : $m= \dfrac{AT}{TB}$ .

β) Υπολογίστε τον $\lambda$ , όταν : m=2

... γ) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{\lambda}{m}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2026 11:45 am
Λόγος λόγων.pngΣε σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , πλησιέστερο του , υψώνουμε

κάθετο τμήμα . Από το διέρχεται χορδή παράλληλη προς την .

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\lambda=\dfrac{CS}{SD}$ , είναι πάντα μεγαλύτερος από τον : $m= \dfrac{AT}{TB}$ .

β) Υπολογίστε τον $\lambda$ , όταν : ... γ) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{\lambda}{m}$ .

: Λόγος λόγων.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2026 11:45 am
Σε σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , πλησιέστερο του , υψώνουμε

κάθετο τμήμα . Από το διέρχεται χορδή παράλληλη προς την .

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\lambda=\dfrac{CS}{SD}$ , είναι πάντα μεγαλύτερος από τον : $m= \dfrac{AT}{TB}$ .

β) Υπολογίστε τον $\lambda$ , όταν : ... γ) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{\lambda}{m}$ .

Καλημέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Λόγος λόγων.png (33.57 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές

Θεωρούμε για απλούστευση των σχέσεων ότι $\displaystyle{d=2R\ \ (1) }$

Από το θεώρημα των τεμνομένων χορδών ενός κύκλου έχουμε:

$\displaystyle{CS\cdot SD=S_1S \cdot SS_2 \ \ (2) }$

Από τη (2) προκύπτει:

$\displaystyle{CS \cdot SD=(\sqrt{R^2-x^2}-(R-x))(\sqrt{R^2-x^2}+(R-x))=...=2x(R-x) \ \ (3) }$

Ακόμα εύκολα είναι κατανοητή η σχέση:

$\displaystyle{(\frac{CD}{2})^2=R^2-(R-x)^2=...=x(2R-x) \Rightarrow CD=2\sqrt{x(2R-x)} \ \ (4) }$

ή ακόμα:

$\displaystyle{ CS+SD=2 \sqrt{x(2R-x)} \ \ (5) }$

Ας ονομάσουμε για απλούστευση:

$\displaystyle{w_1=CS, \ \ w_2=SD \ \ (6) }$

Τότε οι (3) και (5) γίνονται:

$\displaystyle{w_1+w_2=2 \sqrt{x(2R-x)} ,\ \ \ \ w_1 \cdot w_2=2x(R-x) \ \ (7) }$

Η (7) δηλώνει ότι οι αριθμοί $\displaystyle{w_1,w_2}$ είναι ρίζες της εξίσωσης:

$\displaystyle{z^2-2\sqrt{x(2R-x)}z+2x(R-x) \ \ (8) }$

Η διακρίνουσα της εξίσωσης (8) είναι:

$\displaystyle{ D=4x^2 \geq 0 \ \ (9) }$

Επομένως οι λύσεις της (8) είναι:

$\displaystyle{ w_1=CS=\sqrt{x(2R-x)}+x, \ \ \ \ w_2=SD=\sqrt{x(2R-x)}-x \ \ (10) }$

Από τα ανωτέρω προκύπτου οι τιμές των λόγων:

$\displaystyle{ \lambda =\frac{CS}{SD}=\frac{\sqrt{x(2R-x)}+x}{\sqrt{x(2R-x)}-x} =...= \frac{R+\sqrt{x(2R-x)}}{R-x} \ \ (11) }$

$\displaystyle{ \mu =\frac{R+x}{R-x} \ \ (12) }$

Στα ερωτήματα:

1ο Ερώτημα:

Είναι:

$\displaystyle{\lambda > \mu \Leftrightarrow \sqrt{x(2R-x)}>x\leftrightarrow ... \Leftrightarrow x(R-x) >0 \ \ (13) }$

Η (13) είναι αληθής γιατί $\displaystyle{R>x}$

2ο Ερώτημα:

Είναι:

$\displaystyle{\mu=2 \Rightarrow x=\frac{R}{3} \Rightarrow \lambda =...=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \ \ (14) }$

Ερώτημα 3ο

Μελετάμε με παραγώγους τη συνάρτηση:

$\displaystyle{F(x)=\frac{\lambda}{\mu}=\frac{R+\sqrt{x(2R-x)}}{ R+x} \ \ (15) }$

Η μέγιστη τιμή είναι:

$\displaystyle{F(\frac{R}{5})=\frac{4}{3} \ \ (16) }$

Κώστας Δόρτσιος

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2026 11:45 am
Λόγος λόγων.pngΣε σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , πλησιέστερο του , υψώνουμε

κάθετο τμήμα . Από το διέρχεται χορδή παράλληλη προς την .

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\lambda=\dfrac{CS}{SD}$ , είναι πάντα μεγαλύτερος από τον : $m= \dfrac{AT}{TB}$ .

β) Υπολογίστε τον $\lambda$ , όταν : ... γ) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{\lambda}{m}$ .

Αν

είναι το κέντρο του ημικυκλίου και

το μέσο του CD,

θέτω

α) $\displaystyle \lambda = \frac{{\frac{a}{2} + x}}{{\frac{a}{2} - x}} = \frac{{a + 2x}}{{a - 2x}} = 1 + \frac{{4x}}{{a - 2x}}$ και ομοίως $\displaystyle m = 1 + \frac{{4x}}{{d - 2x}}.$

Επειδή τώρα είναι a<d,

προφανώς θα είναι και $\boxed{\lambda> m}$

: Λόγος λόγων.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 53 φορές

β) $\displaystyle {y^2} = \frac{{{d^2} - {a^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{d}{2} - x} \right)^2} = \frac{{{d^2} - {a^2}}}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{a=2\sqrt{dx-x^2}}$ (1)

Αλλά, για

είναι $x=\dfrac{d}{6}.$

Άρα, $\displaystyle a = \frac{{d\sqrt 5 }}{3}$ και $\displaystyle \lambda = \frac{{a + 2x}}{{a - 2x}} =...= \frac{{\sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 5 - 1}} = {\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\lambda=\Phi^2}$

γ) $\displaystyle \frac{\lambda }{m} = \frac{{(a + 2x)(d - 2x)}}{{(a - 2x)(d + 2x)}}\mathop = \limits^{(1)} ... = \frac{{d + 2\sqrt {dx - {x^2}} }}{{d + 2x}},$ απ' όπου παίρνω

για $\boxed{x=\dfrac{d}{10}}$ μέγιστη τιμή $\boxed{ {\left( {\frac{\lambda }{m}} \right)_{\max }} = \frac{4}{3}}$

Λόγος λόγων

Λόγος λόγων

Re: Λόγος λόγων

Re: Λόγος λόγων

Re: Λόγος λόγων

Μέλη σε σύνδεση